Категориялық тұжырымдардың қарама-қарсылық квадраты

Кіріспе

Логикалық диаграмманың түрі

Терминологиялық логикада (философиялық логиканың бір саласы) қарама-қарсылық квадраты – төрт негізгі категориялық тұжырымдар арасындағы қатынастарды көрсететін диаграмма. Бұл квадраттың бастауы Аристотельдің "Түсіндіру туралы" трактатына және оның екі түрлі қарама-қарсылықты ажыратуына: қарама-қайшылыққа және қарама-қарсылыққа дейін жетеді. Алайда, Аристотель ешқандай диаграмма салған жоқ, оны бірнеше ғасырдан кейін Апулей мен Боэций жасады.

Экзистенциалдық импорт мәселесі

Қосалқы қарама-қайшылықтар (I және O), ортағасырлық логиктері "quoddam A est B" (кейбір A – B) және "quoddam A non est B" (кейбір A – B емес) түрінде бейнелеген, екеуі де жалған бола алмайды, себебі олардың жалпы қарама-қайшылықты тұжырымдары (ешқандай A – B / барлық A – B) екеуі де дұрыс бола алмайды. Бұл қиындық алғаш рет Питер Абелард (1079 – 21 сәуір 1142) анықтады. "Кейбір A – B" дегеніміз, "бір нәрсе – A" дегенді білдіреді, яғни A болып табылатын бір нәрсе бар. Мысалы, "Кейбір адам ақ" дегеніміз, кем дегенде бір нәрсе бар дегенді білдіреді, атап айтқанда, ақ болуы керек адам, егер "кейбір адам ақ" шын болса. Бірақ, "кейбір адам ақ емес" де, мәлімдеме шын болса, адам ретінде бір нәрсе бар екенін білдіреді, атап айтқанда, ақ емес адам бар екенін. Бірақ Аристотельдік логика міндетті түрде осы тұжырымдардың біреуінің (жалпы алғанда "кейбір A – B" және "кейбір A – B емес") дұрыс болуын талап етеді, яғни екеуі де жалған бола алмайды. Сондықтан, екі тұжырымның да мағынасы кем дегенде бір адамның болуын білдіреді, демек, адам немесе адамдар бар екеніне келеді. Бірақ, Абелардтың "Диалектика" кітабында айтқандай, адамдар мүлдем болмауы мүмкін бе? Өйткені, адам мүлдем болмаса, "әрбір адам – адам" деген тұжырым да, "кейбір адам – адам емес" деген тұжырым да дұрыс емес. Абелард сондай-ақ "тастан жасалған адам" сияқты ештеңе білдірмейтін тақырыпты терминдерді қамтитын қосалқы қарама-қайшылықтардың екеуі де жалған екенін көрсетеді. Егер "әрбір тас адам – тас" дұрыс болса, онда оның кездейсоқ түрленуі де дұрыс ("кейбір тастар – тас адамдар"). Бірақ тас адам тас емес, өйткені бұл адам да, сол адам да және т.б. тас емес. Бірақ "тастан жасалған адам тас емес" деген тұжырым да қажетті түрде жалған, себебі оны шын деп ойлау мүмкін емес. Теренс Парсонс (1939 ж.т.) ежелгі философтар экзистенциалдық мағына проблемасын сезінбеді дейді, себебі тек A (жалпы оң) және I (ерекше оң) формалары экзистенциалдық мағынаға ие болды. (Егер тұжырымда термин болмаса, яғни терминмен байланысты ештеңе болмаса, тұжырым жалған деп есептелетін термин болса, онда тұжырым сол терминге қатысты экзистенциалдық мағынаға ие деп айтылады.) Оң тұжырымдар экзистенциалдық мағынаға ие, ал теріс тұжырымдар жоқ. Ежелгі адамдар Аристотельдің тұжырымдамасы бойынша квадраттың үйлесімсіздігін көрмеді, себебі оны көруге үйлесімсіздік болған жоқ. Ол ортағасырлық философ Вильгельм Моербеке (1215–35 – шамамен 1286) сөзін келтіреді. Оң тұжырымдарда термин әрқашан бір нәрсені білдіруге талап етеді. Сондықтан, ол ештеңені білдірмесе, тұжырым жалған. Алайда, теріс тұжырымдарда тұжырым терминнің бір нәрсені білдірмейтінін немесе ол атрибуты шын мәнінде жоққа шығарылған нәрсені білдіретінін білдіреді. Сондықтан теріс тұжырымның дұрыс болуының екі себебі бар. Боэцийдің Аристотельдің еңбегін аударуы O формасының экзистенциалдық мағынасы бар деген қате түсінікке жол ашады дейді. Бірақ Боэций (477 – 524 ж.) осы мәтінге түсініктеме бергенде, ол Аристотельдің ілімін қазір танымал диаграммамен суреттейді және ол "Кейбір адам әділ емес" деген сөздерді қолданады. Сондықтан бұл сөз оған латын тіліндегі табиғи сөз сияқты көрінген. Бізге ағылшын тілінде бұл ерекше көрінеді, бірақ оны бұл алаңдатпады.

