Евклид геометриясы: қашықтық пен бұрыштарсыз геометрия

Кіріспе

Евклид геометриясы қашықтық пен бұрыштарсыз

Математикада аффиндік геометрия – Евклид геометриясынан қашықтық және бұрыш сияқты метрикалық ұғымдарды ескермегенде (математиктер көбінесе "ұмыту" дейді) қалған бөлігі. Паралель түзулер туралы ұғым кез келген метрикаға тәуелсіз негізгі қасиеттердің бірі болғандықтан, аффиндік геометрия көбінесе параллель түзулерді зерттеу ретінде қарастырылады. Сондықтан, Плейфэр аксиомасы (берілген L түзуі және L түзуінде жатпайтын P нүктесі үшін, P нүктесінен өтетін L түзуіне параллель бір ғана түзу бар) аффиндік геометриядағы маңызды аксиома болып табылады. Аффиндік геометриядағы фигураларды салыстыру аффиндік түрлендірулер арқылы жүзеге асырылады, олар нүктелердің орналасуын және түзулердің параллельдігін сақтайтын бейнелеулер болып табылады. Аффиндік геометрияны екі негізгі, шамамен тең баламалы тәсілмен дамытуға болады. Синтетикалық геометрияда аффиндік кеңістік – бірқатар аксиомаларды (мысалы, Плейфэр аксиомасы) қанағаттандыратын түзулер жиынтығымен байланыстырылған нүктелер жиынтығы. Аффиндік геометрияны сызықтық алгебра негізінде де дамытуға болады. Бұл жағдайда аффиндік кеңістік – трансформациялар жиынтығымен (яғни, өзара бір-бірге сәйкес келетін бейнелеулермен), трансляциялармен жабдықталған нүктелер жиынтығы болып табылады, ол векторлық кеңістікті құрайды (белгілі бір өріс бойынша, көбінесе нақты сандар бойынша), және кез келген берілген реттелген екі нүкте үшін бірінші нүктені екінші нүктеге жіберу үшін бірегей трансляция бар; екі трансляцияның композициясы – трансляциялардың векторлық кеңістігіндегі олардың қосындысына тең. Нақтырақ айтқанда, бұл кез келген реттелген екі нүкте жұбына векторды сәйкес қоятын операцияны және вектор арқылы нүктені жылдыруға мүмкіндік беретін тағы бір операцияны қамтиды, осы операциялар бірқатар аксиомаларды қанағаттандыруы керек (әсіресе, екі тізбекті трансляцияның әсері жиынтық вектор арқылы трансляцияға тең). Кез келген нүктені "бастапқы нүкте" ретінде таңдағанда, нүктелер векторлармен бір-бірге сәйкес келеді, бірақ бастапқы нүктені таңдауда ешқандай артықшылық жоқ; осылайша, аффиндік кеңістікті оныңмен байланысты векторлық кеңістіктен бастапқы нүктені "ұмыту" (нөлдік вектор) арқылы алуға болады. Метриканы ұмыту идеясын көптүрліліктер теориясында қолдануға болады. Бұл аффиндік байланыс туралы мақалада егжей-тегжейлі түсіндірілген.

In mathematics, affine geometry is what remains of Euclidean geometry when ignoring (mathematicians often say "forgetting") the metric notions of distance and angle. As the notion of parallel lines is one of the main properties that is independent of any metric, affine geometry is often considered as the study of parallel lines. Therefore, Playfair's axiom (Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line parallel to L that passes through P.) is fundamental in affine geometry. Comparisons of figures in affine geometry are made with affine transformations, which are mappings that preserve alignment of points and parallelism of lines. Affine geometry can be developed in two ways that are essentially equivalent. In synthetic geometry, an affine space is a set of points to which is associated a set of lines, which satisfy some axioms (such as Playfair's axiom). Affine geometry can also be developed on the basis of linear algebra. In this context an affine space is a set of points equipped with a set of transformations (that is bijective mappings), the translations, which forms a vector space (over a given field, commonly the real numbers), and such that for any given ordered pair of points there is a unique translation sending the first point to the second; the composition of two translations is their sum in the vector space of the translations. In more concrete terms, this amounts to having an operation that associates to any ordered pair of points a vector and another operation that allows translation of a point by a vector to give another point; these operations are required to satisfy a number of axioms (notably that two successive translations have the effect of translation by the sum vector). By choosing any point as "origin", the points are in one to one correspondence with the vectors, but there is no preferred choice for the origin; thus an affine space may be viewed as obtained from its associated vector space by "forgetting" the origin (zero vector). The idea of forgetting the metric can be applied in the theory of manifolds. That is developed in the article on the affine connection.

