Введение

Неевклидова геометрия

В математике гиперболическая геометрия (также называемая геометрией Лобачевского или геометрией Бойяи-Лобачевского) является неевклидовой геометрией. Постулат о параллельных прямых в евклидовой геометрии заменяется следующим:
Для любой заданной прямой R и точки P, не лежащей на R, в плоскости, содержащей как прямую R, так и точку P, существует по крайней мере две различные прямые, проходящие через P, которые не пересекают R.
(Сравните вышеизложенное с аксиомой Плейфэра, современной формулировкой постулата о параллельных прямых Евклида.) Гиперболическая плоскость – это плоскость, в которой каждая точка является седловой точкой. Гиперболическая плоская геометрия также является геометрией псевдосферических поверхностей, поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной. Седловые поверхности имеют отрицательную гауссову кривизну по крайней мере в некоторых областях, где они локально напоминают гиперболическую плоскость. Современное применение гиперболической геометрии – в теории относительности, в частности, в модели Минковского. Когда геометры впервые осознали, что работают с чем-то отличным от стандартной евклидовой геометрии, они описывали свою геометрию под разными названиями; Феликс Клейн окончательно дал этому предмету название гиперболическая геометрия, включив его в ныне редко используемую последовательность эллиптической геометрии (сферической геометрии), параболической геометрии (евклидовой геометрии) и гиперболической геометрии. В бывшем Советском Союзе её обычно называют геометрией Лобачевского, в честь одного из её открывателей, русского геометра Николая Лобачевского. Эта страница посвящена в основном двумерной (планарной) гиперболической геометрии, а также различиям и сходствам между евклидовой и гиперболической геометрией. Подробную информацию о гиперболической геометрии, расширенной до трех и более измерений, можно найти в статье «Гиперболическое пространство».

Отношение к евклидовой геометрии

Гиперболическая геометрия более тесно связана с евклидовой геометрией, чем может показаться: единственное аксиоматическое различие – это постулат о параллельных. Если постулат о параллельных исключить из евклидовой геометрии, то получится абсолютная геометрия. Существуют два типа абсолютной геометрии: евклидова и гиперболическая. Все теоремы абсолютной геометрии, включая первые 28 предложений первой книги «Начал» Евклида, верны как для евклидовой, так и для гиперболической геометрии. Предложения 27 и 28 первой книги «Начал» Евклида доказывают существование параллельных, то есть непересекающихся, прямых. Это различие имеет множество следствий: понятия, эквивалентные в евклидовой геометрии, не эквивалентны в гиперболической геометрии, и требуется введение новых понятий. Более того, благодаря углу параллельности, гиперболическая геометрия обладает абсолютным масштабом – соотношением между измерениями расстояния и угла.

Линии

Одиночные линии в гиперболической геометрии обладают точно такими же свойствами, как и прямые линии в евклидовой геометрии. Например, две точки однозначно определяют прямую, а отрезки прямых могут быть бесконечно продолжены. Две пересекающиеся прямые имеют те же свойства, что и две пересекающиеся прямые в евклидовой геометрии. Например, две различные прямые могут пересекаться не более чем в одной точке, пересекающиеся прямые образуют равные вертикальные углы, а смежные углы при пересечении прямых являются дополнительными. Однако, при введении третьей прямой, могут возникать свойства пересекающихся прямых, отличающиеся от свойств пересекающихся прямых в евклидовой геометрии. Например, для двух данных пересекающихся прямых существует бесконечно много прямых, не пересекающих ни одну из них. Все эти свойства не зависят от используемой модели, даже если прямые могут выглядеть совершенно по-разному.

