Кіріспе

Евклидтік емес геометрия

Математикада гиперболалық геометрия (сонымен қатар Лобачевский геометриясы немесе Болай-Лобачевский геометриясы деп те аталады) – Евклидтік емес геометрияның бір түрі. Евклидтік геометрияның параллельдік постулаты мынамен алмастырылады:
Кез келген берілген түзу R және R түзуында жатпайтын P нүктесі үшін, R түзуы мен P нүктесін қамтитын жазықтықта P нүктесі арқылы өтетін және R түзуымен қиылыспайтын кем дегенде екі түрлі түзу бар.
(Жоғарыда айтылғанды Евклидтің параллельдік постулатының қазіргі нұсқасы – Playfair аксиомасымен салыстырыңыз.) Гиперболалық жазықтықта әрбір нүкте – ерікті нүкте болып табылады. Гиперболалық жазықтық геометриясы – псевдосфералық беттердің геометриясы, яғни тұрақты теріс Гаусс қисықтығына ие беттер. Ерікті беттердің кем дегенде кейбір аймақтарында теріс Гаусс қисықтығы болады, олар жергілікті түрде гиперболалық жазықтыққа ұқсайды. Гиперболалық геометрияның қазіргі қолданылуының бір мысалы – арнайы салыстырмалылық теориясы, әсіресе Минковский моделі. Геометрлер стандартты Евклидтік геометриядан өзгеше нәрсемен жұмыс істеп жатқанын алғаш түсінгенде, олар өз геометрияларын көптеген түрлі атаулармен сипаттады; Феликс Клейн ақыры осы тақырыпқа гиперболалық геометрия деген ат берді, осылайша оны қазір сирек қолданылатын эллипстік геометрия (сфералық геометрия), параболалық геометрия (Евклидтік геометрия) және гиперболалық геометрия тізбегіне қосты. Бұрынғы Кеңес Одағында ол көбінесе Лобачевский геометриясы деп аталады, оның ашылушыларының бірі, орыс геометрі Николай Лобачевскийдің құрметіне берілген ат. Бұл беттің басты тақырыбы – 2 өлшемді (жазықтық) гиперболалық геометрия және Евклидтік және гиперболалық геометрия арасындағы айырмашылықтар мен ұқсастықтар. Гиперболалық геометрияның үш және одан да көп өлшемдерге кеңейтілген нұсқалары туралы толық ақпарат алу үшін гиперболалық кеңістікке қараңыз.

Евклид геометриясымен байланысы

Гиперболалық геометрия көрінетіннен гөрі Евклид геометриясына жақын: жалғыз аксиоматикалық айырмашылық – параллельдік постулат. Егер Евклид геометриясынан параллельдік постулат алынып тасталса, нәтижесінде абсолютті геометрия пайда болады. Абсолютті геометрияның екі түрі бар: евклидтік және гиперболалық. Абсолютті геометрияның барлық теоремалары, соның ішінде Евклидтің "Элементтері" кітабының бірінші 28 теоремасы, евклидтік және гиперболалық геометрияда қолданылады. Евклидтің "Элементтері" кітабының 27 және 28 теоремалары параллель/қиылыспайтын түзулердің бар екенін дәлелдейді. Бұл айырмашылықтың көптеген салдары бар: Евклид геометриясында эквивалентті ұғымдар гиперболалық геометрияда эквивалентті болмайды; жаңа ұғымдар енгізілуі керек. Бұдан әрі, параллелизм бұрышының болуына байланысты, гиперболалық геометрияда абсолютті масштаб бар, ол қашықтық пен бұрыш өлшемдері арасындағы байланысты білдіреді.

Желілер

Гиперболалық геометриядағы бір түзудің қасиеттері Евклид геометриясындағы бір түзудің қасиеттерімен толықтай сәйкес келеді. Мысалы, екі нүкте бір түзуді бірегей түрде анықтайды және түзу кесінділерін шексіз ұзартуға болады. Екі қиылысатын түзудің қасиеттері Евклид геометриясындағы екі қиылысатын түзудің қасиеттерімен ұқсас. Мысалы, екі әртүрлі түзу бір нүктеде ғана қиылыса алады, қиылысатын түзулер тең және қарама-қарсы бұрыштарды жасайды, ал қиылысатын түзулердің іргелес бұрыштары толықтырады. Үшінші түзу енгізілген кезде, қиылысатын түзулердің Евклид геометриясындағы қиылысатын түзулерден өзгеше қасиеттері болуы мүмкін. Мысалы, берілген екі қиылысатын түзуге қатысты, олардың екеуімен де қиылыспайтын шексіз көп түзулер бар. Бұл қасиеттердің бәрі қолданылған модельге тәуелсіз, тіпті түзулер түбірінен бөлек көрінсе де.

