Проективтік геометрия: қасиеттері мен қолданылуы

Кіріспе

Геометрия түрі

Математикада проективтік геометрия – проективтік түрлендірулерге қатысты өзгермейтін геометриялық қасиеттерді зерттейтін ғылым. Бұл, қарапайым Эвклид геометриясымен салыстырғанда, проективтік геометрияда басқаша негіз, проективтік кеңістік және таңдамал негізгі геометриялық ұғымдар жиынтығы бар екенін білдіреді. Негізгі түсінік – проективтік кеңістікте, берілген өлшемде, Эвклид кеңістігінен көбірек нүктелер болады, сондай-ақ, қосымша нүктелерді ("шетсіз нүктелер" деп аталатын) Эвклид нүктелеріне және керісінше түрлендіретін геометриялық түрлендірулерге рұқсат етіледі. Проективтік геометрия үшін маңызды қасиеттер осы түрлендірудің жаңа түсінігімен сақталады, ол трансформация матрицалары мен жылжулар (аффиндік түрлендірулер) арқылы берілген әсерлерге қарағанда күштірек. Геометриямен айналысатын маман үшін алғашқы мәселе – жаңа жағдайға қандай геометрия сәйкес келеді. Эвклид геометриясынан айырмашылығы, проективтік геометрияда бұрыш ұғымы қолданылмайды, себебі бұрыш өлшемі проективтік түрлендірулерге қатысты өзгермейді, бұл өзгермелі перспективадан салынған суретте көрінеді. Проективтік геометрияның бір көзі – перспектива теориясы болды. Элементар геометриядан тағы бір айырмашылық – проективтік геометрияның терминдеріне аударғанда, параллель түзулердің шексіз нүктеде қиылысатынын айту мүмкіндігі. Бұл түсініктің интуитивті негізі бар, мысалы, перспективалы суреттегі теміржол жолдарының көкжиекте қиылысуы. Екі өлшемдегі проективтік геометрияның негіздері үшін проективтік жазықтыққа қараңыз. Бұл идеялар бұрыннан белгілі болғанымен, проективтік геометрия негізінен 19 ғасырда дамыды. Оған күрделі проективтік кеңістік теориясы, қолданылатын координаттар (гомогенді координаттар) – күрделі сандар жатты. Абстрактілі математиканың бірнеше маңызды түрі (инварианттар теориясы, алгебралық геометрияның итальян мектебі және Феликс Клейннің классикалық топтарды зерттеуге бағытталған Эрланген бағдарламасы) проективтік геометрияның ықпалымен туды. Бұл сонымен қатар синтетикалық геометрия сияқты көптеген мамандармен айналысқан сала болды. Проективтік геометрияның аксиоматикалық зерттеулерінен дамыған тағы бір сала – шекті геометрия. Проективтік геометрия тақырыбы қазір көптеген зерттеу бағыттарына бөлінген, олардың екеуі – проективтік алгебралық геометрия (проективтік түрлерді зерттеу) және проективтік дифференциалдық геометрия (проективтік түрлендірулердің дифференциалдық инварианттарын зерттеу).

In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant with respect to projective transformations. This means that, compared to elementary Euclidean geometry, projective geometry has a different setting, projective space, and a selective set of basic geometric concepts. The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, for a given dimension, and that geometric transformations are permitted that transform the extra points (called "points at infinity") to Euclidean points, and vice versa. Properties meaningful for projective geometry are respected by this new idea of transformation, which is more radical in its effects than can be expressed by a transformation matrix and translations (the affine transformations). The first issue for geometers is what kind of geometry is adequate for a novel situation. Unlike in Euclidean geometry, concept of angle does not apply in projective geometry, because no measure of angle is invariant with respect to projective transformations, as is seen in perspective drawing from a changing perspective. One source for projective geometry was indeed the theory of perspective. Another difference from elementary geometry is the way in which parallel lines can be said to meet in a point at infinity, once the concept is translated into projective geometry's terms. Again this notion has an intuitive basis, such as railway tracks meeting at the horizon in a perspective drawing. See Projective plane for the basics of projective geometry in two dimensions. While the ideas were available earlier, projective geometry was mainly a development of the 19th century. This included the theory of complex projective space, the coordinates used (homogeneous coordinates) being complex numbers. Several major types of more abstract mathematics (including invariant theory, the Italian school of algebraic geometry, and Felix Klein's Erlangen programme resulting in the study of the classical groups) were motivated by projective geometry. It was also a subject with many practitioners for its own sake, as synthetic geometry. Another topic that developed from axiomatic studies of projective geometry is finite geometry. The topic of projective geometry is itself now divided into many research subtopics, two examples of which are projective algebraic geometry (the study of projective varieties) and projective differential geometry (the study of differential invariants of the projective transformations).