Тарих

1748 жылы Леонард Эйлер өзінің "Introductio in analysin infinitorum" кітабында (2-том, XVIII тарау) аффин терминін енгізді. 1827 жылы Август Мёбиус өзінің "Барицентристік есептеулер" (Der barycentrische Calcul) атты еңбегінде аффиндік геометрия туралы жазды (3-тарау). Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасынан кейін аффиндік геометрия Евклид геометриясының жалпылама түрі ретінде мойындалды. 1918 жылы Герман Вейль өзінің "Ғарыш, уақыт, материя" атты еңбегінде аффиналық геометрияға сілтеме жасады. Ол математикалық физиканы дамытудың бастапқы кезеңдерінде векторларды қосу және алу үшін аффиндік геометрияны қолданды. Кейін Е. Т. Уиттакер былай деп жазды:
Вейль геометриясы тарихи тұрғыдан қызығушылық тудырады, себебі ол егжей-тегжейлі әзірленген алғашқы аффиндік геометрия болды: ол төрт өлшемді кеңістік-уақытта жарық сигналдарының әлемдік сызықтарын [пайдаланып] параллель көшірудің ерекше түріне негізделген. Осы әлемдік сызықтардың кез келген қысқа бөлігін нөлдік вектор деп атауға болады; содан кейін аталған параллель көшіру кез келген нөлдік векторды бір нүктеден көрші нүктеге нөлдік вектордың орнына жеткізеді.

Тернарлық сақиналар

Десаргезиандық емес алғашқы жазықтықты Дэвид Гилберт өзінің "Геометрия негіздері" еңбегінде атап көрсеткен. Мольтон жазықтығы – осының стандартты мысалы. Мұндай геометрияны, сондай-ақ Дезарг теоремасы орындалатын жағдайларды түсіну үшін Маршалл Холл үштік сақина тұжырымын енгізді. Бұл тәсілде аффиндік жазықтықтар үштік сақинадан алынған реттелген жұптар арқылы құрастырылады. Егер екі параллель жағы бар, параллель проекциядағы екі үшбұрыштың үшінші жақтары да параллель болса, онда жазықтықта "кіші аффиндік Дезарг қасиеті" бар деп айтылады. Егер бұл қасиет үштік сақинамен анықталған аффиндік жазықтықта орындалса, онда жазықтықтағы нүктелер жұптарымен анықталатын "векторлар" арасында эквиваленттілік қатынас болады. Бұдан әрі, векторлар қосылғанда абельдік топты құрайды; үштік сақина сызықтық және оң жақтан таралу заңын қанағаттандырады.

