Проективная геометрия: основные понятия и развитие

Введение

Тип геометрии

В математике проективная геометрия — это изучение геометрических свойств, инвариантных относительно проективных преобразований. Это означает, что по сравнению с элементарной евклидовой геометрией, проективная геометрия оперирует другим пространством — проективным пространством — и использует особый набор базовых геометрических понятий. Основная идея заключается в том, что проективное пространство содержит больше точек, чем евклидово пространство той же размерности, и допускает геометрические преобразования, переводящие дополнительные точки (так называемые «точками на бесконечности») в евклидовы точки и наоборот. Свойства, значимые для проективной геометрии, сохраняются при таком новом типе преобразований, который более радикален в своих эффектах, чем преобразования, описываемые матрицами и сдвигами (аффинными преобразованиями). Для геометров первостепенным вопросом является выбор геометрии, адекватной для конкретной задачи. В отличие от евклидовой геометрии, понятие угла неприменимо в проективной геометрии, поскольку никакая мера угла не является инвариантной относительно проективных преобразований, что проявляется, например, в перспективе при изменении точки зрения. Теория перспективы послужила одним из источников развития проективной геометрии. Еще одно отличие от элементарной геометрии заключается в том, что параллельные линии можно считать пересекающимися в точке на бесконечности, если рассматривать это в терминах проективной геометрии. Эта идея также имеет интуитивную основу, например, сходящиеся рельсы на горизонте в перспективе. Подробное изложение основ проективной геометрии в двух измерениях можно найти в статье «Проективная плоскость». Хотя отдельные идеи существовали и ранее, проективная геометрия получила основное развитие в XIX веке, включая теорию комплексного проективного пространства, где в качестве координат используются комплексные числа (однородные координаты). Проективная геометрия послужила стимулом для развития нескольких важных направлений абстрактной математики, таких как теория инвариантов, итальянская школа алгебраической геометрии и эрлангенская программа Феликса Клейна, приведшая к изучению классических групп. Кроме того, она долгое время оставалась самостоятельной областью исследований, как синтетическая геометрия. Другой областью, развившейся из аксиоматического изучения проективной геометрии, является конечная геометрия. Сама тема проективной геометрии сейчас разделена на множество исследовательских направлений, среди которых можно выделить проективную алгебраическую геометрию (изучение проективных многообразий) и проективную дифференциальную геометрию (изучение дифференциальных инвариантов проективных преобразований).

In mathematics, projective geometry is the study of geometric properties that are invariant with respect to projective transformations. This means that, compared to elementary Euclidean geometry, projective geometry has a different setting, projective space, and a selective set of basic geometric concepts. The basic intuitions are that projective space has more points than Euclidean space, for a given dimension, and that geometric transformations are permitted that transform the extra points (called "points at infinity") to Euclidean points, and vice versa. Properties meaningful for projective geometry are respected by this new idea of transformation, which is more radical in its effects than can be expressed by a transformation matrix and translations (the affine transformations). The first issue for geometers is what kind of geometry is adequate for a novel situation. Unlike in Euclidean geometry, concept of angle does not apply in projective geometry, because no measure of angle is invariant with respect to projective transformations, as is seen in perspective drawing from a changing perspective. One source for projective geometry was indeed the theory of perspective. Another difference from elementary geometry is the way in which parallel lines can be said to meet in a point at infinity, once the concept is translated into projective geometry's terms. Again this notion has an intuitive basis, such as railway tracks meeting at the horizon in a perspective drawing. See Projective plane for the basics of projective geometry in two dimensions. While the ideas were available earlier, projective geometry was mainly a development of the 19th century. This included the theory of complex projective space, the coordinates used (homogeneous coordinates) being complex numbers. Several major types of more abstract mathematics (including invariant theory, the Italian school of algebraic geometry, and Felix Klein's Erlangen programme resulting in the study of the classical groups) were motivated by projective geometry. It was also a subject with many practitioners for its own sake, as synthetic geometry. Another topic that developed from axiomatic studies of projective geometry is finite geometry. The topic of projective geometry is itself now divided into many research subtopics, two examples of which are projective algebraic geometry (the study of projective varieties) and projective differential geometry (the study of differential invariants of the projective transformations).