Шолу

Проективті геометрия — геометрияның элементарлық, метрикалық емес түрі болып табылады, яғни ол қашықтық туралы ешқандай ұғымды қолдамайды. Екі өлшемде ол нүктелер мен түзулердің конфигурацияларын зерттеуден басталады. Осындай қарапайым жағдайда геометриялық қызығушылық бар екенін алғаш рет Десарг және басқалар перспективалық өнердің принциптерін зерттеген кезде анықтады. Жоғары өлшемді кеңістіктерде гипержазықтықтар (әрқашан қиылысатын) және басқа да сызықтық кіші кеңістіктер қарастырылады, олар дуальділік принципін көрсетеді. Дуальділіктің ең қарапайым мысалы — проективті жазықтықта, онда "екі әртүрлі нүкте бірегей түзуді анықтайды" (яғни, олар арқылы өтетін түзу) және "екі әртүрлі түзу бірегей нүктені анықтайды" (яғни, олардың қиылысу нүктесі) деген мәлімдемелер ұқсас құрылымды көрсетеді. Проективті геометрияны тек түзу сызықпен жүргізілетін конструкциялардың геометриясы ретінде де қарастыруға болады. Проективті геометрияда циркульді пайдалану болмағандықтан, шеңберлер, бұрыштар, өлшемдер, параллель түзулер және аралық (немесе "арадағы") ұғымы жоқ. Проективті геометрияға қатысты теоремалардың қарапайым мәлімдемелер екені анықталды. Мысалы, проективті геометриядағы әртүрлі коникалық қималардың бәрі эквивалентті, ал шеңберлер туралы кейбір теоремаларды осы жалпы теоремалардың ерекше жағдайлары ретінде қарастыруға болады. 19 ғасырдың басында Жан Виктор Понселе, Лазар Карно және басқалардың еңбектері проективті геометрияны математиканың тәуелсіз саласы ретінде қалыптастырды. Оның қатаң негіздерін Карл фон Штаудт зерттеді және 19 ғасырдың соңында итальяндық ғалымдар Джузеппе Пеано, Марио Пьери, Алессандро Падоа және Джино Фано жетілдірді. Аффиндік және Евклидтік геометрия сияқты проективті геометрияны да Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасынан дамытуға болады; проективті геометрия проективті топтың трансформациялары бойынша инварианттармен сипатталады. Осы саланың көптеген теоремаларын зерттегеннен кейін проективті геометрияның негіздері түсінікті болды. Инциденттік құрылым және қиылыс қатынасы проективті трансформациялар кезіндегі негізгі инварианттар болып табылады. Проективті геометрияны аффиндік жазықтықпен (немесе аффиндік кеңістікпен) және "шексіздіктегі" түзумен (гипержазықтықпен) модельдеуге болады, содан кейін осы түзуді (немесе гипержазықтықты) "қалыпты" деп қарастыруға болады. Аналитикалық геометрия стилінде проективті геометрияны жүзеге асырудың алгебралық моделі біртекті координаттар арқылы беріледі. Екінші жағынан, аксиомалық зерттеулер Десарг емес жазықтықтардың бар екенін көрсетті, бұл инциденттік аксиомаларын (тек екі өлшемде) гомогенді координаттар жүйесі арқылы түсіндіруге болмайтын құрылымдармен модельдеуге болатындығын көрсететін мысалдар. Негізгі мағынада проективті геометрия және реттелген геометрия элементар болып табылады, өйткені олардың әрқайсысы аксиомалардың минималды жиынтығын қамтиды және екеуін де аффиндік және Евклидтік геометрияның негізі ретінде пайдалануға болады. Проективті геометрия "реттелмеген", сондықтан ол геометрияның ерекше негізі болып табылады.

