Введение

В теории музыки, круг квинт – это способ организации тонов как последовательность чистых квинт. Начиная с До и используя стандартную систему настройки для западной музыки (12-тоновый равный темперамент), последовательность следующая: До, Соль, Ре, Ля, Ми, Си, Фа (Соль), До (Ре), Соль (Ля), Ре (Ми), Ля (Си), Ми (Фа), До. Этот порядок располагает наиболее близкие тональности рядом друг с другом. Обычно он изображается в виде круга. 12-тоновый равный темперамент разделяет каждую октаву на двенадцать равных полутонов, и круг квинт приводит к До на семь октав выше начальной точки. Если квинты настроены в точном соотношении 3:2 (система настройки, известная как чистая интонация), это не происходит (круг не "замыкается").

Определение

Круг квинт организует звуки в последовательности чистых квинт, обычно изображаемой в виде круга, где звуки (и соответствующие им тональности) расположены по часовой стрелке. Его также можно рассматривать в противоположном направлении как круг кварт. Гармонические последовательности в западной музыке часто используют смежные тональности в этой системе, что делает её полезным справочным материалом для музыкальной композиции и гармонии. Верхняя часть круга указывает тональность до мажор, без диезов и бемолей. Двигаясь по часовой стрелке, звуки повышаются на квинту. Ключевые знаки, связанные с этими звуками, изменяются соответственно: в тональности соль мажор один диез, в тональности ре мажор – два диеза и так далее. Двигаясь против часовой стрелки от верхней части круга, звуки понижаются на квинту, и ключевые знаки изменяются соответственно: в тональности фа мажор один бемоль, в тональности си-бемоль – два бемоля и так далее. Некоторые тональности (в нижней части круга) могут быть записаны как с диезами, так и с бемолями. Начиная с любого звука и повышая его на квинту, можно получить все звуки, прежде чем вернуться к исходному классу высоты (класс высоты включает в себя все ноты, обозначенные данной буквой, независимо от октавы – все "до", например, принадлежат к одному классу высоты). Двигаясь против часовой стрелки, звуки понижаются на квинту, но повышение на чистую кварту приведет к той же ноте на октаву выше (следовательно, в том же классе высоты). Движение против часовой стрелки от до можно рассматривать как понижение на квинту к фа или повышение на кварту к фа.

Диатонические ключевые сигнатуры

Каждая нота может быть тоникой мажорного или минорного ключа, и для каждого из этих ключей существует соответствующий диатонический лад. Круговая диаграмма показывает количество диезов или бемолей в каждой тональности, где мажорный ключ обозначен заглавной буквой, а минорный – строчной. Мажорные и минорные ключи, имеющие одинаковую тональность, называются параллельными мажором и минором.

Модуляция и аккордная прогрессия

Тональная музыка часто модулирует к новому тональному центру, ключевой знак которого отличается от исходного лишь одной диезом или бемолем. Эти тесно связанные тональности отстоят друг от друга на квинту и, следовательно, соседствуют в круге квинт. Аккордовые прогрессии также часто переходят между аккордами, корни которых связаны чистой квинтой, что делает круг квинт полезным для иллюстрации «гармонического расстояния» между аккордами. Круг квинт используется для организации и описания гармонической или тональной функции аккордов. Аккорды могут прогрессировать по схеме восходящих чистых квартах (что равносильно нисходящим квинтам) в «функциональной последовательности». Это можно продемонстрировать с помощью круга квинт (в котором, следовательно, II ступень гаммы ближе к доминанте, чем IV ступень). В этом представлении тоника или тональный центр рассматривается как конечная точка аккордовой прогрессии, выведенной из круга квинт. Согласно Ричарду Франко Голдману в книге «Гармония в западной музыке», «аккорд IV в простейших механизмах диатонических связей находится на наибольшем расстоянии от аккорда I. С точки зрения [нисходящего] круга квинт, он удаляется от I, а не приближается к нему». Он утверждает, что прогрессия I–ii–V–I (подлинная каденция) будет ощущаться более завершенной или разрешенной, чем I–IV–I (плагальная каденция). Голдман согласен с Натти, который утверждает, что «аккорд на четвертой ступени появляется задолго до аккорда на II, а затем и заключительной I в прогрессии I–IV–viio–iii–vi–ii–V–I», и там также находится дальше от тоники. (В этой и связанных статьях заглавные римские цифры обозначают мажорные трезвучия, а строчные – минорные.)