Обзор

Проективная геометрия является элементарной неметрической формой геометрии, что означает отсутствие в ней понятия расстояния. В двух измерениях она начинается с изучения конфигураций точек и прямых. Тот факт, что в этой лаконичной постановке вообще существует геометрический интерес, впервые установили Дезарг и другие, исследуя принципы перспективного искусства. В пространствах более высоких размерностей рассматриваются гиперплоскости (которые всегда пересекаются) и другие линейные подпространства, демонстрирующие принцип двойственности. Наиболее простой пример дуальности можно увидеть в проективной плоскости, где утверждения "две различные точки определяют единственную прямую" (то есть прямую, проходящую через них) и "две различные прямые определяют единственную точку" (то есть точку их пересечения) имеют ту же структуру, что и предложения. Проективную геометрию также можно рассматривать как геометрию построений только с помощью линейки. Поскольку проективная геометрия исключает построения с помощью циркуля, в ней нет окружностей, углов, измерений, параллельных прямых и понятия промежуточности (или "между"). Было осознано, что теоремы, применимые к проективной геометрии, представляют собой более простые утверждения. Например, все различные конические сечения эквивалентны в (комплексной) проективной геометрии, а некоторые теоремы об окружностях можно рассматривать как частные случаи этих общих теорем. В начале XIX века работы Жана Виктора Понселе, Лазара Карно и других заложили основы проективной геометрии как самостоятельной области математики. Строгие основания были разработаны Карлом фон Стаудтом и усовершенствованы итальянскими математиками Джузеппе Пеано, Марио Пьери, Алессандро Падоа и Джино Фано в конце XIX века. Как и аффинная и евклидова геометрия, проективная геометрия также может быть развита на основе эрлангенской программы Феликса Клейна; проективная геометрия характеризуется инвариантами относительно преобразований проективной группы. После обширных исследований большого количества теорем в этой области, основы проективной геометрии стали понятны. Инцидентность и двойное отношение являются фундаментальными инвариантами при проективных преобразованиях. Проективную геометрию можно моделировать аффинной плоскостью (или аффинным пространством) с добавлением прямой (гиперплоскости) "на бесконечности", рассматривая при этом эту прямую (или гиперплоскость) как "обычную". Алгебраическая модель для выполнения проективной геометрии в стиле аналитической геометрии задается однородными координатами. С другой стороны, аксиоматические исследования выявили существование недезарговских плоскостей, которые служат примерами, показывающими, что аксиомы инцидентности могут быть смоделированы (только в двух измерениях) структурами, недоступными для рассуждений с помощью однородных координатных систем. В фундаментальном смысле, проективная геометрия и упорядоченная геометрия являются элементарными, поскольку каждая из них опирается на минимальный набор аксиом и может служить основой для аффинной и евклидовой геометрии. Проективная геометрия не является "упорядоченной", и поэтому представляет собой отличную основу для геометрии.