Projective geometry is an elementary non metrical form of geometry, meaning that it does not support any concept of distance. In two dimensions it begins with the study of configurations of points and lines. That there is indeed some geometric interest in this sparse setting was first established by Desargues and others in their exploration of the principles of perspective art. In higher dimensional spaces there are considered hyperplanes (that always meet), and other linear subspaces, which exhibit the principle of duality. The simplest illustration of duality is in the projective plane, where the statements "two distinct points determine a unique line" (i. e. the line through them) and "two distinct lines determine a unique point" (i. e. their point of intersection) show the same structure as propositions. Projective geometry can also be seen as a geometry of constructions with a straight edge alone. Since projective geometry excludes compass constructions, there are no circles, no angles, no measurements, no parallels, and no concept of intermediacy (or "betweenness"). It was realised that the theorems that do apply to projective geometry are simpler statements. For example, the different conic sections are all equivalent in (complex) projective geometry, and some theorems about circles can be considered as special cases of these general theorems. During the early 19th century the work of Jean Victor Poncelet, Lazare Carnot and others established projective geometry as an independent field of mathematics. Its rigorous foundations were addressed by Karl von Staudt and perfected by Italians Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa and Gino Fano during the late 19th century. Projective geometry, like affine and Euclidean geometry, can also be developed from the Erlangen program of Felix Klein; projective geometry is characterized by invariants under transformations of the projective group. After much work on the very large number of theorems in the subject, therefore, the basics of projective geometry became understood. The incidence structure and the cross ratio are fundamental invariants under projective transformations. Projective geometry can be modeled by the affine plane (or affine space) plus a line (hyperplane) "at infinity" and then treating that line (or hyperplane) as "ordinary". An algebraic model for doing projective geometry in the style of analytic geometry is given by homogeneous coordinates. On the other hand, axiomatic studies revealed the existence of non Desarguesian planes, examples to show that the axioms of incidence can be modelled (in two dimensions only) by structures not accessible to reasoning through homogeneous coordinate systems. In a foundational sense, projective geometry and ordered geometry are elementary since they each involve a minimal set of axioms and either can be used as the foundation for affine and Euclidean geometry. Projective geometry is not "ordered" and so it is a distinct foundation for geometry.