Гиперциклы и гороциклы

В гиперболической геометрии не существует прямой, все точки которой равноудалены от другой прямой. Вместо этого точки, имеющие одинаковое ортогональное расстояние от данной прямой, лежат на кривой, называемой гиперциклом. Другой особой кривой является гороцикл – кривая, у которой нормальные радиусы (перпендикуляры) все асимптотически параллельны друг другу, то есть сходятся в одном направлении к одной и той же идеальной точке, являющейся центром гороцикла. Через любую пару точек проходят два гороцикла. Центры этих гороциклов являются идеальными точками перпендикулярного бисектора отрезка, соединяющего эти точки. Любые три различные точки лежат либо на прямой, гиперцикле, гороцикле, либо на окружности. Длина отрезка прямой – это кратчайшее расстояние между двумя точками. Длина дуги гиперцикла, соединяющего две точки, больше длины отрезка прямой и меньше длины дуги гороцикла, соединяющего те же две точки. Длины дуг обоих гороциклов, соединяющих две точки, равны. Длина дуги окружности между двумя точками больше длины дуги гороцикла, соединяющего те же две точки. Если гауссова кривизна плоскости равна −1, то геодезическая кривизна гороцикла равна 1, а гиперцикла – от 0 до 1.

Стандартная кривизна Гаусса

Хотя гиперболическая геометрия применима к любой поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, обычно принимают масштаб, в котором кривизна K равна −1. Это упрощает некоторые формулы. Например: площадь треугольника равна его угловому дефекту в радианах; площадь гороциклического сектора равна длине его гороциклической дуги; дуга гороцикла, для которой касательная в одной конечной точке является асимптотически параллельной радиусу, проходящему через другую конечную точку, имеет длину 1; отношение длин дуг между двумя радиусами двух концентрических гороциклов, находящихся на расстоянии 1 друг от друга, равно e:1. Другие системы координат используют модель Кляйна или модель диска Пуанкаре, описанные ниже, и интерпретируют евклидовы координаты как гиперболические.

История

С момента публикации «Начал» Евклида около 300 г. до н.э. многие геометры предпринимали попытки доказать постулат о параллельных прямых. Некоторые пытались доказать его, предполагая его отрицание и стремясь вывести противоречие. Среди наиболее известных были Прокл, Ибн аль-Хайсам (Альхазен), Омар Хайям, Насир ад-Дин ат-Туси, Витело, Герсонид, Альфонсо, а позже Джованни Героламо Саккери, Джон Уоллис, Иоганн Генрих Ламберт и Лежандр. Их попытки были обречены на неудачу (как мы теперь знаем, постулат о параллельных прямых нельзя доказать, исходя из других постулатов), но их усилия привели к открытию гиперболической геометрии. Теоремы Альхазена, Хайяма и ат-Туси о четырехугольниках, включая четырехугольник Ибн аль-Хайсама — Ламберта и четырехугольник Хайяма — Саккери, стали первыми теоремами гиперболической геометрии. Их работы по гиперболической геометрии оказали значительное влияние на её развитие среди более поздних европейских геометров, включая Витело, Герсонида, Альфонсо, Джона Уоллиса и Саккери. В XVIII веке Иоганн Генрих Ламберт ввел гиперболические функции и вычислил площадь гиперболического треугольника.

Развитие в XIX веке

В XIX веке гиперболическая геометрия была широко изучена Николаем Ивановичем Лобачевским, Яношем Бояем, Карлом Фридрихом Гауссом и Францем Тауринусом. В отличие от своих предшественников, которые лишь стремились исключить параллельный постулат из аксиом евклидовой геометрии, эти авторы осознали, что открыли новую геометрию. Гаусс в письме Францу Тауринусу от 1824 года писал, что он построил её, но не опубликовал свою работу. Гаусс назвал её «неевклидовой геометрией», что привело к тому, что некоторые современные авторы продолжают считать «неевклидовой геометрией» и «гиперболической геометрией» синонимами. Тауринус опубликовал результаты по гиперболической тригонометрии в 1826 году, доказывал самосогласованность гиперболической геометрии, но всё ещё верил в особую роль евклидовой геометрии. Полная система гиперболической геометрии была опубликована Лобачевским в 1829/1830 годах, в то время как Бояй открыл её независимо и опубликовал в 1832 году. В 1868 году Эухенио Бельтрами предложил модели (см. ниже) гиперболической геометрии и использовал их для доказательства того, что гиперболическая геометрия непротиворечива тогда и только тогда, когда непротиворечива евклидова геометрия. Термин «гиперболическая геометрия» был введен Феликсом Клейном в 1871 году. Клейн поддержал инициативу Артура Кейли использовать преобразования проективной геометрии для получения изометрий. Идея заключалась в использовании конического сечения или квадрики для определения области и двойного отношения для определения метрики. Проективные преобразования, сохраняющие коническое сечение или квадрику, являются изометриями. «Клейн показал, что если абсолют Кейли является реальной кривой, то часть проективной плоскости, лежащая внутри неё, изометрична гиперболической плоскости». Более подробную информацию об истории можно найти в статье о неевклидовой геометрии, а также в работах Коксетера и Милнора.

