Аффинная геометрия без расстояний и углов

Введение

Евклидова геометрия без расстояния и углов

В математике аффинная геометрия — это то, что остаётся от евклидовой геометрии, когда игнорируются (математики часто говорят, что "забывают") метрические понятия расстояния и угла. Поскольку понятие параллельных линий является одним из основных свойств, не зависящих от какой-либо метрики, аффинная геометрия часто рассматривается как изучение параллельных линий. Поэтому аксиома Плейфера (Для данной прямой L и точки P, не лежащей на L, существует ровно одна прямая, параллельная L, проходящая через P) является основополагающей в аффинной геометрии. Сравнение фигур в аффинной геометрии производится с помощью аффинных преобразований, которые являются отображениями, сохраняющими коллинеарность точек и параллельность прямых. Аффинную геометрию можно развивать двумя способами, которые по существу эквивалентны. В синтетической геометрии аффинное пространство — это множество точек, которому сопоставлено множество прямых, удовлетворяющих некоторым аксиомам (например, аксиоме Плейфера). Аффинная геометрия также может быть разработана на основе линейной алгебры. В этом контексте аффинное пространство представляет собой множество точек, снабжённых множеством преобразований (то есть биективных отображений), называемых трансляциями, которые образуют векторное пространство (над заданным полем, обычно вещественных чисел), и таким образом, что для любой заданной упорядоченной пары точек существует единственная трансляция, переводящая первую точку во вторую; композиция двух трансляций является их суммой в векторном пространстве трансляций. В более конкретных терминах это равносильно наличию операции, которая сопоставляет любую упорядоченную пару точек с вектором, и другой операции, позволяющей перенести точку по вектору в другую точку; эти операции должны удовлетворять ряду аксиом (в частности, два последовательных переноса эквивалентны переносу по векторной сумме). Выбрав любую точку в качестве "начала координат", точки приходят в соответствие векторам, но предпочтительного выбора для начала координат нет; таким образом, аффинное пространство можно рассматривать как полученное из связанного с ним векторного пространства путём "забывания" начала координат (нулевого вектора). Идея "забывания" метрики может быть применена в теории многообразий. Это подробно рассматривается в статье об аффинной связности.

In mathematics, affine geometry is what remains of Euclidean geometry when ignoring (mathematicians often say "forgetting") the metric notions of distance and angle. As the notion of parallel lines is one of the main properties that is independent of any metric, affine geometry is often considered as the study of parallel lines. Therefore, Playfair's axiom (Given a line L and a point P not on L, there is exactly one line parallel to L that passes through P.) is fundamental in affine geometry. Comparisons of figures in affine geometry are made with affine transformations, which are mappings that preserve alignment of points and parallelism of lines. Affine geometry can be developed in two ways that are essentially equivalent. In synthetic geometry, an affine space is a set of points to which is associated a set of lines, which satisfy some axioms (such as Playfair's axiom). Affine geometry can also be developed on the basis of linear algebra. In this context an affine space is a set of points equipped with a set of transformations (that is bijective mappings), the translations, which forms a vector space (over a given field, commonly the real numbers), and such that for any given ordered pair of points there is a unique translation sending the first point to the second; the composition of two translations is their sum in the vector space of the translations. In more concrete terms, this amounts to having an operation that associates to any ordered pair of points a vector and another operation that allows translation of a point by a vector to give another point; these operations are required to satisfy a number of axioms (notably that two successive translations have the effect of translation by the sum vector). By choosing any point as "origin", the points are in one to one correspondence with the vectors, but there is no preferred choice for the origin; thus an affine space may be viewed as obtained from its associated vector space by "forgetting" the origin (zero vector). The idea of forgetting the metric can be applied in the theory of manifolds. That is developed in the article on the affine connection.

История

В 1748 году Леонард Эйлер ввёл термин «аффинный» в своей книге Introductio in analysin infinitorum (том 2, глава XVIII). В 1827 году Август Мёбиус написал об аффинной геометрии в своем труде Der barycentrische Calcul (глава 3). После эрлангенской программы Феликса Клейна аффинная геометрия была признана обобщением евклидовой геометрии. В 1918 году Герман Вейль обратился к аффинной геометрии в своем тексте «Пространство, время, материя». Он использовал аффинную геометрию для введения сложения и вычитания векторов на самых ранних этапах развития математической физики. Позже Э. Т. Уиттакер писал:
Геометрия Вейля представляет исторический интерес как первая из аффинных геометрий, разработанная детально: она основана на специальном типе параллельного переноса, [использующем] мировые линии световых сигналов в четырехмерном пространстве-времени. Короткий элемент одной из этих мировых линий можно назвать нулевым вектором; тогда рассматриваемый параллельный перенос таков, что он переносит любой нулевой вектор из одной точки в положение нулевого вектора в соседней точке.