Тарих

Жобалау сипатының алғашқы геометриялық қасиеттерін 3 ғасырда Александриялық Папп ашқан. Филиппо Брунелески (1404–1472) 1425 жылы перспектива геометриясын зерттеуді бастады (проективті геометрияның дамуына үлкен үлес қосыған көркем өнердегі жұмыстарды толығырақ қараңыз). Иоганн Кеплер (1571–1630) және Жирард Десарг (1591–1661) тәуелсіз түрде "шетсіздіктегі нүкте" тұжырымын дамытты. Десарг перспективалық суреттерді құрудың басқаша жолын жасады, бұл жол жоғалып кету нүктелерін қолдануды жалпылау арқылы олардың шексіз алысқа кеткен жағдайын қамтиды. Ол Евклид геометриясын, яғни параллель түзулердің шын мәнінде параллель болатын геометриялық жүйенің ерекше жағдайы ретінде қарастырды. Десаргтың коникалық қималар туралы зерттеуі 16 жасар Блез Паскальдың назарын аударды және оған Паскаль теоремасын формулировать көмектесті. 18-шы ғасырдың соңы мен 19-шы ғасырдың басындағы Гаспард Монжтың еңбектері проективті геометрияның одан әрі дамуы үшін маңызды болды. Десаргтың еңбегі 1845 жылы Мишель Часлес қолжазба көшірмесін тапқанға дейін назардан тыс қалды. Ал Жан Виктор Понселе 1822 жылы проективті геометрия бойынша негізгі трактат жариялаған болатын. Понселе объектілердің проективті қасиеттерін (орталық проекция кезінде өзгермейтін қасиеттерін) зерттеді және шеңберге қатысты нақты полюс және полярлық қатынасқа негізделіп, метрикалық және проективті қасиеттер арасындағы байланысты орнатты. Көп ұзамай ашылған Евклид емес геометриялардың, мысалы, проективті геометриямен байланысты гиперболалық кеңістіктің Клейн моделі сияқты модельдері бар екені анықталды. 1855 жылы А. Ф. Мёбиус күрделі жазықтықтағы жалпыланған шеңберлердің өзгерістері туралы мақала жазды, бұл қазір Мёбиус түрлендірулері деп аталады. Бұл түрлендірулер күрделі проективті түзудің проективтіліктерін көрсетеді. Ғарыштағы түзулерді зерттеуде Юлиус Плюккер өзінің сипаттамасында біртекті координаттарды қолданды, ал түзулер жиынтығы Клейн квадрикасында қарастырылды, бұл проективті геометрияның проективті идеялары бар аналитикалық геометрияның бір саласы – алгебралық геометрияға жасаған алғашқы үлесінің бірі болды. Проективті геометрия Лобачевский мен Боляйдың гиперболалық геометрияға қатысты болжамдарын гиперболалық жазықтықтың модельдерін ұсыну арқылы растауда маңызды рөл атқарды: мысалы, Пуанкаре дискінің моделі, онда бірлік шеңберіне перпендикуляр жалпыланған шеңберлер "гиперболалық түзулерге" (геодезикаларға) сәйкес келеді, ал бұл модельдің "аудармалары" бірлік дискіні өзіне бейімдейтін Мёбиус түрлендірулерімен сипатталады. Нүктелер арасындағы қашықтық Кейли-Клейн метрикасымен беріледі, ол аудармалар бойынша инвариантты, өйткені ол негізгі проективті инвариант – көлденең қатынасқа байланысты. Аудармалар метрикалық кеңістік теориясында изометриялар ретінде, формальды түрде сызықтық бөлшек түрлендірулер ретінде және проективті сызықтық топтың проективті сызықтық түрлендірулері ретінде сипатталады, бұл жағдайда SU(1, 1). Понселе, Якоб Штайнер және басқалардың еңбектері аналитикалық геометрияны кеңейтуді мақсат еткен жоқ. Техникалар синтетикалық болуы керек еді: проективті кеңістік, қазір түсінілгендей, аксиоматикалық түрде енгізілуі керек еді. Нәтижесінде проективті геометриядағы ертедегі жұмысты қазіргі қатаңдық стандарттарына сәйкес келу үшін қайта құру қиын болуы мүмкін. Тіпті проективті жазықтықтың өзінің жағдайында да аксиоматикалық тәсіл сызықтық алгебра арқылы сипатталмайтын модельдерге әкелуі мүмкін. Геометриядағы бұл кезең Клебш, Риман, Макс Нотер және басқалардың жалпы алгебралық қисықтар туралы зерттеулерімен, олар қолданыстағы әдістерді созып, содан кейін инвариант теориясымен алмастырылды. Ғасырдың соңына қарай алгебралық геометрияның итальян мектебі (Энрикс, Сегре, Севери) дәстүрлі пәннен шығып, терең техниканы талап ететін салаға көшті. 19 ғасырдың соңғы кезеңінде проективті геометрияны егжей-тегжейлі зерттеу әдебиеттің көлемді болғанына қарамастан, модадан шықты. Бірақ санамалық геометрияда, әсіресе Шуберт жасаған маңызды жұмыстар болды, ол қазір Грасманндықтардың алгебралық топологиясын білдіретін Черн кластары теориясын күту ретінде қарастырылады. Кейіннен проективті геометрия Поль Дирактың кванттық механиканы ойлап табуының кілті болды. Негізгі деңгейде кванттық өлшеулердің алмасуға қабілетсіздігі Гейзенбергті алаңдатқан және одан айырған, бірақ коммутативті емес сақиналар үстіндегі проективті жазықтықтарды зерттеу Диракты сезімсіздендірген болуы мүмкін. Күрделі жұмыстарда Дирак өзінің теңдеулерінің интуитивті мағынасын түсіну үшін проективті геометриядағы кең ауқымды суреттерді пайдаланды, содан кейін оны таза алгебралық формализмде жазды.