Философские последствия

Открытие гиперболической геометрии имело важные философские последствия. До этого открытия многие философы (например, Гоббс и Спиноза) понимали философскую строгость в терминах "геометрического метода", имея в виду способ рассуждений, использованный в "Началах" Евклида. Кант в "Критике чистого разума" пришел к выводу, что пространство (в евклидовой геометрии) и время не открываются людьми как объективные свойства мира, а являются частью неизбежной систематической структуры, организующей наш опыт. Говорят, что Гаусс воздерживался от публикаций о гиперболической геометрии из опасения вызвать "возмущение невежд", которое могло бы подорвать его репутацию как princeps mathematicorum (латинское, "первого из математиков"). "Возмущению невежд" суждено было пройти, и оно послужило стимулом для значительного повышения математической строгости, развития аналитической философии и логики. Гиперболическая геометрия в конечном итоге была доказана как непротиворечивая и, следовательно, является еще одной допустимой геометрией.

Геометрия Вселенной (специальная теория относительности)

Специальная теория относительности приравнивает пространство и время, поэтому рассматривается геометрия единого пространства-времени, а не пространство и время по отдельности. Геометрия Минковского заменяет галилеевскую геометрию (которая представляет собой трехмерное евклидово пространство с временем в галилеевской теории относительности). В теории относительности, вместо евклидовой, эллиптической и гиперболической геометрий, следует рассматривать пространство Минковского, пространство де Ситтера и пространство анти-де Ситтера, соответствующие нулевой, положительной и отрицательной кривизне соответственно. Гиперболическая геометрия входит в специальную теорию относительности через быстроту, заменяющую собой скорость и выражаемую гиперболическим углом. Изучение этой геометрии скоростей называется кинематической геометрией. Пространство релятивистских скоростей обладает трехмерной гиперболической геометрией, где функция расстояния определяется на основе относительных скоростей "соседних" точек (скоростей).

Физические реализации гиперболической плоскости

В Евклидовом пространстве существуют различные псевдосферы с конечной площадью и постоянной отрицательной гауссовой кривизной. Согласно теореме Гильберта, невозможно изометрически погрузить полную гиперболическую плоскость (полную правильную поверхность постоянной отрицательной гауссовой кривизны) в трехмерное Евклидово пространство. В Евклидовом пространстве существуют и другие полезные модели гиперболической геометрии, в которых метрика не сохраняется. Особенно известная бумажная модель, основанная на псевдосфере, принадлежит Уильяму Терстону. Искусство вязания крючком использовалось (см.) для демонстрации гиперболических плоскостей, а первой такой демонстрацией стала работа Дайны Тайминьи. В 2000 году Кит Хендерсон представил быстро изготавливаемую бумажную модель, названную "гиперболический футбольный мяч" (точнее, усеченная треугольная мозаика седьмого порядка). Инструкции по изготовлению гиперболического лоскутного одеяла, разработанного Хеламаном Фергюсоном, были опубликованы Джеффом Уиксом.