Projective geometry is an elementary non metrical form of geometry, meaning that it does not support any concept of distance. In two dimensions it begins with the study of configurations of points and lines. That there is indeed some geometric interest in this sparse setting was first established by Desargues and others in their exploration of the principles of perspective art. In higher dimensional spaces there are considered hyperplanes (that always meet), and other linear subspaces, which exhibit the principle of duality. The simplest illustration of duality is in the projective plane, where the statements "two distinct points determine a unique line" (i. e. the line through them) and "two distinct lines determine a unique point" (i. e. their point of intersection) show the same structure as propositions. Projective geometry can also be seen as a geometry of constructions with a straight edge alone. Since projective geometry excludes compass constructions, there are no circles, no angles, no measurements, no parallels, and no concept of intermediacy (or "betweenness"). It was realised that the theorems that do apply to projective geometry are simpler statements. For example, the different conic sections are all equivalent in (complex) projective geometry, and some theorems about circles can be considered as special cases of these general theorems. During the early 19th century the work of Jean Victor Poncelet, Lazare Carnot and others established projective geometry as an independent field of mathematics. Its rigorous foundations were addressed by Karl von Staudt and perfected by Italians Giuseppe Peano, Mario Pieri, Alessandro Padoa and Gino Fano during the late 19th century. Projective geometry, like affine and Euclidean geometry, can also be developed from the Erlangen program of Felix Klein; projective geometry is characterized by invariants under transformations of the projective group. After much work on the very large number of theorems in the subject, therefore, the basics of projective geometry became understood. The incidence structure and the cross ratio are fundamental invariants under projective transformations. Projective geometry can be modeled by the affine plane (or affine space) plus a line (hyperplane) "at infinity" and then treating that line (or hyperplane) as "ordinary". An algebraic model for doing projective geometry in the style of analytic geometry is given by homogeneous coordinates. On the other hand, axiomatic studies revealed the existence of non Desarguesian planes, examples to show that the axioms of incidence can be modelled (in two dimensions only) by structures not accessible to reasoning through homogeneous coordinate systems. In a foundational sense, projective geometry and ordered geometry are elementary since they each involve a minimal set of axioms and either can be used as the foundation for affine and Euclidean geometry. Projective geometry is not "ordered" and so it is a distinct foundation for geometry.

История

Первые геометрические свойства проективной природы были обнаружены в III веке Паппом Александрийским. Филиппо Брунеллески (1404–1472) начал исследовать геометрию перспективы в 1425 году (см. более подробное обсуждение работ в изобразительном искусстве, которые мотивировали значительную часть развития проективной геометрии). Иоганн Кеплер (1571–1630) и Жирар Дезарг (1591–1661) независимо друг от друга разработали концепцию "точки на бесконечности". Дезарг разработал альтернативный способ построения перспективных рисунков, обобщив использование точек схода, чтобы включить случай, когда они находятся на бесконечном расстоянии. Он сделал евклидову геометрию, где параллельные линии действительно параллельны, частным случаем всеобъемлющей геометрической системы. Исследование Дезаргом конических сечений привлекло внимание 16-летнего Блеза Паскаля и помогло ему сформулировать теорему Паскаля. Работы Гаспара Монжа в конце XVIII и начале XIX веков были важны для последующего развития проективной геометрии. Работы Дезарга оставались незамеченными, пока Мишель Часлес случайно не обнаружил рукописную копию в 1845 году. Тем временем Жан Виктор Понселе опубликовал основополагающий трактат о проективной геометрии в 1822 году. Понселе исследовал проективные свойства объектов (инвариантные относительно центральной проекции) и, основывая свою теорию на конкретном понятии полюса и полярной прямой относительно окружности, установил связь между метрическими и проективными свойствами. Вскоре после этого было показано, что неевклидовы геометрии имеют модели, такие как модель Клейна гиперболического пространства, связанные с проективной геометрией. В 1855 году А. Ф. Мёбиус написал статью о перестановках, ныне называемых преобразованиями Мёбиуса, обобщенных окружностей в комплексной плоскости. Эти преобразования представляют собой проективности комплексной проективной прямой. При изучении прямых в пространстве Юлиус Плюккер использовал однородные координаты в своем описании, а множество прямых рассматривалось на квадрике Клейна – один из ранних вкладов проективной геометрии в новую область, называемую алгебраической геометрией, ответвление аналитической геометрии с использованием проективных идей. Проективная геометрия сыграла важную роль в подтверждении предположений Лобачевского и Больяи относительно гиперболической геометрии, предоставив модели для гиперболической плоскости: например, модель диска Пуанкаре, где обобщенные окружности, перпендикулярные единичной окружности, соответствуют "гиперболическим линиям" (геодезическим), а "сдвиги" этой модели описываются преобразованиями Мёбиуса, отображающими единичный диск на себя. Расстояние между точками задается метрикой Кэли–Клейна, которая, как известно, инвариантна относительно сдвигов, поскольку она зависит от двойного отношения, ключевого проективного инварианта. Сдвиги описываются по-разному как изометрии в теории метрического пространства, как линейные дробные преобразования формально и как проективные линейные преобразования проективной линейной группы, в данном случае SU(1, 1). Работы Понселе, Якоба Штайнера и других не были направлены на расширение аналитической геометрии. Методы должны были быть синтетическими: фактически проективное пространство, как оно понимается сейчас, должно было быть введено аксиоматически. В результате переформулировка ранних работ в проективной геометрии, чтобы она соответствовала современным стандартам строгости, может быть несколько сложной. Даже в случае одной лишь проективной плоскости аксиоматический подход может привести к моделям, которые нельзя описать с помощью линейной алгебры. Этот период в геометрии был вытеснен исследованиями общей алгебраической кривой Клебша, Римана, Макса Нётера и других, которые расширили существующие методы, а затем теорией инвариантов. К концу века итальянская школа алгебраической геометрии (Энрикес, Сегре, Севери) вышла за рамки традиционных предметов в область, требующую более глубоких методов. В течение последней трети XIX века детальное изучение проективной геометрии стало менее популярным, хотя литература обширна. Важная работа была проделана в энумеративной геометрии, в частности, Шубертом, которая теперь считается предвосхищающей теорию классов Черна, рассматриваемую как представляющую алгебраическую топологию грассманианов. Позже проективная геометрия оказалась ключевой для изобретения квантовой механики Полем Дираком. На фундаментальном уровне открытие того, что квантовые измерения могут не коммутировать, встревожило и оттолкнуло Гейзенберга, но предыдущее изучение проективных плоскостей над некоммутативными кольцами, вероятно, притупило чувствительность Дирака. В более продвинутой работе Дирак использовал обширные чертежи в проективной геометрии, чтобы понять интуитивный смысл своих уравнений, прежде чем записывать свою работу в исключительно алгебраической форме.