The first geometrical properties of a projective nature were discovered during the 3rd century by Pappus of Alexandria. Filippo Brunelleschi (1404–1472) started investigating the geometry of perspective during 1425 (see for a more thorough discussion of the work in the fine arts that motivated much of the development of projective geometry). Johannes Kepler (1571–1630) and Girard Desargues (1591–1661) independently developed the concept of the "point at infinity". Desargues developed an alternative way of constructing perspective drawings by generalizing the use of vanishing points to include the case when these are infinitely far away. He made Euclidean geometry, where parallel lines are truly parallel, into a special case of an all encompassing geometric system. Desargues's study on conic sections drew the attention of 16 year old Blaise Pascal and helped him formulate Pascal's theorem. The works of Gaspard Monge at the end of 18th and beginning of 19th century were important for the subsequent development of projective geometry. The work of Desargues was ignored until Michel Chasles chanced upon a handwritten copy during 1845. Meanwhile, Jean Victor Poncelet had published the foundational treatise on projective geometry during 1822. Poncelet examined the projective properties of objects (those invariant under central projection) and, by basing his theory on the concrete pole and polar relation with respect to a circle, established a relationship between metric and projective properties. The non Euclidean geometries discovered soon thereafter were eventually demonstrated to have models, such as the Klein model of hyperbolic space, relating to projective geometry. In 1855 A. F. Möbius wrote an article about permutations, now called Möbius transformations, of generalised circles in the complex plane. These transformations represent projectivities of the complex projective line. In the study of lines in space, Julius Plücker used homogeneous coordinates in his description, and the set of lines was viewed on the Klein quadric, one of the early contributions of projective geometry to a new field called algebraic geometry, an offshoot of analytic geometry with projective ideas. Projective geometry was instrumental in the validation of speculations of Lobachevski and Bolyai concerning hyperbolic geometry by providing models for the hyperbolic plane: for example, the Poincaré disc model where generalised circles perpendicular to the unit circle correspond to "hyperbolic lines" (geodesics), and the "translations" of this model are described by Möbius transformations that map the unit disc to itself. The distance between points is given by a Cayley–Klein metric, known to be invariant under the translations since it depends on cross ratio, a key projective invariant. The translations are described variously as isometries in metric space theory, as linear fractional transformations formally, and as projective linear transformations of the projective linear group, in this case SU(1, 1). The work of Poncelet, Jakob Steiner and others was not intended to extend analytic geometry. Techniques were supposed to be synthetic: in effect projective space as now understood was to be introduced axiomatically. As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult. Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra. This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann, Max Noether and others, which stretched existing techniques, and then by invariant theory. Towards the end of the century, the Italian school of algebraic geometry (Enriques, Segre, Severi) broke out of the traditional subject matter into an area demanding deeper techniques. During the later part of the 19th century, the detailed study of projective geometry became less fashionable, although the literature is voluminous. Some important work was done in enumerative geometry in particular, by Schubert, that is now considered as anticipating the theory of Chern classes, taken as representing the algebraic topology of Grassmannians. Projective geometry later proved key to Paul Dirac's invention of quantum mechanics. At a foundational level, the discovery that quantum measurements could fail to commute had disturbed and dissuaded Heisenberg, but past study of projective planes over noncommutative rings had likely desensitized Dirac. In more advanced work, Dirac used extensive drawings in projective geometry to understand the intuitive meaning of his equations, before writing up his work in an exclusively algebraic formalism.