Гиперциклдер мен гороциклдер

Гиперболалық геометрияда барлық нүктелері басқа түзуден бірдей қашықтықта орналасқан түзу жоқ. Оның орнына, берілген түзуден бірдей ортогональдық қашықтықтағы нүктелер гиперцикл деп аталатын қисықта жатыр. Тағы бір ерекше қисық – хороцикл, оның нормаль радиустары (перпендикуляр түзулер) бір-біріне асимптотикалық түрде жақындайды, яғни барлығы бір бағытта хороциклдің орталық нүктесіне ұмтылады. Кез келген екі нүкте арқылы екі хороцикл жүргізуге болады. Хороциклдердің орталықтары – олардың арасындағы түзу сызығының орта перпендикулярының идеалдық нүктелері. Кез келген үш түрлі нүкте берілген болса, олардың барлығы бір түзуде, гиперциклде, хороциклде немесе шеңберде жатады. Екі нүкте арасындағы түзу сызығының ұзындығы – ең қысқа қашықтық. Екі нүктені қосатын гиперциклдің доға ұзындығы сол екі нүктені қосатын түзу сызығынан ұзын, ал хороциклден қысқа. Екі нүктені қосатын екі хороциклдің доға ұзындығы тең. Екі нүкте арасындағы шеңбердің доға ұзындығы сол екі нүктені қосатын хороциклдің доға ұзындығынан үлкен. Егер жазықтықтың Гаусс қисықтығы -1 болса, онда хороциклдің геодезиялық қисықтығы 1-ге, ал гиперциклдің 0 мен 1 аралығында болады.

Стандартталған Гаусс қисықтығы

Гиперболалық геометрия тұрақты теріс Гаусс қисықтығы бар кез келген бетке қолданылады, бірақ көбінесе қисықтығы K = -1 болатын масштабты қабылдау қалыпты. Бұл кейбір формулаларды оңайлатуға мүмкіндік береді. Мысалдар: үшбұрыштың ауданы радианмен өлшенген бұрыштық кемшілігіне тең. Гороциклді сектордың ауданы оның гороциклді доғасының ұзындығына тең. Бір нүктесіндегі жанама сызық екінші нүктесінен өтетін радиусқа асимптотикалық жақын болатын хороцикл доғасының ұзындығы 1-ге тең. Бір-бірінен 1 бірлік қашықтықта орналасқан екі концентрлі хороциклдің екі радиусы арасындағы доға ұзындығының қатынасы e:1-ге тең. Басқа координата жүйелері төменде сипатталған Клейн моделі немесе Пуанкаре дискісі моделін пайдаланады және евклидтік координаталарды гиперболалық координаталар ретінде қарастырады.

Тарих

300 жылға дейін Евклидтің "Элементтері" жарияланғалы бері көптеген геометрлер параллельдік постулатты дәлелдеуге тырысты. Олардың кейбіреулері оны жоққа шығарып, қайшылыққа келу арқылы дәлелдеуге ұмтылды. Осы саладағы ең белгілілері – Прокл, Ибн әл-Хайтам (Альхасен), Омар Хайям, Насир әл-Дин әл-Түси, Витело, Герсонид, Альфонсо, сондай-ақ кейінірек Джованни Героламо Сакхери, Джон Уоллис, Иоганн Генрих Ламберт және Лежандр. Олардың тырақтары сәтсіз аяқталды (қазіргі таңда параллельдік постулатты басқа постулаттар арқылы дәлелдеу мүмкін емес екені белгілі), бірақ олардың күш-жігері гиперболалық геометрияның ашылуына әкелді. Альхасен, Хайям және әл-Түсидің төртбұрыштар туралы теоремалары, оның ішінде Ибн әл-Хайтам–Ламберт төртбұрышы және Хайям–Сакхери төртбұрышы гиперболалық геометриядағы алғашқы теоремалардың бірі болды. Гиперболалық геометрия бойынша олардың еңбектері Витело, Герсонид, Альфонсо, Джон Уоллис және Сакхери сияқты кейінгі еуропалық геометрлердің арасында оның дамуына елеулі әсер етті. 18 ғасырда Иоганн Генрих Ламберт гиперболалық функцияларды енгізіп, гиперболалық үшбұрыштың ауданын есептеп шығарды.