Subcontraries (I and O), which medieval logicians represented in the form 'quoddam A est B' (some particular A is B) and 'quoddam A non est B' (some particular A is not B) cannot both be false, since their universal contradictory statements (no A is B / every A is B) cannot both be true. This leads to a difficulty firstly identified by Peter Abelard (1079 – 21 April 1142). 'Some A is B' seems to imply 'something is A', in other words, there exists something that is A. For example, 'Some man is white' seems to imply that at least one thing that exists is a man, namely the man who has to be white, if 'some man is white' is true. But, 'some man is not white' also implies that something as a man exists, namely the man who is not white, if the statement 'some man is not white' is true. But Aristotelian logic requires that, necessarily, one of these statements (more generally 'some particular A is B' and 'some particular A is not B') is true, i. e., they cannot both be false. Therefore, since both statements imply the presence of at least one thing that is a man, the presence of a man or men is followed. But, as Abelard points out in the Dialectica, surely men might not exist? For with absolutely no man existing, neither the proposition 'every man is a man' is true nor 'some man is not a man'. Abelard also points out that subcontraries containing subject terms denoting nothing, such as 'a man who is a stone', are both false. If 'every stone man is a stone' is true, also its conversion per accidens is true ('some stones are stone men'). But no stone is a stone man, because neither this man nor that man etc. is a stone. But also this 'a certain stone man is not a stone' is false by necessity, since it is impossible to suppose it is true. Terence Parsons (born 1939) argues that ancient philosophers did not experience the problem of existential import as only the A (universal affirmative) and I (particular affirmative) forms had existential import. (If a statement includes a term such that the statement is false if the term has no instances, i. e., no thing associated with the term exists, then the statement is said to have existential import with respect to that term.) Affirmatives have existential import, and negatives do not. The ancients thus did not see the incoherence of the square as formulated by Aristotle because there was no incoherence to see. He goes on to cite a medieval philosopher William of Moerbeke (1215–35 – c. 1286),
In affirmative propositions a term is always asserted to supposit for something. Thus, if it supposits for nothing the proposition is false. However, in negative propositions the assertion is either that the term does not supposit for something or that it supposits for something of which the predicate is truly denied. Thus a negative proposition has two causes of truth. And points to Boethius' translation of Aristotle's work as giving rise to the mistaken notion that the O form has existential import. But when Boethius (477 – 524 AD) comments on this text he illustrates Aristotle's doctrine with the now famous diagram, and he uses the wording 'Some man is not just'. So this must have seemed to him to be a natural equivalent in Latin. It looks odd to us in English, but he wasn't bothered by it.

