Квадрат оппозиций в традиционной логике

Введение

Тип логической диаграммы

В термической логике (область философской логики) квадрат противоположностей — это диаграмма, изображающая отношения между четырьмя основными категорическими суждениями. Истоки квадрата восходят к трактату Аристотеля «О толковании» и его различению двух видов оппозиции: противоречия и противоположности. Однако сам Аристотель не составлял никаких диаграмм; это сделали несколько столетий спустя Апулей и Боэций.

Проблема экзистенциального импорта

Подсогласованные (I и O), которые средневековые логики представляли в форме "quoddam A est B" (некоторые конкретные A есть B) и "quoddam A non est B" (некоторые конкретные A не есть B), не могут быть оба ложными, поскольку их универсальные противоречивые утверждения (ни одно A не есть B / каждое A есть B) не могут быть оба истинными. Это приводит к затруднению, впервые выявленной Питером Абеляром (1079 – 21 апреля 1142). "Некоторые A есть B" кажется подразумевает "что-то есть A", другими словами, существует нечто, что является A. Например, "некоторые люди белые" кажется подразумевает, что по крайней мере одна существующая вещь – это человек, а именно тот человек, который должен быть белым, если "некоторые люди белые" истинно. Но "некоторые люди не белые" также подразумевает, что существует нечто, как человек, а именно тот человек, который не белый, если утверждение "некоторые люди не белые" истинно. Однако аристотелевская логика требует, чтобы одно из этих утверждений (в более общем виде – "некоторые конкретные A есть B" и "некоторые конкретные A не есть B") было истинным, то есть они не могут быть оба ложными. Следовательно, поскольку оба высказывания подразумевают наличие хотя бы одной вещи, которая является человеком, следует присутствие человека или людей. Но, как отмечает Абелярд в "Диалектике", разве возможно, чтобы людей не существовало? Ибо, если абсолютно ни одного человека не существует, то ни утверждение "каждый человек есть человек", ни утверждение "некоторые люди не есть люди" не будут истинными. Абелярд также указывает, что подсогласованные, содержащие подлежащие термины, обозначающие ничто, такие как "человек, который является камнем", ложны. Если "каждый каменный человек есть камень" истинно, то также истинно и его обращение по случаю ("некоторые камни есть каменные люди"). Но ни один камень не является каменным человеком, потому что ни этот человек, ни тот человек и т.д. не является камнем. Но и это "определённый каменный человек не есть камень" ложно по необходимости, поскольку невозможно предположить, что это истинно. Теренс Парсонс (родился в 1939 году) утверждает, что древние философы не испытывали проблемы экзистенциального импорта, поскольку только формы A (универсальное утвердительное) и I (частное утвердительное) имели экзистенциальный импорт. (Если утверждение включает термин, который является ложным, если термин не имеет экземпляров, то есть не существует ничего, связанного с термином, то утверждение, как говорят, имеет экзистенциальный импорт по отношению к этому термину.) Утвердительные высказывания имеют экзистенциальный импорт, а отрицательные – нет. Таким образом, древние не видели несогласованности квадрата, как она была сформулирована Аристотелем, потому что несогласованности не было. Он продолжает ссылаться на средневекового философа Вильгельма Моербеке (1215–35 – ок. 1286): в утвердительных предложениях термин всегда утверждается как предпосылка чего-либо. Таким образом, если он не предполагает ничего, то предложение ложно. Однако в отрицательных предложениях утверждение состоит в том, что термин не предполагает ничего или что он предполагает что-то, в отношении чего предикат истинно отрицается. Таким образом, отрицательное предложение имеет две причины для истинности. И указывает на то, что перевод Боэцием работы Аристотеля порождает ошибочное представление о том, что форма O имеет экзистенциальный импорт. Но когда Боэций (477 – 524 гг. н.э.) комментирует этот текст, он иллюстрирует учение Аристотеля ныне известной диаграммой и использует формулировку "Некоторые люди не справедливы". Поэтому это должно было показаться ему естественным эквивалентом на латыни. Это выглядит странно для нас в английском языке, но его это не беспокоило.