Дуальділік

1825 жылы Жозеф Гергон проективті жазықтық геометриясына тән екілік принципін атап өтті: кез келген теорема немесе осы геометрияның анықтамасы берілгенде, нүктені түзуге ауыстыру, түзу бойында жатуын өтуге, бір түзуде жатуын бірдей нүктеде түйісуге, қиылысуын қосылуға немесе керісінше алмастырса, басқа теорема немесе жарамды анықтама шығады, ол біріншісінің «дуалы» болады. Сол сияқты, 3 өлшемде де нүктелер мен жазықтықтар арасындағы екілік қатынас сақталады, теореманы нүктені жазықтыққа ауыстыру арқылы түрлендіруге болады, сондай-ақ «құрамында болуын» және «қамтуын» да алмастыруға болады. Жалпы алғанда, N өлшемді проективті кеңістікте R өлшемді және N – R – 1 өлшемді кіші кеңістіктер арасында екілік болады. Егер N = 2 болса, онда бұл екіліктің ең көп таралған түріне – нүктелер мен түзулер арасындағы екілікке айналады. Бұл принципін Жан Виктор Понселе де тәуелсіз түрде ашқан. Екілікті орнату үшін тек сұранысқа сай өлшем үшін аксиомалардың дуалды нұсқалары болып табылатын теоремаларды құру қажет. Осылайша, 3 өлшемді кеңістік үшін мыналарды көрсету қажет: (1*) әрбір нүкте 3 түрлі жазықтықта жатады, (2*) кез келген екі жазықтық бір түзуде қиылысады және (3*) оның дуалы: егер P және Q жазықтықтарының қиылысы R және S жазықтықтарының қиылысымен бір жазықтықта жатса, онда P және R, Q және S жазықтықтарының қиылыстары да солай болады (P және S жазықтықтары Q және R жазықтықтарынан өзгеше деп есептесек). Іс жүзінде, екілік принципі екі геометриялық құрылым арасында екілік сәйкестік орнатуға мүмкіндік береді. Олардың ең танымал мысалы – коника қисығында (2 өлшемде) немесе квадрикалық бетінде (3 өлшемде) екі фигураның полярлығы немесе өзара тепе-теңдігі. Көп қолданылатын мысал – концентрлі сферада симметриялық көпбұрыштың дуалының алынуы. Тағы бір мысал – Брайаншон теоремасы, ол жоғарыда аталған Паскаль теоремасының дуалы және оның дәлелдемелерінің бірі Паскаль теоремасына екілік принципін қолданудан тұрады. Осы екі теореманың салыстырмалы тұжырымдары төменде келтірілген (екеуі де проективті жазықтық шеңберінде): Паскаль: Егер алтыбұрыштың барлық алты төбесі коникада жатса, онда оның қарама-қарсы қабырғаларының қиылысу нүктелері (проективті жазықтықта «сызық сегменті» деген ұғым болмайтындықтан, олар толық түзулер ретінде қарастырылады) үш бір түзуде жататын нүктелер болады. Оларды қосатын түзу алтыбұрыштың Паскаль түзуі деп аталады. Брайаншон: Егер алтыбұрыштың барлық алты қабырғасы коникаға жанасса, онда оның диагональдары (яғни қарама-қарсы төбелерді қосатын түзулер) үш бір нүктеде түйісетін түзулер болады. Олардың түйісетін нүктесі алтыбұрыштың Брайаншон нүктесі деп аталады. (Егер коника екі түзуге тозатын болса, Паскаль теоремасы Паппус теоремасына айналады, оның қызықты дуалы жоқ, өйткені Брайаншон нүктесі екі түзудің қиылысу нүктесіне айналады.)