Тернарные кольца

Первая недесаргезианская плоскость была отмечена Дэвидом Гильбертом в его «Основах геометрии». Плоскость Моултона является стандартным примером. Чтобы обеспечить контекст для такой геометрии, а также для геометрий, в которых теорема Дезарга верна, Маршаллом Холлом была разработана концепция троичного кольца. В этом подходе аффинные плоскости строятся из упорядоченных пар, взятых из троичного кольца. Плоскость называется обладающей «минорным аффинным свойством Дезарга», если два треугольника в параллельной перспективе, имеющие две параллельные стороны, также должны иметь третьи стороны параллельными. Если это свойство выполняется в аффинной плоскости, определенной троичным кольцом, то существует отношение эквивалентности между «векторами», определяемыми парами точек плоскости. Более того, векторы образуют абелеву группу относительно сложения; троичное кольцо является линейным и удовлетворяет правому закону дистрибутивности.

Аффиновые преобразования

В геометрическом плане аффинные преобразования (аффинитеты) сохраняют коллинеарность: они преобразуют параллельные прямые в параллельные и сохраняют отношения расстояний вдоль параллельных прямых. Мы определяем как аффинные теоремы любой геометрический результат, который является инвариантным относительно аффинной группы (в эрлангенской программе Феликса Клейна это ее основная группа симметрии для аффинной геометрии). Рассмотрим в векторном пространстве V общую линейную группу GL(V). Она не является всей аффинной группой, поскольку мы должны также допускать сдвиги на векторы v из V. (Такой сдвиг отображает любое w из V в w + v.) Аффинная группа порождается общей линейной группой и сдвигами и фактически является их полупрямым произведением (Здесь мы рассматриваем V как группу относительно операции сложения и используем определяющее представление GL(V) на V для определения полупрямого произведения). Например, теорема из планиметрии треугольников о точке пересечения прямых, соединяющих каждую вершину с серединой противоположной стороны (в центроиде или барицентре), зависит от понятий середины и центроида как аффинных инвариантов. Другие примеры включают теоремы Чевы и Менелая. Аффинные инварианты также могут помогать в вычислениях. Например, прямые, делящие площадь треугольника пополам, образуют огибающую внутри треугольника. Отношение площади огибающей к площади треугольника является аффинным инвариантом и, следовательно, его нужно вычислять только для простого случая, такого как единичный равнобедренный прямоугольный треугольник, чтобы получить, например, 0,019860 или менее 2%, для всех треугольников. Привычные формулы, такие как половина основания, умноженная на высоту, для площади треугольника, или треть основания, умноженная на высоту, для объема пирамиды, также являются аффинными инвариантами. Хотя последняя менее очевидна, чем первая в общем случае, она легко видна для одной шестой единичного куба, образованной гранью (площадь 1) и серединой куба (высота 1/2). Следовательно, она справедлива для всех пирамид, даже наклонных, вершина которых не находится непосредственно над центром основания, и для тех, у которых основание является параллелограммом вместо квадрата. Формула далее обобщается на пирамиды, основание которых можно разбить на параллелограммы, включая конусы, допуская бесконечно много параллелограммов (с должным вниманием к сходимости). Тот же подход показывает, что четырехмерная пирамида имеет 4D-гиперобъем, равный четверти 3D-объема ее параллелепипедного основания, умноженного на высоту, и так далее для более высоких размерностей.