Қазіргі заманғы қарсылық алаңдары

19 ғасырда Джордж Буль (1815 жылдың қарашасы – 1864 жылдың 8 желтоқсаны) нақты талаптардың екі терминінде де экзистенциалдық импортты міндетті етуді, бірақ жалпылама талаптардың барлық терминдеріне (A және E) экзистенциалдық импортты қажет етпеуді ұсынды. Бұл шешім Венн диаграммаларын терминдік логика үшін қолдануды ерекше оңайлатты. Осы Бульдік қағидалар жиынтығы бойынша, оппозиция квадраты көбінесе қазіргі оппозиция квадраты деп аталады. Қазіргі оппозиция квадратында А және О талаптары, Е және I талаптары сияқты қайшылықтар болып табылады, бірақ оппозицияның басқа барлық түрлері жойылады; қарама-қарсылықтар, субконтрарлар, субальтернациялар және суперальтернациялар болмайды. Осылайша, қазіргі көзқарас бойынша, бұрынғы логиктердің талап еткені сияқты, талаптың бірнеше түрлі қарсылықтары бар екенін, олар талаппен әртүрлі оппозиция түрлерінде болатынын айтудың орнына, талаптың «оппозициясы» туралы сөйлеу көбінесе мағыналы. Готтлоб Фреге (1848 жылдың 8 қарашасы – 1925 жылдың 26 шілдесі) жазған «Begriffsschrift» еңбегі де классикалық квадратқа ұқсас ұйымдастырылған оппозиция квадратын ұсынады, ол жалпылама квантификация, жоққа шығару және импликациядан құрылған төрт формула арасындағы қайшылықтарды, субальтернацияларды және қарама-қарсылықтарды көрсетеді. Алгирдас Жюльен Греймас (1817 жылдың 9 наурызы – 1992 жылдың 27 ақпаны) жасаған семиотикалық квадрат Аристотельдің еңбегінен туындаған. Дәстүрлі оппозиция квадраты қазір көбінесе ішкі және сыртқы жоққа шығаруға негізделген квадраттармен салыстырылады.

Логикалық алтыбұрыштар және басқа да бисимплекстер

Қарсылық квадраты алты мәлімдеменің қатынастарын қамтитын логикалық алтыбұрышқа кеңейтілді. Оны Аугустин Сесмат (7 сәуір 1885 - 12 желтоқсан 1957) және Роберт Бланше (1898–1975) тәуелсіз түрде ашқан. Квадрат және алтыбұрыш, сондай-ақ "логикалық куб" деп аталатын нысан, "n өлшемді логикалық бисимплекстер" деп аталатын n өлшемді нысандардың реттелген қатарына жататыны дәлелденді. Бұл үлгі одан да әрі жалғасады.

Қарсылық (немесе логикалық квадрат) және модальдық логика

Логикалық квадрат, сондай-ақ оппозиция квадраты немесе Апулей квадраты деп те аталады, силлогистикалық ойлауда қолданылатын төрт белгілі сөйлемнен бастау алады: "Әр адам жаман" – жалпы оң пікір, "Әр адам жаман емес" (немесе "Кейбір адамдар жаман емес") – жалпы оң пікірдің жоқтығы, "Кейбір адамдар жаман" – жеке оң пікір және, соңында, "Ешбір адам жаман емес" – жеке оң пікірдің жоқтығы. Роберт Бланше 1966 жылы Врин баспасымен бірге "Structures intellectuelles" еңбегін жариялады. Содан бері көптеген ғалымдар төрт мәнді көрсететін логикалық квадратты немесе оппозиция квадратын логикалық алтыбұрышпен алмастыру қажет деп санайды. Ол алты мәнді көрсете отырып, логика және табиғи тіл туралы көбірек мәселелерді түсіндіруге қабілетті болғандықтан, одан да күшті фигура болып табылады.

Категорикалық мәлімдемелер жиынтық-теориялық түсіндірілуі

Қазіргі заманғы математикалық логикада "барлығы", "кейбіреулері" және "ешқайсысы да" деген сөздерді қамтитын тұжырымдар, егер біз сөздердің жиындық сияқты саласын қарастырсақ, жиын теориясы тұрғысынан айтылуы мүмкін. Егер барлық A жиыны , ал барлық B жиыны деп белгіленсе:

"Барлық A, B" (AaB) " -нің ішіна жиыны" дегенмен теңдес, немесе "Ешқандай A, B емес" (AeB) " және жинақтарының қиылысы бос" дегенмен теңдес, немесе "Кейбір A, B" (AiB) " және жинақтарының қиылысы бос емес" дегенмен теңдес, немесе "Кейбір A, B емес" (AoB) " -нің ішіна жиыны емес" дегенмен теңдес.

Анықтама бойынша, бос жиын барлық жиындардың ішіна жиыны болып табылады. Осы фактіге сәйкес, математикалық конвенция бойынша, егер A-лар болмаса, онда "Барлық A, B" және "Ешқандай A, B емес" тұжырымдары әрқашан дұрыс, ал "Кейбір A, B" және "Кейбір A, B емес" тұжырымдары әрқашан жалған болады. Бұл сондай-ақ AaB, AiB-ді білдірмейді екенін көрсетеді, және жоғарыда аталған кейбір силлогизмдер A-лар болмаған жағдайда жарамсыз болады.