XIX ғасырдағы өзгерістер

19-ғасырда гиперболалық геометрияны Николай Иванович Лобачевский, Янош Болай, Карл Фридрих Гаусс және Франц Таурин жан-жақты зерттеді. Евклид геометриясының аксиомаларынан параллельдік постулатты жоюды ғана көздеген алдыңғы буын ғалымдардан өзгеше, бұл авторлар жаңа геометрия ашқандарын түсінді. Гаусс 1824 жылы Франц Тауринусқа жазған хатында оны өзі құрастырғанын айтты, бірақ өз жұмысын жарияламады. Гаусс оны «Евклидтік емес геометрия» деп атады, соның салдарынан кейбір заманауи авторлар «Евклидтік емес геометрия» мен «гиперболалық геометрия» терминдерін синоним ретінде қарастырады. Таурин 1826 жылы гиперболалық тригонометрияға қатысты нәтижелер жариялады, гиперболалық геометриянің өзіне сәйкес екенін дәлелдеді, бірақ Евклид геометриясының ерекше рөліне сенуін жалғастырды. Гиперболалық геометрияның толық жүйесін Лобачевский 1829/1830 жылдары жарияласа, Болай оны тәуелсіз түрде ашып, 1832 жылы жариялады. 1868 жылы Евгенио Белтрами гиперболалық геометрияның модельдерін (төменде қараңыз) ұсынды және осы арқылы гиперболалық геометрияның Евклидтік геометрия болған жағдайда ғана сәйкес келетінін дәлелдеді. «Гиперболалық геометрия» терминін Феликс Клейн 1871 жылы енгізді. Клейн Артур Кейлидің проективтік геометрияның түрлендірулерін изометрия жасау үшін пайдалану жобасын қолдады. Бұл идея аймақты анықтау үшін конустық қима немесе квадрикті пайдаланды, ал метриканы анықтау үшін қима қатынасын қолданды. Конустық қима немесе квадрикті өзгеріссіз қалдыратын проективтік түрлендірулер изометриялар болып табылады. «Клейн Кейли абсолюті нақты қисық болса, проективтік жазықтықтың оның ішкі бөлігі гиперболалық жазықтыққа изометриялық екенін көрсетті». Тарих туралы толық мәлімет алу үшін «Евклидтік емес геометрия» мақаласын және Коксетер мен Милнордың сілтемелерін қараңыз.

Философиялық салдарлары

Гиперболалық геометрияның ашылуы маңызды философиялық салдарларға әкелді. Оның ашылуына дейін көптеген философтар (мысалы, Гоббс және Спиноза) философиялық қатаңдықты "геометриялық әдіс" тұрғысынан қарастырды, бұл Евклидтің "Элементтерінде" қолданылған пайымдау әдісіне сілтеме жасайды. Кант "Таза Ақыл-Ойдың Критикасы" еңбегінде кеңістік (Евклид геометриясында) және уақыттың адамдар тарапынан әлемнің объективті ерекшеліктері ретінде ашылмайтыны, бірақ біздің тәжірибемізді ұйымдастыру үшін қажетті, сөзсіз жүйелі құрылымның бір бөлігі екеніне тоқталды. Гаусс гиперболалық геометрия туралы ештеңе жарияламады, себебі ол "бойотиялықтардың наразылығынан" қорқып, бұл оның princeps mathematicorum (латынша, "математиктердің князі") мәртебесіне нұқсан келтіруі мүмкін еді. "Бойотиялықтардың наразылығы" келді де кетті, соның нәтижесінде математикалық қатаңдық, аналитикалық философия және логикада үлкен жетістіктерге қол жеткізілді. Гиперболалық геометрия тұрақты екені дәлелденді, демек, ол тағы бір жарамды геометрия болып табылады.

