Кіріспе

Геометрия симметриясы бойынша ғылыми-зерттеу бағдарламасы. Математикада Эрланген бағдарламасы – топтар теориясы мен проективті геометрия негізінде геометрияларды сипаттау әдісі. Ол Феликс Клейн 1872 жылы «Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen» деген атпен жарияланды. Ол Клейн жұмыс істеген Эрланген-Нюрнберг университетінің атымен аталады. 1872 жылға қарай Евклидтік емес геометриялар пайда болды, бірақ олардың иерархиясын және байланыстарын анықтаудың жолы болмады. Клейннің әдісі үш жағынан түбегейлі жаңашылдық болды:

Біріншіден, проективті геометрия оның қарастырған барлық басқа геометриялар үшін біріктіретін негізгі құрылым ретінде баса көрсетілді. Атап айтқанда, Евклид геометриясы аффиндік геометриядан шектеулі болды, ал аффиндік геометрия проективті геометриядан шектеулі болды. Клейн математиканың алгебралық әдістерді симметрия идеясын абстракциялау үшін пайдаланатын саласы – топтар теориясы геометриялық білімді ұйымдастырудың ең тиімді жолы екенін ұсынды; сол кезде ол Галуа теориясы түрінде теңдеулер теориясына енгізілген еді. Клейн әр геометриялық тілдің өзіне тән, сәйкес ұғымдары бар екенін айқын жеткізді, мысалы, проективті геометрия коникалық қималар туралы дұрыс айтты, бірақ шеңберлер мен бұрыштар туралы емес, себебі бұл ұғымдар проективті түрлендірулер кезінде өзгермейді (геометриялық перспективада белгілі бір нәрсе). Геометрияның көптеген тілдерінің бірігуі симметриялық топтың кіші топтарының бір-бірімен қалай байланысқанын түсіндіру арқылы түсіндірілуі мүмкін. Кейіннен Эли Картан Клейннің гомогендік модельдік кеңістіктерін белгілі бір негізгі жиындықтардағы Картан байланыстарына кеңейтті, бұл Риман геометриясын жалпылады.

XIX ғасыр геометриясының проблемалары

Евклидтен бері геометрия екі өлшемді (жазық геометрия) немесе үш өлшемді (кеңістіктік геометрия) Евклид кеңістігінің геометриясын білдірді. XIX ғасырдың бірінші жартысында жағдайды күрделендіретін бірнеше жаңалықтар болды. Математикалық қолданыстар төрт немесе одан көп өлшемді геометрияны қажет етті; дәстүрлі Евклид геометриясының негіздерін жан-жақты зерттеу параллельдік постулаттың басқаларынан тәуелсіз екенін көрсетті, соның нәтижесінде Евклидтік емес геометрия туды. Клейн барлық осы жаңа геометриялар Понселет, Мёбиус, Кейли және басқалар дамытқан проективтік геометрияның ерекше жағдайлары ғана деген идеяны ұсынды. Клейн сондай-ақ математикалық физиктерге проективтік көзқарасты орташа деңгейде дамытудың өзі оларға айтарлықтай пайда әкелуі мүмкін екенін қатты кеңес берді. Клейн әрбір геометрияға симметриялардың жатқандағы тобын байланыстырды. Геометриялардың иерархиясы осы топтардың және олардың инварианттарының иерархиясы ретінде математикалық тұрғыдан бейнеленеді. Мысалы, ұзындық, бұрыш және аудан Евклидтік симметриялар тобына қатысты сақталады, ал ең жалпы проективтік түрлендірулер кезінде тек инциденттік құрылым мен қиылыс қатынасы ғана сақталады. Аффиндік геометрияда сақталатын параллелизм ұғымы проективтік геометрияда мағынасыз. Содан кейін, геометриялардан симметриялардың жатқандағы топтарын абстракциялау арқылы, олардың арасындағы қатынастарды топ деңгейінде қайта орнатуға болады. Аффиндік геометрия тобы проективтік геометрия тобының ішкі тобы болғандықтан, проективтік геометриядағы кез келген инвариант ұғымы аффиндік геометрияда априори мағыналы; бірақ керісінше емес. Егер қажетті симметрияларды жойсаңыз, сізде күшті теория болады, бірақ тұжырымдар мен теоремалар азаяды (бірақ олар тереңірек және жалпырақ болады).