The first geometrical properties of a projective nature were discovered during the 3rd century by Pappus of Alexandria. Filippo Brunelleschi (1404–1472) started investigating the geometry of perspective during 1425 (see for a more thorough discussion of the work in the fine arts that motivated much of the development of projective geometry). Johannes Kepler (1571–1630) and Girard Desargues (1591–1661) independently developed the concept of the "point at infinity". Desargues developed an alternative way of constructing perspective drawings by generalizing the use of vanishing points to include the case when these are infinitely far away. He made Euclidean geometry, where parallel lines are truly parallel, into a special case of an all encompassing geometric system. Desargues's study on conic sections drew the attention of 16 year old Blaise Pascal and helped him formulate Pascal's theorem. The works of Gaspard Monge at the end of 18th and beginning of 19th century were important for the subsequent development of projective geometry. The work of Desargues was ignored until Michel Chasles chanced upon a handwritten copy during 1845. Meanwhile, Jean Victor Poncelet had published the foundational treatise on projective geometry during 1822. Poncelet examined the projective properties of objects (those invariant under central projection) and, by basing his theory on the concrete pole and polar relation with respect to a circle, established a relationship between metric and projective properties. The non Euclidean geometries discovered soon thereafter were eventually demonstrated to have models, such as the Klein model of hyperbolic space, relating to projective geometry. In 1855 A. F. Möbius wrote an article about permutations, now called Möbius transformations, of generalised circles in the complex plane. These transformations represent projectivities of the complex projective line. In the study of lines in space, Julius Plücker used homogeneous coordinates in his description, and the set of lines was viewed on the Klein quadric, one of the early contributions of projective geometry to a new field called algebraic geometry, an offshoot of analytic geometry with projective ideas. Projective geometry was instrumental in the validation of speculations of Lobachevski and Bolyai concerning hyperbolic geometry by providing models for the hyperbolic plane: for example, the Poincaré disc model where generalised circles perpendicular to the unit circle correspond to "hyperbolic lines" (geodesics), and the "translations" of this model are described by Möbius transformations that map the unit disc to itself. The distance between points is given by a Cayley–Klein metric, known to be invariant under the translations since it depends on cross ratio, a key projective invariant. The translations are described variously as isometries in metric space theory, as linear fractional transformations formally, and as projective linear transformations of the projective linear group, in this case SU(1, 1). The work of Poncelet, Jakob Steiner and others was not intended to extend analytic geometry. Techniques were supposed to be synthetic: in effect projective space as now understood was to be introduced axiomatically. As a result, reformulating early work in projective geometry so that it satisfies current standards of rigor can be somewhat difficult. Even in the case of the projective plane alone, the axiomatic approach can result in models not describable via linear algebra. This period in geometry was overtaken by research on the general algebraic curve by Clebsch, Riemann, Max Noether and others, which stretched existing techniques, and then by invariant theory. Towards the end of the century, the Italian school of algebraic geometry (Enriques, Segre, Severi) broke out of the traditional subject matter into an area demanding deeper techniques. During the later part of the 19th century, the detailed study of projective geometry became less fashionable, although the literature is voluminous. Some important work was done in enumerative geometry in particular, by Schubert, that is now considered as anticipating the theory of Chern classes, taken as representing the algebraic topology of Grassmannians. Projective geometry later proved key to Paul Dirac's invention of quantum mechanics. At a foundational level, the discovery that quantum measurements could fail to commute had disturbed and dissuaded Heisenberg, but past study of projective planes over noncommutative rings had likely desensitized Dirac. In more advanced work, Dirac used extensive drawings in projective geometry to understand the intuitive meaning of his equations, before writing up his work in an exclusively algebraic formalism.