Geometrically, affine transformations (affinities) preserve collinearity: so they transform parallel lines into parallel lines and preserve ratios of distances along parallel lines. We identify as affine theorems any geometric result that is invariant under the affine group (in Felix Klein's Erlangen programme this is its underlying group of symmetry transformations for affine geometry). Consider in a vector space V, the general linear group GL(V). It is not the whole affine group because we must allow also translations by vectors v in V. (Such a translation maps any w in V to w + v.) The affine group is generated by the general linear group and the translations and is in fact their semidirect product (Here we think of V as a group under its operation of addition, and use the defining representation of GL(V) on V to define the semidirect product.) For example, the theorem from the plane geometry of triangles about the concurrence of the lines joining each vertex to the midpoint of the opposite side (at the centroid or barycenter) depends on the notions of mid point and centroid as affine invariants. Other examples include the theorems of Ceva and Menelaus. Affine invariants can also assist calculations. For example, the lines that divide the area of a triangle into two equal halves form an envelope inside the triangle. The ratio of the area of the envelope to the area of the triangle is affine invariant, and so only needs to be calculated from a simple case such as a unit isosceles right angled triangle to give i. e. 0.019860 or less than 2%, for all triangles. Familiar formulas such as half the base times the height for the area of a triangle, or a third the base times the height for the volume of a pyramid, are likewise affine invariants. While the latter is less obvious than the former for the general case, it is easily seen for the one sixth of the unit cube formed by a face (area 1) and the midpoint of the cube (height 1/2). Hence it holds for all pyramids, even slanting ones whose apex is not directly above the center of the base, and those with base a parallelogram instead of a square. The formula further generalizes to pyramids whose base can be dissected into parallelograms, including cones by allowing infinitely many parallelograms (with due attention to convergence). The same approach shows that a four dimensional pyramid has 4D hypervolume one quarter the 3D volume of its parallelepiped base times the height, and so on for higher dimensions.

Кинематика

В кинематике используются два типа аффинных преобразований – классические и современные. Скорость v описывается величиной и направлением, при этом величина скорости считается неограниченной. Эта разновидность кинематики, известная как галилеевская или ньютоновская, использует координаты абсолютного пространства и времени. Сдвиг плоскости относительно оси представляет собой изменение координат для наблюдателя, движущегося со скоростью v в неподвижной системе отсчета. Конечность скорости света, впервые замеченная по задержке появления спутников Юпитера, требует современной кинематики. В этом методе используется быстрота вместо скорости, а сдвиг заменяется сжатием. Эта аффинная геометрия была разработана синтетически в 1912 году для выражения специальной теории относительности. В 1984 году Грейсиела Бирман и Кацуми Номизу описали «аффинную плоскость, связанную с лоренцевым векторным пространством L2» в статье под названием «Тригонометрия в лоренцианской геометрии».

Аффиновое пространство

Аффинную геометрию можно рассматривать как геометрию аффинного пространства заданной размерности n, заданного над полем K. Существует также (в двух измерениях) комбинаторное обобщение аффинного пространства, разработанное в синтетической конечной геометрии. В проективной геометрии аффинное пространство понимается как дополнение гиперплоскости на бесконечности в проективном пространстве. Аффинное пространство также можно рассматривать как векторное пространство, операции в котором ограничены линейными комбинациями с коэффициентами, сумма которых равна единице, например, 2x − y, x − y + z, (x + y + z)/3, 'i'x + (1 − 'i')y и т. д. Синтетически, аффинные плоскости – это двумерные аффинные геометрии, определяемые через отношения между точками и прямыми (или, иногда, в более высоких размерностях, гиперплоскостями). Определяя аффинные (и проективные) геометрии как конфигурации точек и прямых (или гиперплоскостей) вместо использования координат, можно получить примеры без координатных полей. Важное свойство заключается в том, что все такие примеры имеют размерность 2. Конечные примеры в размерности 2 (конечные аффинные плоскости) оказались полезными при изучении конфигураций в бесконечных аффинных пространствах, в теории групп и в комбинаторике. Несмотря на то, что они менее общие, чем конфигурационный подход, другие рассмотренные подходы оказались весьма эффективными для изучения частей геометрии, связанных с симметрией.

Проективный вид

В традиционной геометрии аффинная геометрия рассматривается как раздел, находящийся между евклидовой и проективной геометрией. С одной стороны, аффинная геометрия – это евклидова геометрия без понятия о равенстве фигур (конгруэнтности); с другой стороны, аффинная геометрия может быть получена из проективной геометрии путем выделения определенной прямой или плоскости, представляющей точки на бесконечности. В аффинной геометрии отсутствует метрическая структура, но сохраняется справедливость постулата о параллельных прямых. Аффинная геометрия служит основой для построения евклидовой структуры при определении перпендикулярных прямых или основой для геометрии Минковского посредством понятия гиперболической ортогональности. С этой точки зрения, аффинное преобразование – это проективное преобразование, не переставляющее конечные точки с точками на бесконечности, а геометрия аффинных преобразований – это изучение геометрических свойств посредством действия группы аффинных преобразований.