Афиналық түрлендірулер

Геометриялық тұрғыдан алғанда, аффиндік түрлендірулер (аффиндіктер) коллинеарлықты сақтайды: яғни, олар параллель түзулерді параллель түзулерге айналдырады және параллель түзулер бойындағы қашықтықтардың қатынастарын сақтайды. Аффиндік топ астында инвариант болатын кез келген геометриялық нәтижені аффиндік теоремалар деп атаймыз (Феликс Клейннің Эрланген бағдарламасында бұл аффиндік геометрия үшін симметрияның негізгі түрлендіру тобы болып табылады). V векторлық кеңістікте жалпы сызықтық топ GL(V) қарастырыңыз. Бұл толық аффиндік топ емес, өйткені V-дегі v векторлары арқылы трансляцияларға да рұқсат етуіміз керек. (Мұндай трансляция V-дегі кез келген w-ді w + v-ге бейнелейді.) Аффиндік топ жалпы сызықтық топ пен трансляциялар арқылы туындайды және шын мәнінде олардың жартылай тікелей көбейтіндісі болып табылады (Бұл жерде V-ді қосу операциясы бойынша топ ретінде қарастырамыз және GL(V)-нің V-дегі анықталатын өкілдігін жартылай тікелей көбейтіндіні анықтау үшін пайдаланамыз). Мысалы, үшбұрыштар геометриясындағы теорема, әр төбесін қарсы жағының ортасымен қосатын түзулердің бір нүктеде түйісуі (центроид немесе барицентрде) орта нүкте және центроид ұғымдары аффиндік инварианттар ретінде қарастырылады. Басқа мысалдарға Сева және Менелай теоремалары жатады. Аффиндік инварианттар есептеулерге де көмектеседі. Мысалы, үшбұрыштың ауданын екі тең бөлікке бөлетін түзулер үшбұрыштың ішінде жабық сызық құрайды. Жабықтың ауданы мен үшбұрыштың ауданы арақатынасы аффиндік инвариант болып табылады, сондықтан оны барлық үшбұрыштар үшін 0,019860 немесе 2%-дан кем болу үшін бірлік теңқабырлы тікбұрышты үшбұрыз сияқты қарапайым жағдайдан есептеу жеткілікті. Үшбұрыштың ауданы үшін негіздің жартысы мен биіктігінің көбейтіндісі, ал пирамиданың көлемі үшін негіздің үштен бірі мен биіктігінің көбейтіндісі сияқты белгілі формулалар да аффиндік инварианттар болып табылады. Соңғысы жалпы жағдайда біріншісінен аз түсінікті болғанымен, бірлік кубтың жағымен (ауданы 1) және кубтың ортасымен (биіктігі 1/2) құрылған бір алтыншы бөлігі үшін оны оңай көруге болады. Сондықтан бұл барлық пирамидалар үшін, тіпті еңіс жазықтықтағы және негізі квадрат емес, параллелограмм болатын пирамидалар үшін де жарамды. Формула одан әрі негізін параллелограммдарға бөлуге болатын пирамидаларға, соның ішінде конустарға да қолданылады (шегінсуге тиісті назар аударумен). Дәл осы тәсіл төрт өлшемді пирамиданың 4D гиперкөлемі оның параллелепипед негізінің 3D көлемінің төрттен біріне биіктігінің көбейтіндісіне тең екенін көрсетеді, және т.б. жоғары өлшемдер үшін.

Geometrically, affine transformations (affinities) preserve collinearity: so they transform parallel lines into parallel lines and preserve ratios of distances along parallel lines. We identify as affine theorems any geometric result that is invariant under the affine group (in Felix Klein's Erlangen programme this is its underlying group of symmetry transformations for affine geometry). Consider in a vector space V, the general linear group GL(V). It is not the whole affine group because we must allow also translations by vectors v in V. (Such a translation maps any w in V to w + v.) The affine group is generated by the general linear group and the translations and is in fact their semidirect product (Here we think of V as a group under its operation of addition, and use the defining representation of GL(V) on V to define the semidirect product.) For example, the theorem from the plane geometry of triangles about the concurrence of the lines joining each vertex to the midpoint of the opposite side (at the centroid or barycenter) depends on the notions of mid point and centroid as affine invariants. Other examples include the theorems of Ceva and Menelaus. Affine invariants can also assist calculations. For example, the lines that divide the area of a triangle into two equal halves form an envelope inside the triangle. The ratio of the area of the envelope to the area of the triangle is affine invariant, and so only needs to be calculated from a simple case such as a unit isosceles right angled triangle to give i. e. 0.019860 or less than 2%, for all triangles. Familiar formulas such as half the base times the height for the area of a triangle, or a third the base times the height for the volume of a pyramid, are likewise affine invariants. While the latter is less obvious than the former for the general case, it is easily seen for the one sixth of the unit cube formed by a face (area 1) and the midpoint of the cube (height 1/2). Hence it holds for all pyramids, even slanting ones whose apex is not directly above the center of the base, and those with base a parallelogram instead of a square. The formula further generalizes to pyramids whose base can be dissected into parallelograms, including cones by allowing infinitely many parallelograms (with due attention to convergence). The same approach shows that a four dimensional pyramid has 4D hypervolume one quarter the 3D volume of its parallelepiped base times the height, and so on for higher dimensions.