Двойственность

В 1825 году Жозеф Гергонн отметил принцип двойственности, характеризующий проективную плоскостную геометрию: для любой теоремы или определения этой геометрии, замена точки на прямую, «лежит на» на «проходит через», коллинеарности на сопряжённость, пересечения на соединение, или наоборот, приводит к другой теореме или допустимому определению, «двойственному» к исходному. Аналогично, в трёх измерениях, отношение двойственности выполняется между точками и плоскостями, позволяя преобразовывать любую теорему путём замены точки на плоскость и «содержится в» на «содержит». В более общем случае, для проективных пространств размерности N, существует двойственность между подпространствами размерности R и размерности N − R − 1. При N = 2 это сводится к наиболее известной форме двойственности — между точками и прямыми. Принцип двойственности был также независимо открыт Жаном Виктором Понселе. Для установления двойственности достаточно установить теоремы, являющиеся двойственными версиями аксиом для рассматриваемой размерности. Таким образом, для трёхмерных пространств необходимо показать, что (1*) каждая точка лежит в трёх различных плоскостях, (2*) любые две плоскости пересекаются в единственной прямой, и двойственную версию (3*): если пересечение плоскостей P и Q компланарно с пересечением плоскостей R и S, то компланарны и соответствующие пересечения плоскостей P и R, Q и S (при условии, что плоскости P и S различны плоскостям Q и R). На практике, принцип двойственности позволяет установить двойственное соответствие между двумя геометрическими построениями. Наиболее известным примером является полярность или взаимность двух фигур относительно конического сечения (в двух измерениях) или квадратичной поверхности (в трёх измерениях). Распространённый пример можно найти во взаимной трансформации симметричного многогранника в концентрической сфере для получения двойственного многогранника. Другой пример — теорема Брианшона, двойственная уже упомянутой теореме Паскаля, одно из доказательств которой заключается в простом применении принципа двойственности к теореме Паскаля. Ниже приведены сравнительные формулировки этих двух теорем (в обоих случаях в рамках проективной плоскости): Теорема Паскаля: Если все шесть вершин шестиугольника лежат на коническом сечении, то точки пересечения его противоположных сторон (рассматриваемые как полные прямые, поскольку в проективной плоскости не существует понятия «отрезок прямой») являются тремя коллинеарными точками. Прямая, проходящая через эти точки, называется линией Паскаля шестиугольника. Теорема Брианшона: Если все шесть сторон шестиугольника касаются конического сечения, то его диагонали (то есть прямые, соединяющие противоположные вершины) пересекаются в одной точке. Эта точка называется точкой Брианшона шестиугольника. (Если коническое сечение вырождается в две прямые, теорема Паскаля переходит в теорему Паппа, которая не имеет интересного двойственного аналога, поскольку точка Брианшона тривиально становится точкой пересечения этих двух прямых.)