Закрытие круга в неравномерных системах настройки

Использование точного соотношения частот 3:2 для определения идеальной квинты (чистой интонации) не приводит к возвращению к классу высоты исходной ноты после обхода круга квинт. Двенадцатитоновая равная темперация создает квинты, которые возвращаются к тону ровно на семь октав выше начального тона и делают частотное отношение хроматического полутона равным отношению диатонического полутона. Стандартная темперационная квинта имеет частотное соотношение 27/12:1 (или приблизительно 1,498307077:1), что примерно на два цента уже, чем чисто настроенная квинта. Последовательное восхождение на двенадцать чисто настроенных квинт не позволяет замкнуть круг, оставляя избыток примерно в 23,46 цента, что составляет примерно четверть полутона – интервал, известный как пифагорейская запятая. Если ограничиться двенадцатью тонами в октаве, пифагорейский строй значительно сужает ширину одной из двенадцати квинт, делая её сильно диссонирующей. Эта аномальная квинта называется волчьей квинтой – шутливая отсылка к волку, воющему фальшивую ноту. Нерасширенная четверть-запятая использует одиннадцать квинт, немного уже, чем квинты при равной темперации, и требует гораздо более широкой и ещё более диссонирующей волчьей квинты для замыкания круга. Более сложные системы настройки, основанные на чистой интонации, такие как 5-лимитная настройка, используют не более восьми чисто настроенных квинт и как минимум три нечистых квинт (некоторые немного уже, а некоторые немного шире, чем чистая квинта) для замыкания круга.

Равномерные настройки с более чем двенадцатью нотами

В настоящее время, с появлением электронных изоморфных клавиатур, настройки с равным темпераментом, содержащие более двенадцати нот в октаве, могут быть использованы для замыкания круга квинт в других строях. Например, тридцать один тон равной темперации близко аппроксимирует строй с четвертьтонной комой, а пятьдесят три тона равной темперации – пифагорейский строй.

История

Круг пятых сформировался в конце 1600-х и начале 1700-х годов для теоретического осмысления модуляции эпохи барокко (см.). Первая схема круга пятых появляется в "Грамматике" (1677) композитора и теоретика Николая Дилецкого, который стремился представить теорию музыки как инструмент для сочинения. Это был "первый в своем роде труд, направленный на обучение русской аудитории написанию полифонических композиций в западном стиле". Независимо от него, круг пятых был создан немецким композитором и теоретиком Иоганном Давидом Хайнихеном в его "Neu erfundene und gründliche Anweisung" (1711), где он называл его "Музыкальным кругом" (нем. Musicalischer Circul). Это было также опубликовано в его "Der General Bass in der Composition" (1728). Хайнихен размещал параллельный минор рядом с мажорным ключом, что не соответствовало реальной близости тональностей. Иоганн Маттесон (1735) и другие пытались это исправить — Давид Келлнер (1737) предложил разместить мажорные тональности на одном круге, а параллельные миноры — на втором, внутреннем. Позже это развилось в аккордовое пространство, включающее также параллельный минор. Некоторые источники утверждают, что круг пятых был известен еще в античности, Пифагору. Это заблуждение и анахронизм. Настройка по квинтам (так называемая пифагорейская настройка) восходит к Древней Месопотамии; см., хотя они не распространили это на двенадцатитоновую шкалу, ограничившись семью ступенями. Пифагорейская запятая была вычислена Евклидом и китайскими математиками (в "Хуайнаньцзы"); см. Таким образом, в античности было известно, что цикл из двенадцати квинт почти точно соответствует семи октавам (практичнее, чередование восходящих квинт и нисходящих кварт почти точно соответствует октаве). Однако это были теоретические знания, которые не использовались для построения повторяющейся двенадцатитоновой шкалы или для осуществления модуляции. Это было сделано позже в системах среднетоновой и двенадцатитоновой равной темперации, которые позволяли модулировать, сохраняя строй, но получили развитие в Европе лишь около 1500 года. Хотя он стал популярен как "круг пятых", его англосаксонское этимологическое происхождение восходит к названию "колесо пятых".

Эпоха барокко

По словам Ричарда Тарускина, Архангело Корелли был наиболее влиятельным композитором, закрепившим эту схему как стандартный гармонический "троп": «Именно во времена Корелли, в конце XVII века, круг квинт начал ‘теоретизироваться’ как главный двигатель гармонического движения, и именно Корелли, больше, чем кто-либо другой, воплотил эту новую идею в действенную практику». Круг квинт встречается часто в музыке И. С. Баха. В следующем примере, из кантаты Jauchzet Gott in allen Landen, BWV 51, даже когда сольная басовая линия лишь подразумевает, а не явно указывает на задействованные аккорды:

Гендель использует круг квинт в качестве основы для части Пассакалия из своей сюиты для клавесина № 6 соль минор. Композиторы эпохи барокко научились усиливать «движущую силу» гармонии, порождаемой кругом квинт, «добавляя септимы к большинству входящих в него аккордов». «Эти септимы, будучи диссонансами, создают потребность в разрешении, таким образом превращая каждую последовательность круга квинт в одновременное снятие и возобновление гармонического напряжения, что позволяет использовать ее в экспрессивных целях». Яркие примеры использования септим встречаются в арии «Pena tiranna» из оперы Генделя 1715 года «Амаджи ди Гаула» – и в клавишной аранжировке Баха Кончерта для гобоя и струнных Алессандро Марчелло.