In 1825, Joseph Gergonne noted the principle of duality characterizing projective plane geometry: given any theorem or definition of that geometry, substituting point for line, lie on for pass through, collinear for concurrent, intersection for join, or vice versa, results in another theorem or valid definition, the "dual" of the first. Similarly in 3 dimensions, the duality relation holds between points and planes, allowing any theorem to be transformed by swapping point and plane, is contained by and contains. More generally, for projective spaces of dimension N, there is a duality between the subspaces of dimension R and dimension N − R − 1. For 1=N = 2, this specializes to the most commonly known form of duality—that between points and lines. The duality principle was also discovered independently by Jean Victor Poncelet. To establish duality only requires establishing theorems which are the dual versions of the axioms for the dimension in question. Thus, for 3 dimensional spaces, one needs to show that (1*) every point lies in 3 distinct planes, (2*) every two planes intersect in a unique line and a dual version of (3*) to the effect: if the intersection of plane P and Q is coplanar with the intersection of plane R and S, then so are the respective intersections of planes P and R, Q and S (assuming planes P and S are distinct from Q and R). In practice, the principle of duality allows us to set up a dual correspondence between two geometric constructions. The most famous of these is the polarity or reciprocity of two figures in a conic curve (in 2 dimensions) or a quadric surface (in 3 dimensions). A commonplace example is found in the reciprocation of a symmetrical polyhedron in a concentric sphere to obtain the dual polyhedron. Another example is Brianchon's theorem, the dual of the already mentioned Pascal's theorem, and one of whose proofs simply consists of applying the principle of duality to Pascal's. Here are comparative statements of these two theorems (in both cases within the framework of the projective plane):
Pascal: If all six vertices of a hexagon lie on a conic, then the intersections of its opposite sides (regarded as full lines, since in the projective plane there is no such thing as a "line segment") are three collinear points. The line joining them is then called the Pascal line of the hexagon. Brianchon: If all six sides of a hexagon are tangent to a conic, then its diagonals (i. e. the lines joining opposite vertices) are three concurrent lines. Their point of intersection is then called the Brianchon point of the hexagon. (If the conic degenerates into two straight lines, Pascal's becomes Pappus's theorem, which has no interesting dual, since the Brianchon point trivially becomes the two lines' intersection point.)

Жобалау геометриясының аксиомалары

Кез келген геометрия тиісті аксиомалар жиынтығынан туындайды. Проективтік геометрия "эллиптік параллель" аксиомасымен сипатталады: кез келген екі жазықтық әрқашан бір түзуде қиылысады немесе жазықтықтағы кез келген екі түзу әрқашан бір нүктеде қиылысады. Басқаша айтқанда, проективтік геометрияда параллель түзулер немесе жазықтықтар болмайды. Проективтік геометрия үшін аксиомалардың көптеген баламалы жиынтығы ұсынылған (мысалы, Коксетер 2003, Хилберт және Кохн-Воссен 1999, Гринберг 1980).

Қосымша аксиомалар

Өлшемін немесе координаттар сақинасын шектейтін қосымша аксиомаларды қосуға болады. Мысалы, Коксетердің проективті геометриясы жоғарыдағы үш аксиомада Вебленге сілтеме жасайды, сондай-ақ өлшемді 3-ке бекітіп, координаттар сақинасын 2-ге тең емес сипаттағы коммутативтік өріс ететін тағы 5 аксиоманы қосады.

Жобалаушы жазықтықтар үшін аксиомалар

Инциденттік геометрияда көптеген авторлар Фано жазықтығын PG(2, 2) ең кіші шекті проективті жазықтық ретінде қарастырады. Мұны іске асыратын аксиомалар жүйесі былай: (P1) Кез келген екі әртүрлі нүкте бір ғана түзуде жатады. (P2) Кез келген екі әртүрлі түзу бір ғана нүктеде қиылысады. (P3) Үшеуі бір түзуде жатпайтын кемінде төрт нүкте бар. Коксетердің «Геометрияға кіріспе» еңбегі Бахманға жатқызылатын проективті жазықтықтың құрылымын анықтайтын бес аксиоманы келтіреді, жоғарыдағы аксиомалар тізіміне Папп теоремасын қосады (дезаргестік емес жазықтықтарды жояды) және сипаттамасы 2-ге тең болатын өрістердегі проективті жазықтықтарды есепке алмайды (Фано аксиомасын қанағаттандырмайтын). Осылайша берілген шектеулі жазықтықтар нақты проективті жазықтыққа жақынрақ келеді.