In 1825, Joseph Gergonne noted the principle of duality characterizing projective plane geometry: given any theorem or definition of that geometry, substituting point for line, lie on for pass through, collinear for concurrent, intersection for join, or vice versa, results in another theorem or valid definition, the "dual" of the first. Similarly in 3 dimensions, the duality relation holds between points and planes, allowing any theorem to be transformed by swapping point and plane, is contained by and contains. More generally, for projective spaces of dimension N, there is a duality between the subspaces of dimension R and dimension N − R − 1. For 1=N = 2, this specializes to the most commonly known form of duality—that between points and lines. The duality principle was also discovered independently by Jean Victor Poncelet. To establish duality only requires establishing theorems which are the dual versions of the axioms for the dimension in question. Thus, for 3 dimensional spaces, one needs to show that (1*) every point lies in 3 distinct planes, (2*) every two planes intersect in a unique line and a dual version of (3*) to the effect: if the intersection of plane P and Q is coplanar with the intersection of plane R and S, then so are the respective intersections of planes P and R, Q and S (assuming planes P and S are distinct from Q and R). In practice, the principle of duality allows us to set up a dual correspondence between two geometric constructions. The most famous of these is the polarity or reciprocity of two figures in a conic curve (in 2 dimensions) or a quadric surface (in 3 dimensions). A commonplace example is found in the reciprocation of a symmetrical polyhedron in a concentric sphere to obtain the dual polyhedron. Another example is Brianchon's theorem, the dual of the already mentioned Pascal's theorem, and one of whose proofs simply consists of applying the principle of duality to Pascal's. Here are comparative statements of these two theorems (in both cases within the framework of the projective plane):
Pascal: If all six vertices of a hexagon lie on a conic, then the intersections of its opposite sides (regarded as full lines, since in the projective plane there is no such thing as a "line segment") are three collinear points. The line joining them is then called the Pascal line of the hexagon. Brianchon: If all six sides of a hexagon are tangent to a conic, then its diagonals (i. e. the lines joining opposite vertices) are three concurrent lines. Their point of intersection is then called the Brianchon point of the hexagon. (If the conic degenerates into two straight lines, Pascal's becomes Pappus's theorem, which has no interesting dual, since the Brianchon point trivially becomes the two lines' intersection point.)

Аксиомы проективной геометрии

Любая геометрия может быть выведена из соответствующего набора аксиом. Проективные геометрии характеризуются аксиомой "эллиптической параллельности", утверждающей, что любые две плоскости всегда пересекаются по одной прямой, а любые две прямые в плоскости – по одной точке. Иными словами, в проективной геометрии не существует параллельных прямых или плоскостей. Было предложено множество альтернативных наборов аксиом для проективной геометрии (см., например, Coxeter 2003, Hilbert & Cohn-Vossen 1999, Greenberg 1980).

Дополнительные аксиомы

Можно добавить дополнительные аксиомы, ограничивающие размерность или кольцо координат. Например, проективная геометрия Коксетера, ссылаясь на Веблена, использует три вышеуказанные аксиомы вместе с еще пятью аксиомами, которые определяют размерность равной 3 и координатное кольцо как коммутативное поле характеристики, отличной от 2.

Аксиомы для проективных плоскостей

В инцидентной геометрии большинство авторов рассматривают плоскость Фано PG(2, 2) как наименьшую конечную проективную плоскость. Система аксиом, обеспечивающая это, выглядит следующим образом: (P1) Любые две различные точки лежат на единственной прямой. (P2) Любые две различные прямые пересекаются в единственной точке. (P3) Существует не менее четырех точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Введение Коксетера в геометрию содержит список из пяти аксиом для более строгой концепции проективной плоскости, предложенной Бахманом, добавляя к вышеуказанным аксиомам теорему Паппа (что исключает недезаргезианские плоскости) и исключая проективные плоскости над полями характеристики 2 (те, которые не удовлетворяют аксиоме Фано). Плоскости, заданные таким образом, более тесно соответствуют реальной проективной плоскости.