Диатоник пятых

Диатонический круг пятых — это круг пятых, включающий только элементы диатонического лада. Следовательно, в нём содержится уменьшенная квинта, например, в до мажоре между си и фа. См. "Структура подразумевает множественность". Круговая прогрессия обычно представляет собой движение по квинтам через диатонические аккорды, включая один уменьшенный аккорд. Ниже представлена круговая прогрессия в до мажоре с аккордами I–IV–vii°–iii–vi–ii–V–I.

Хроматический круг

Круг пятых тесно связан с хроматическим кругом, который также упорядочивает равные темпераментные классы тонов конкретной настройки в круговом порядке. Ключевое различие между этими двумя кругами заключается в том, что хроматический круг можно понимать как непрерывное пространство, где каждая точка на круге соответствует возможному классу высоты, и каждый возможный класс высоты соответствует точке на круге. В отличие от него, круг пятых является принципиально дискретной структурой, организованной посредством отдельных интервалов, и нет очевидного способа сопоставить классы тонов каждой из его точек. В этом смысле эти два круга математически существенно различаются. Однако для любого положительного целого числа N классы тонов в N-тоновом равном темпераменте могут быть представлены циклической группой порядка N, или, эквивалентно, классами вычетов по модулю N. В двенадцатитоновом равном темпераменте группа имеет четыре генератора, которые можно отождествить с восходящими и нисходящими полутонами, а также с восходящими и нисходящими чистыми квинтами. Полутоновый генератор порождает хроматический круг, а чистая кварта и чистая квинта порождают круг пятых. В большинстве других строев, таких как 31-тоновый равный темперамент, гораздо больше интервалов можно использовать в качестве генераторов, и, как следствие, возможно построение гораздо большего числа кругов.

Экваваленты энгармонии, теоретические ключи и спираль пятых

В настройках равного темперамента не используется точное соотношение частот 3:2, определяющее чистую квинту, в то время как в натуральной интонации это соотношение используется точно. При восходящем движении по квинтам в равном темпераменте происходит возврат к исходному классу высоты звука: начиная с до, последовательное движение вверх на квинты приводит к другой до после определенного числа итераций. Этого не происходит при использовании точного соотношения 3:2 (натуральная интонация). Коррекция, вносимая в настройку равного темперамента, называется пифагоровой запятой. Из-за этой разницы звуки, которые энгармонически эквивалентны в равных темпераментах (например, до и ре в двенадцатитоновой системе равного темперамента или до и ре в девятнадцатитоновой системе), не являются эквивалентными при использовании натуральной интонации. Следовательно, последовательность квинт в натуральной интонации можно представить как спираль, а не круг – последовательность из двенадцати квинт приводит к "накачке" пифагоровой запятой, что визуально отображается как подъем на уровень спирали. Подробнее см. также. Без энгармонических соответствий продолжение последовательности квинт приводит к нотам с двойными диезами или бемолями, а то и тройными или четверными диезами/бемолями. В большинстве систем равного темперамента их можно заменить энгармонически эквивалентными нотами. Тональности с двойными диезами или бемолями в ключевых знаках называются теоретическими тональностями; они избыточны в двенадцатитоновой системе равного темперамента, поэтому их использование крайне редко, хотя большинство других систем их различают. Обозначение в этих случаях не стандартизировано. По умолчанию LilyPond (как показано на изображении выше) записывает одинарные диезы или бемоли в порядке круга квинт, прежде чем переходить к двойным диезам или бемолям. Этот формат используется в "Мировом реквиеме" Джона Фолдса, Op. 60, который заканчивается ключевым знаком соль мажора, как показано выше. Диезы в ключевом знаке соль мажора здесь следуют в порядке до, соль, ре, ля, ми, си, фа. Одинарные диезы или бемоли в ключевом знаке иногда повторяются для ясности, например, в "Дополнении к теории модуляции" Макса Регера, которое содержит ключевые знаки ре минор на страницах 42–45. Они содержат си в начале и также си в конце (с двойным бемолем), следуя в порядке си, ми, ля, ре, соль, до, фа, си. Конвенция LilyPond и Фолдса предполагает опускание начального си. Иногда двойные знаки записываются в начале ключевого знака, за которыми следуют одинарные знаки. Например, фа-мажорный ключевой знак записывается как си, ми, ля, ре, соль, до, фа. Эта конвенция используется Виктором Эвальдом, программой Finale и некоторыми теоретическими трудами.