Кинематика

Афиналық түрлендірудің екі түрі кинематикада қолданылады, классикалық және заманауи. Жылдамдық v ұзындығы және бағыты арқылы сипатталады, онда ұзындығы шексіз деп есептеледі. Галилейлік немесе Ньютондық стильдегі кинематиканың осы түрі абсолютті кеңістік пен уақыт координаттарын пайдаланады. Әрқайсысы үшін осі бар жазықтықтың сығу картасы, тыныш жатқан есептеу жүйесінде v жылдамдығымен қозғалатын бақылаушы үшін координаттардың өзгеруін көрсетеді. Алғаш Юпитердің серіктерінің пайда болуындағы кешігу арқылы байқалған жарық жылдамдығының шектілігі заманауи кинематиканы талап етеді. Бұл әдіс жылдамдық орнына жылдамдық параметрін қолданады және бұрын қолданылған сығу картасын қисайту картасымен ауыстырады. Бұл аффиндік геометрия 1912 жылы арнайы салыстырмалылық теориясын түсіндіру үшін синтетикалық түрде жасалды. 1984 жылы Грейсила Бирман және Кацуми Номизу "Лоренцтік геометриядағы тригонометрия" атты мақаласында "Лоренцтік векторлық кеңістік L2-ге қатысты аффиндік жазықтық" деп сипаттады.

Афиналық кеңістік

Аффиналық геометрияны берілген n өлшемді аффиналық кеңістіктің геометриясы ретінде қарастыруға болады, ол K өрісі бойынша координаталану арқылы беріледі. Сондай-ақ, синтетикалық шекті геометрияда дамығандай, координаталану арқылы берілген аффиналық кеңістіктің комбинаторлық жалпылауы да бар. Проективтік геометрияда аффиналық кеңістік – проективтік кеңістіктегі шексіздік гипержазықтығының толықтырғышы болып табылады. Аффиналық кеңістік, сондай-ақ, векторлық кеңістік ретінде қарастырылуы мүмкін, ондағы амалдар коэффициенттерінің қосындысы бірге тең болатын сызықтық комбинациялармен шектеледі, мысалы 2x − y, x − y + z, (x + y + z)/3, 'i'x + (1 − 'i')y және т.б. Синтетикалық тұрғыдан алғанда, аффиналық жазықтықтар – нүктелер мен түзулер арасындағы қатынастар (немесе кейде, жоғары өлшемдерде гипержазықтықтар) арқылы анықталған 2 өлшемді аффиналық геометриялар. Координаттарды пайдаланудың орнына нүктелер мен түзулердің (немесе гипержазықтықтардың) конфигурациялары ретінде аффиналық (және проективтік) геометрияларды анықтағанда, координаталық өрісі жоқ мысалдар пайда болады. Басты қасиет – барлық осындай мысалдардың өлшемі 2-ге тең. 2 өлшемдегі шекті мысалдар (шекті аффиналық жазықтықтар) шексіз аффиналық кеңістіктердегі конфигурацияларды зерттеуде, топтар теориясында және комбинаторикада құнды болып табылады. Конфигурациялық тәсілге қарағанда кемінде жалпы болғанымен, талқыланған басқа тәсілдер геометрияның симметриямен байланысты бөліктерін түсіндіруде өте табысты болды.

Жобалау көрінісі

Дәстүрлі геометрияда аффиндік геометрия Евклидтік геометрия мен проективтік геометрия арасындағы зерттеу саласы болып есептеледі. Бір жағынан, аффиндік геометрия – конгруэнттік элементтер алынып тасталған Евклидтік геометрия; екінші жағынан, аффиндік геометрия проективтік геометриядан белгілі бір түзуді немесе жазықтықты шексіздіктегі нүктелер ретінде белгілеп көрсету арқылы алынуы мүмкін. Аффиндік геометрияда метрикалық құрылым болмайды, бірақ параллельдік постулаты қолданылады. Аффиндік геометрия перпендикуляр түзулер анықталғанда Евклидтік құрылымның, ал гиперболалық ортогоналдық ұғымы арқылы Минковский геометриясының негізін қалайды. Осы көзқарас бойынша, аффиндік түрлендіру – шекті нүктелерді шексіздіктегі нүктелермен ауыстырмайтын проективтік түрлендіру, ал аффиндік түрлендіру геометриясы – аффиндік түрлендірулер тобының әсері арқылы геометриялық қасиеттерді зерттейтін ғылым.