Біртекті кеңістіктер

Басқаша айтқанда, "дәстүрлі кеңістіктер" біртекті кеңістіктер болып табылады; бірақ олар тек бір ғана анықталған топ үшін емес. Топты өзгертуге байланысты, қолданылатын геометриялық тіл де өзгереді. Қазіргі терминологияда, классикалық геометрияда қарастырылатын топтардың бәрі жақсы белгілі – олар Лай топтары: классикалық топтар. Бұл нақты қатынастар техникалық тілмен өте қарапайым түрде сипатталады.

Мысалдар

Мысалы, n нақты өлшемдегі проективті геометрия тобы – n өлшемді нақты проективті кеңістіктің симметрия тобы болып табылады (n+1 дәрежелі жалпы сызықтық топ, скалярлық матрицаларға қатысты бөлінді). Аффиндік топ – таңдалған шексіз гипержазыққа қатысты (өз-өзіне бейнелеу, яғни нүктелік тұрақталмау) сақтайтын кіші топ. Бұл кіші топтың белгілі құрылымы бар (n дәрежелі жалпы сызықтық топтың трансляциялар кіші тобымен жартылай тікелей көбейтіндісі). Осы сипаттама бізге қандай қасиеттердің «аффиндік» екенін көрсетеді. Евклидтік жазықтық геометриясы тұрғысынан, параллелограмм болу – аффиндік қасиет, себебі аффиндік түрлендірулер әрқашан бір параллелограммды екіншісіне айналдырады. Дөңгелек болу – аффиндік емес, өйткені аффиндік қисыту дөңгелекті эллипсқа айналдырады. Аффиндік және Евклидтік геометрия арасындағы қатынасты нақты түсіндіру үшін, аффиндік топтың ішіндегі Евклидтік геометрия тобын анықтауымыз керек. Евклидтік топ, шындығында (аффиндік топтың жоғарыдағы сипаттамасын пайдаланып), ортогональдық топтың (айналу және көшу) трансляциялармен жартылай тікелей көбейтіндісі болып табылады. (Толық мәліметтер үшін Клейн геометриясына жүгініңіз.)

Кейінгі еңбектеріне әсері

Эрланген бағдарламасының ұзақ мерзімді әсерлері таза математиканың барлық салаларында көрінеді (мысалы, конгруэнциядағы (геометриядағы) жасырын қолданылуын қараңыз); физикада симметрия топтарын қолданып трансформациялар мен синтез идеясы қалыпты жағдайға жетті. Топология гомеоморфизмге қатысты инвариантты қасиеттер арқылы тұрақты түрде сипатталғанда, оның негізгі идеясы іске қосылғанын көруге болады. Көбінесе қатысатын топтар шексіз өлшемді болады – және олар Ли топтары емес – бірақ философия бірдей. Бұл, әрине, көбінесе Клайннің педагогикалық ықпалымен байланысты. Х. С. М. Коксетер сияқты авторлардың кітаптары геометрияларды «орналастыруға» көмектесу үшін Эрланген бағдарламасының тәсілін жүйелі түрде қолданды. Педагогикалық тұрғыдан алғанда, бағдарлама трансформациялық геометрияға айналды, бұл Евклид стиліне қарағанда күшті сезімдерге негізделген, бірақ логикалық жүйеге оңай түрлендірілмейтін екі жақты нәрсе. Жан Пиаже өзінің «Структурализм» (1970) кітабында былай дейді: «Бурбаки сияқты заманауи структуралистік математиктер үшін Эрланген бағдарламасы структурализмнің толыққанды жеңісі емес, себебі олар геометрия ғана емес, барлық математиканы құрылым идеясына бағындыруды қалайды». Геометрия және оның тобы үшін топтың бір элементері кейде геометрияның қозғалысы деп аталады. Мысалы, гиперболалық геометрияның Пуанкаре жарты жазықтық моделін гиперболалық қозғалыстарға негізделген даму арқылы зерттеуге болады. Мұндай даму үзіліссіз теореманы бір-бірінен кейін қозғалыстар арқылы жүйелі түрде дәлелдеуге мүмкіндік береді.