Ғаламның геометриясы (арнайы салыстырмалылық теориясы)

Арнайы салыстырмалылық теориясы кеңістік пен уақытты тең дәрежеде қарастырады, сондықтан кеңістік пен уақытты жеке қарастырудың орнына бірыңғай кеңістік-уақыттың геометриясын қарастырады. Минковский геометриясы Галилей геометриясын ығыстырады (Галилейдің салыстырмалылық теориясының үш өлшемді Евклид кеңістігі уақытпен бірге). Салыстырмалылық теориясында Евклидтік, эллиптикалық және гиперболалық геометрияларды қарастырудың орнына, Минковский кеңістігі, де Ситтер кеңістігі және анти-де Ситтер кеңістігін қарастыру тиімді, олар сәйкесінше нөлдік, оң және теріс қисықтыққа ие. Гиперболалық геометрия жылдамдыққа орныкқан арнайы салыстырмалылыққа енгізіледі, ол жылдамдықтың орнына қолданылады және гиперболалық бұрыш арқылы өрнектеледі. Осы жылдамдық геометриясын зерттеу кинематикалық геометрия деп аталады. Релятивистік жылдамдықтар кеңістігі үш өлшемді гиперболалық геометрияға ие, онда қашықтық функциясы "жақын" орналасқан нүктелердің (жылдамдықтардың) салыстырмалы жылдамдықтары арқылы анықталады.

Гиперболалық жазықтықтың физикалық реализациялары

Евклид кеңістігінде тұрақты теріс Гаусс қисықтығының шекті ауданы бар әр түрлі псевдосфералар бар. Гильберттің теоремасы бойынша, толық гиперболалық жазықтықты (тұрақты теріс Гаусс қисықтығының толық реттелген бетін) үш өлшемді Евклид кеңістігіне изометриялық түрде енгізу мүмкін емес. Евклид кеңістігінде метрикасы сақталмайтын гиперболалық геометрияның басқа да пайдалы модельдері бар. Уильям Терстонға қарыздар псевдосфераға негізделген, әйгілі қағаз модель бар. Гиперболалық жазықтықты көрсету үшін тоқу өнері қолданылды (қараңыз), ал мұндай демонстрацияны алғаш рет Дайна Тайминя жасады. 2000 жылы Кит Хендерсон "гиперболалық футбол" деп аталған, тез жасалатын қағаз модельді көрсетті (дәлірек айтқанда, 7-реттік үшбұрышты мозаика). Хеламан Фергюсон жасаған гиперболалық жамылғыны жасау туралы нұсқауларды Джефф Уикс ұсынды.

Гиперболалық жазықтықтың модельдері

Әртүрлі псевдосфералар – тұрақты теріс Гаусс қисықтығына ие беттер – стандартты Евклидтік метрика бойынша 3 өлшемді кеңістікке енгізілуі мүмкін, сондықтан оларды қолмен ұстауға болатын физикалық модельдерге айналдыруға болады. Олардың ішінде трактоид (көбінесе псевдосфера деп аталады) ең жақсы танымал; трактоидты гиперболалық жазықтықтың моделі ретінде пайдалану, конус немесе цилиндрді Евклид жазықтығының моделі ретінде пайдаланумен салыстырылады. Дегенмен, бүкіл гиперболалық жазықтықты осылай Евклид кеңістігіне енгізу мүмкін емес, ал гиперболалық геометрияны абстрактілі түрде зерттеу үшін басқа да түрлі модельдер көбірек ыңғайлы. Гиперболалық геометрия үшін әдетте қолданылатын төрт модель бар: Клейн моделі, Пуанкаре дискісі моделі, Пуанкаре жартылай жазықтық моделі және Лоренц немесе гиперболоид моделі. Бұл модельдер гиперболалық геометрия аксиомаларын қанағаттандыратын гиперболалық жазықтықты анықтайды. Атауларына қарамастан, жоғарыда аталған үш модельді Пуанкаре немесе Клейн емес, Белтрами гиперболалық кеңістіктің моделі ретінде ұсынған. Бұл модельдердің бәрін де жоғары өлшемдерге кеңейтуге болады.

