Введение

Исследовательская программа по симметриям геометрии
В математике, программа Эрлангена — это метод характеризации геометрий, основанный на теории групп и проективной геометрии. Она была опубликована Феликсом Клейном в 1872 году под названием Vergleichende Betrachtungen über neuere geometrische Forschungen. Программа названа в честь университета Эрлангена-Нюрнберга, где работал Клейн. К 1872 году неевклидовы геометрии уже существовали, но не было способа определить их иерархию и взаимосвязи. Метод Клейна был принципиально новаторским в трех аспектах:

Проективная геометрия была выделена как объединяющая основа для всех других рассматриваемых им геометрий. В частности, евклидова геометрия оказалась более ограничительной, чем аффинная геометрия, которая, в свою очередь, более ограничительна, чем проективная геометрия. Клейн предложил, что теория групп, раздел математики, использующий алгебраические методы для абстрагирования идеи симметрии, является наиболее эффективным способом организации геометрических знаний; к тому времени она уже была внедрена в теорию уравнений в форме теории Галуа. Клейн более четко сформулировал идею о том, что каждый геометрический язык имеет свои собственные, соответствующие понятия, например, проективная геометрия корректно оперировала с коническими сечениями, но не с окружностями или углами, поскольку эти понятия не были инвариантны относительно проективных преобразований (что хорошо известно в геометрической перспективе). То, как различные языки геометрии вновь объединялись, можно было объяснить взаимосвязью подгрупп группы симметрии. Позднее Эли Картан обобщил однородные модельные пространства Клейна до связностей Картана на определенных главных расслоениях, что, в свою очередь, обобщило риманову геометрию.

Проблемы геометрии девятнадцатого века

С Евклида геометрия понималась как геометрия евклидова пространства двух измерений (плоская геометрия) или трех измерений (стереометрия). В первой половине девятнадцатого века ряд событий усложнил эту картину. Математические приложения требовали геометрии четырех и более измерений; пристальный анализ основ традиционной евклидовой геометрии выявил независимость постулата о параллельных прямых от остальных, и родилась неевклидова геометрия. Клейн предложил идею, что все эти новые геометрии – лишь частные случаи проективной геометрии, как это уже было разработано Понселе, Мёбиусом, Кейли и другими. Клейн также настоятельно рекомендовал математическим физикам, что даже некоторое углубление в проективную перспективу может принести им значительную пользу. С каждой геометрией Клейн связывал лежащую в её основе группу симметрий. Иерархия геометрий, таким образом, математически представляется как иерархия этих групп и иерархия их инвариантов. Например, длины, углы и площади сохраняются относительно евклидовой группы симметрий, в то время как при наиболее общих проективных преобразованиях сохраняются лишь структура инцидентности и двойное отношение. Понятие параллельности, сохраняемое в аффинной геометрии, лишено смысла в проективной геометрии. Затем, абстрагируя лежащие в основе геометрий группы симметрий, можно восстановить связи между ними на уровне групп. Поскольку группа аффинной геометрии является подгруппой группы проективной геометрии, любое понятие, инвариантное в проективной геометрии, априори значимо и в аффинной геометрии, но не наоборот. Уменьшая требуемые симметрии, мы получаем более мощную теорию, но с меньшим количеством концепций и теорем (которые, однако, будут глубже и более общими).

Однородные пространства

Другими словами, «традиционные пространства» — это однородные пространства, но не для единственно заданной группы. Изменение группы влечет за собой изменение подходящего геометрического языка. В современной терминологии группы, рассматриваемые в классической геометрии, хорошо известны как группы Ли: классические группы. Конкретные соотношения описываются достаточно просто, используя специальную терминологию.

Примеры

Например, группа проективной геометрии в n вещественных измерениях является группой симметрий n-мерного вещественного проективного пространства (общая линейная группа степени n + 1, фактор-группа по скалярным матрицам). Аффинная группа – это подгруппа, сохраняющая (отображающая в себя, но не фиксирующая по отдельности точки) выбранную гиперплоскость на бесконечности. Эта подгруппа имеет известную структуру (полупрямое произведение общей линейной группы степени n и группы трансляций). Это описание позволяет понять, какие свойства являются аффинными. В терминах евклидовой геометрии, свойство быть параллелограммом является аффинным, поскольку аффинные преобразования всегда переводят один параллелограмм в другой. Круг не является аффинным, поскольку аффинное сдвиговое преобразование переводит круг в эллипс. Чтобы точно описать связь между аффинной и евклидовой геометрией, необходимо определить группу евклидовой геометрии внутри аффинной группы. Евклидова группа, на самом деле (используя предыдущее описание аффинной группы), является полупрямым произведением ортогональной группы (группы вращений и отражений) и группы трансляций. (Подробности см. в геометрии Клейна.)

Влияние на более поздние работы

Долгосрочные последствия эрлангенской программы видны во всей чистой математике (см., например, неявное использование в конгруэнциях (геометрии)); идея преобразований и синтеза с помощью групп симметрии стала общепринятой в физике. Когда топология регулярно описывается в терминах свойств, инвариантных относительно гомеоморфизмов, можно увидеть лежащую в основе идею в действии. Вовлеченные группы почти во всех случаях будут бесконечномерными – и не группами Ли – но философия остается той же. Разумеется, это в основном свидетельствует о педагогическом влиянии Кляйна. В таких книгах, как работы Х. С. М. Коксетера, подход эрлангенской программы регулярно использовался для того, чтобы помочь "определить место" геометрий. С педагогической точки зрения, программа превратилась в геометрию преобразований, что является палкой о двух концах, поскольку она опирается на более сильную интуицию, чем стиль Евклида, но ее сложнее формализовать в логическую систему. В своей книге «Структурализм» (1970) Жан Пиаже пишет: «По мнению современных математиков-структуралистов, таких как Бурбаки, эрлангенская программа представляет собой лишь частичную победу структурализма, поскольку они стремятся подчинить идее структуры не только геометрию, но и всю математику». Для геометрии и ее группы элемент группы иногда называют движением геометрии. Например, о модели полуплоскости Пуанкаре гиперболической геометрии можно узнать посредством построения, основанного на гиперболических движениях. Такое построение позволяет методично доказать теорему об ультрапараллельных прямых последовательными движениями.