Модели гиперболической плоскости

Различные псевдосферы – поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной – могут быть вложены в трехмерное пространство в соответствии со стандартной евклидовой метрикой и, следовательно, могут быть представлены в виде осязаемых физических моделей. Среди них наиболее известным является трактоид (часто называемый псевдосферой); использование трактоида в качестве модели гиперболической плоскости аналогично использованию конуса или цилиндра в качестве модели евклидовой плоскости. Однако вся гиперболическая плоскость не может быть вложена в евклидово пространство таким образом, и другие модели более удобны для абстрактного изучения гиперболической геометрии. Существует четыре модели, обычно используемые для гиперболической геометрии: модель Кляйна, модель диска Пуанкаре, модель полуплоскости Пуанкаре и модель Лоренца или гиперболоида. Эти модели определяют гиперболическую плоскость, удовлетворяющую аксиомам гиперболической геометрии. Несмотря на названия, первые три из вышеперечисленных были введены как модели гиперболического пространства Белтрами, а не Пуанкаре или Кляйном. Все эти модели могут быть расширены на большее число измерений.

Модель БелтрамиКлейна

Модель Белтрами–Клейна, также известная как модель проективного диска, модель диска Клейна и модель Клейна, названа в честь Эухенио Белтрами и Феликса Клейна. В двух измерениях эта модель использует внутреннюю область единичного круга для представления полной гиперболической плоскости, а хорды этого круга являются гиперболическими линиями. В более высоких измерениях эта модель использует внутреннюю область единичного шара, а хорды этого n-мерного шара являются гиперболическими линиями. Преимуществом этой модели является то, что линии прямые, но её недостатком является искажение углов (отображение неконформно), а также то, что окружности не представляются в виде окружностей. Расстояние в этой модели равно половине логарифма двойного отношения, введенного Артуром Кейли в проективной геометрии.

Модель диска Понкаре

Модель диска Пуанкаре, также известная как конформная модель диска, также использует внутреннюю часть единичного круга, но линии представляются дугами окружностей, ортогональными к граничному кругу, а также диаметрами граничного круга. Эта модель сохраняет углы и, таким образом, является конформной. Все изометрии в этой модели, следовательно, являются преобразованиями Мёбиуса. Окружности, полностью лежащие внутри диска, остаются окружностями, хотя евклидов центр окружности находится ближе к центру диска, чем гиперболический центр окружности. Гороциклы — это окружности внутри диска, касающиеся границы круга, исключая точку касания. Гиперциклы — это неограниченные хорды и дуги окружностей внутри диска, которые заканчиваются на границе круга под углами, не являющимися прямыми.

Гиперболоидная модель

Гиперболоидная модель или модель Лоренца использует двумерный гиперболоид вращения (из двух листов, но используется один лист), встроенный в трехмерное пространство Минковского. Эта модель обычно приписывается Пуанкаре, но Рейнольдс утверждает, что Вильгельм Киллинг использовал эту модель еще в 1885 году. Эта модель имеет непосредственное применение к специальной теории относительности, поскольку трехмерное пространство Минковского является моделью пространства-времени, игнорируя одно пространственное измерение. Гиперболоид можно рассматривать как представляющий события (положения в пространстве-времени), до которых различные инерциально движущиеся наблюдатели, стартуя из одного и того же события, доберутся за фиксированное собственное время. Гиперболическое расстояние между двумя точками на гиперболоиде можно отождествить с относительной быстротой между двумя соответствующими наблюдателями. Модель непосредственно обобщается на дополнительное измерение: трехмерное гиперболическое пространство связано с четырехмерным пространством Минковского.

Модель Ганса

В 1966 году Дэвид Ганс предложил модель уплощенного гиперболоида в журнале American Mathematical Monthly. Это ортографическая проекция гиперболоидной модели на плоскость xy. Эта модель не так широко используется, как другие модели, но, тем не менее, весьма полезна для понимания гиперболической геометрии. В отличие от моделей Кляйна или Пуанкаре, эта модель использует всю евклидову плоскость. Линии в этой модели изображаются в виде ветвей гиперболы.

Модель группы

В модели полосы используется часть евклидовой плоскости между двумя параллельными линиями. Расстояние сохраняется вдоль одной линии, проходящей через середину полосы. Если полоса задана выражением , то метрика задается выражением .

Более высокие размеры

Гиперболическая геометрия не ограничивается двумя измерениями; гиперболическая геометрия существует для любого числа измерений больше двух.