БелтрамиКлейн моделі

Белтрами–Клейн моделі, сондай-ақ проективті диск моделі, Клейн диск моделі және Клейн моделі деп те аталады. Ол Эудженио Белтрами және Феликс Клейн есімдерімен аталған. Екі өлшемде бұл модель толық гиперболалық жазықтық үшін бірлік шеңбердің ішкі бөлігін қолданады, ал осы шеңбердің хордалары гиперболалық түзулер болып табылады. Жоғары өлшемдер үшін бұл модель бірлік шардың ішкі бөлігін қолданады, ал осы n шардың хордалары гиперболалық түзулер болып табылады. Бұл модельдің артықшылығы – түзулердің түзу болып келуі, бірақ кемшілігі – бұрыштардың бұрмалануы (бұл бейнелеу конформды емес), сондай-ақ шеңберлер шеңберлер түрінде бейнеленбейді. Бұл модельдегі қашықтық – проективті геометрияда Артур Кейли енгізген қима қатынасының логарифмінің жартысына тең.

Пуанкаре дискісі моделі

Поанкаре дискісінің моделі, сонымен қатар конформдық дискі моделі деп те аталады, бірлік шеңбердің ішкі бөлігін қолданады, бірақ түзулер шеңбердің шегіне перпендикуляр болатын шеңбер доғаларымен және шеңбердің диаметрлерімен бейнеленеді. Бұл модель бұрыштарды сақтайды, осылайша конформды болып табылады. Осы модельдегі барлық изометриялар – Мёбиус түрлендірулері. Дискінің ішіндегі шеңберлер шеңбер болып қалады, алайда шеңбердің евклидтік центрі шеңбердің гиперболалық центріне қарағанда дискінің центріне жақын болады. Гороциклдер – шеңбердің шегіне жанасатын және жанасу нүктесі алынған дискінің ішіндегі шеңберлер. Гиперциклдер – дискінің ішіндегі шеңбердің шегінде перпендикуляр емес бұрыштарда аяқталатын ашық хордалар мен шеңбер доғалары.

Гиперболоидты модель

Гиперболоидтық модель немесе Лоренц моделі 3 өлшемді Минковски кеңістігіне енгізілген айналу гиперболоидін (екі жақты, бірақ біреуін пайдалана отырып) қолданады. Бұл модель көбінесе Пуанкареге жатқызылады, бірақ Рейнольдс Вильгельм Киллинг бұл модельді 1885 жылы қолданғанын айтады. Бұл модель арнайы салыстырмалылық теориясына тікелей қатысты, себебі Минковскидің 3 кеңістігі – кеңістік-уақыттың моделі болып табылады, ол бір кеңістіктік өлшемді жоққа шығарады. Гиперболоидты әртүрлі инерциялық қозғалыстағы бақылаушылардың, ортақ оқиғадан бастап, белгілі бір уақыт аралығында жететін оқиғаларды (кеңістік-уақыттағы жағдайларды) көрсету үшін пайдалануға болады. Гиперболоидтағы екі нүкте арасындағы гиперболалық қашықтық екі сәйкес бақылаушы арасындағы салыстырмалы жылдамдыққа тең келеді. Модель қосымша өлшемге тікелей таратылады: үш өлшемді гиперболалық геометрия гиперболалық 3 кеңістік, ол Минковскидің 4 кеңістігімен байланысты.

Ганс моделі

1966 жылы Дэвид Ганс "American Mathematical Monthly" журналында жалпақ гиперболоидты модель ұсынды. Бұл гиперболоидты модельдің xy жазықтығына орфографиялық проекциясы болып табылады. Бұл модель басқа модельдерге қарағанда кеңінен қолданылмайды, бірақ гиперболалық геометрияны түсінуде өте пайдалы. Клайн және Пуанкаре модельдерінен өзгеше, бұл модель бүкіл Эвклид жазықтығын қолданады. Бұл модельдегі түзулер гиперболаның тармақтары арқылы көрсетіледі.

Топтық модель

Топтық модель екі параллель түзу арасындағы Евклид жазықтығының бір бөлігін қолданады. Қашықтық белдеудің ортасынан өтетін бір түзу бойымен сақталады. Егер белдеу арқылы берілсе, метрика арқылы беріледі.

Жоғары өлшемдер

Гиперболалық геометрия 2 өлшеммен ғана шектелмейді; кез келген жоғарырақ өлшем саны үшін гиперболалық геометрия болады.