Subcontraries (I and O), which medieval logicians represented in the form 'quoddam A est B' (some particular A is B) and 'quoddam A non est B' (some particular A is not B) cannot both be false, since their universal contradictory statements (no A is B / every A is B) cannot both be true. This leads to a difficulty firstly identified by Peter Abelard (1079 – 21 April 1142). 'Some A is B' seems to imply 'something is A', in other words, there exists something that is A. For example, 'Some man is white' seems to imply that at least one thing that exists is a man, namely the man who has to be white, if 'some man is white' is true. But, 'some man is not white' also implies that something as a man exists, namely the man who is not white, if the statement 'some man is not white' is true. But Aristotelian logic requires that, necessarily, one of these statements (more generally 'some particular A is B' and 'some particular A is not B') is true, i. e., they cannot both be false. Therefore, since both statements imply the presence of at least one thing that is a man, the presence of a man or men is followed. But, as Abelard points out in the Dialectica, surely men might not exist? For with absolutely no man existing, neither the proposition 'every man is a man' is true nor 'some man is not a man'. Abelard also points out that subcontraries containing subject terms denoting nothing, such as 'a man who is a stone', are both false. If 'every stone man is a stone' is true, also its conversion per accidens is true ('some stones are stone men'). But no stone is a stone man, because neither this man nor that man etc. is a stone. But also this 'a certain stone man is not a stone' is false by necessity, since it is impossible to suppose it is true. Terence Parsons (born 1939) argues that ancient philosophers did not experience the problem of existential import as only the A (universal affirmative) and I (particular affirmative) forms had existential import. (If a statement includes a term such that the statement is false if the term has no instances, i. e., no thing associated with the term exists, then the statement is said to have existential import with respect to that term.) Affirmatives have existential import, and negatives do not. The ancients thus did not see the incoherence of the square as formulated by Aristotle because there was no incoherence to see. He goes on to cite a medieval philosopher William of Moerbeke (1215–35 – c. 1286),
In affirmative propositions a term is always asserted to supposit for something. Thus, if it supposits for nothing the proposition is false. However, in negative propositions the assertion is either that the term does not supposit for something or that it supposits for something of which the predicate is truly denied. Thus a negative proposition has two causes of truth. And points to Boethius' translation of Aristotle's work as giving rise to the mistaken notion that the O form has existential import. But when Boethius (477 – 524 AD) comments on this text he illustrates Aristotle's doctrine with the now famous diagram, and he uses the wording 'Some man is not just'. So this must have seemed to him to be a natural equivalent in Latin. It looks odd to us in English, but he wasn't bothered by it.

Современные площади оппозиции

В 19 веке Джордж Буль (ноябрь 1815 – 8 декабря 1864) утверждал о необходимости требовать экзистенциального импорта для обоих термов в частных суждениях (I и O), но допускал отсутствие экзистенциального импорта у всех термов универсальных суждений (A и E). Это решение значительно упростило использование диаграмм Венна для термической логики. Квадрат оппозиций, основанный на этих булевых предположениях, часто называют современным квадратом оппозиций. В современном квадрате оппозиций суждения A и O являются противоречиями, как и E и I, но все остальные виды оппозиции теряют силу: нет противоположностей, субконтрарностей, субальтернаций и суперальтернаций. Таким образом, с современной точки зрения, часто целесообразно говорить об "одной" оппозиции суждения, а не настаивать, как делали более ранние логики, на том, что суждение имеет несколько различных оппонентов, находящихся в разных отношениях оппозиции к нему. В "Begriffsschrift" Готтлоба Фреге (8 ноября 1848 – 26 июля 1925) также представлен квадрат оппозиций, организованный почти идентично классическому квадрату, демонстрирующий противоречия, субальтернации и противоположности между четырьмя формулами, построенными на основе универсальной квантификации, отрицания и импликации. Семиотический квадрат Алгирдаса Юлиана Греймаса (9 марта 1917 – 27 февраля 1992) был выведен из работ Аристотеля. Традиционный квадрат оппозиций теперь часто сравнивают с квадратами, основанными на внутреннем и внешнем отрицании.

Логические шестиугольники и другие бисимплексы

Квадрат оппозиции был расширен до логического шестиугольника, включающего в себя отношения шести суждений. Он был открыт независимо друг от друга Августином Сесматом (7 апреля 1885 года – 12 декабря 1957 года) и Робертом Бланше (1898–1975). Доказано, что как квадрат, так и шестиугольник, а также последующий "логический куб", принадлежат к регулярному ряду n-мерных объектов, называемых "логическими бисимплексами размерности n". Эта закономерность простирается ещё дальше.

Квадрат оппозиции (или логический квадрат) и модальная логика

Логический квадрат, также называемый квадратом оппозиций или квадратом Апулея, берет свое начало в четырех основных суждениях, используемых в силлогистическом рассуждении: "Все люди плохи" – универсальное утверждение; отрицание универсального утверждения "Не все люди плохи" (или "Некоторые люди не плохи"); "Некоторые люди плохи" – частное утверждение; и, наконец, отрицание частного утверждения "Ни один человек не плох". Роберт Бланше опубликовал свою работу Structures intellectuelles совместно с издательством Vrin в 1966 году, и с тех пор многие исследователи полагают, что логический квадрат, или квадрат оппозиций, представляющий четыре значения, следует заменить логическим шестиугольником, который, представляя шесть значений, является более эффективной фигурой, поскольку обладает большей способностью объяснять явления в логике и естественном языке.

Теоретическая интерпретация категорических утверждений

В современной математической логике утверждения, содержащие слова "все", "некоторые" и "нет", могут быть сформулированы в терминах теории множеств, если предположить, что множество выступает в качестве области рассуждений. Если множество всех А обозначено как , а множество всех В как , то:

"Все А есть В" (AaB) эквивалентно " является подмножеством ", или "Нет А есть В" (AeB) эквивалентно "Пересечение и пусто", или "Некоторые А есть В" (AiB) эквивалентно "Пересечение и не пусто", или "Некоторые А не есть В" (AoB) эквивалентно " не является подмножеством ", или

По определению, пустое множество является подмножеством любого множества. Из этого следует, что, согласно этой математической условности, если А не существует, то утверждения "Все А есть В" и "Нет А есть В" всегда истинны, а утверждения "Некоторые А есть В" и "Некоторые А не есть В" всегда ложны. Это также подразумевает, что AaB не влечет за собой AiB, и некоторые из вышеупомянутых силлогизмов не являются корректными, когда А не существует.