Кіріспе
Рационалды бөлшектерді қарапайым мүшелердің қосындысы ретінде жазу
Алгебрада, рационалды бөлшектің (яғни, есептегіш пен бөлімшісі көпмүшелер болатын бөлшектің) бөлшектеп жазуы немесе бөлшектерге жіктеуі – бұл бөлшекті көпмүше (мүмкін нөлдік) және жай бөлімшісі бар бір немесе бірнеше бөлшектердің қосындысы түрінде көрсетуден тұратын амал. Бөлшектеп жазудың маңыздылығы рационалды функциялармен түрлі есептеулер үшін алгоритмдерді ұсынуында, соның ішінде антитуындыларды, Тейлор қатарларын, кері Z-трансформацияларын және кері Лаплас трансформацияларын нақты есептеуде. Бұл ұғымды 1702 жылы Иоганн Бернулли және Готфрид Лейбниц тәуелсіз түрде ашты. Символдармен көрсетсек, f және g көпмүшелер түріндегі рационалды бөлшектің бөлшектеп жазуы оны былай көрсету болып табылады:
мұнда
p(x) – көпмүше, және әр j үшін,
бөлімші gj(x) – бөлгішсіз көпмүше күші (яғни, оң дәрежелі көпмүшелерге бөлінбейтін), ал
есептегіш fj(x) – бұл бөлгішсіз көпмүше дәрежесінен кіші дәрежелі көпмүше. Нақты есептеулер кезінде көбінесе іріктеу ыдырауы қолданылады, ол нәтиженің сипаттамасында "бөлгішсіз көпмүше" дегеніне орнына "квадратсыз көпмүше" дегенді қоюды білдіреді. Бұл көпмүшелерді жіктеуді квадратсыз жіктеумен алмастыруға мүмкіндік береді, оны есептеу әлдеқайда оңай. Бұл көптеген қолданыстар үшін жеткілікті және кіріс көпмүшелерінің коэффициенттері бүтін сандар немесе рационалды сандар болған кезде иррационалды коэффициенттерді енгізуден сақтайды.
p(x) is a polynomial, and, for each j,
the denominator gj (x) is a power of an irreducible polynomial (that is not factorable into polynomials of positive degrees), and
the numerator fj (x) is a polynomial of a smaller degree than the degree of this irreducible polynomial. When explicit computation is involved, a coarser decomposition is often preferred, which consists of replacing "irreducible polynomial" by "square free polynomial" in the description of the outcome. This allows replacing polynomial factorization by the much easier to compute square free factorization. This is sufficient for most applications, and avoids introducing irrational coefficients when the coefficients of the input polynomials are integers or rational numbers.
Айтылым
Оның бірегейлігін келесідей дәлелдеуге болады. 1=d = max(1 + f дәрежесі, g дәрежесі) деп алғанда. Барлығы b және aij-дің d коэффициенттері бар. Бөлшектің түрі коэффициент векторларынан d-ден төмен дәрежедегі f полиномдарына сызықтық бейнелеуді анықтайды. Көрсету дәлелі осы бейнелеудің сюръективті екенін білдіреді. Екі векторлық кеңістіктің өлшемдері бірдей болғандықтан, бейнелеу сондай-ақ инъективті болады, яғни бөлшектің бірегейлігі. Айтпақшы, бұл дәлел сызықтық алгебра арқылы бөлшекті есептеу алгоритмін тудырады. Егер K – кешенді сандар өрісі болса, алгебраның негізгі теоремасы барлық pi-дің бірінші дәрежеде екенін және барлық алымдар тұрақты екенін көрсетеді. K – нақты сандар өрісі болғанда, pi-дің кейбіреулері екінші дәрежеде болуы мүмкін, сондықтан, бөлшектік бөлшектің ыдырауында, екінші дәрежедегі полиномдардың қуаттарына бөлінген сызықтық полиномдардың бөліктері де кездесуі мүмкін. Аталған теоремада «әртүрлі икемдемейтін полиномдар» дегені орнына «өзара жай полиномдар, олар өз туындыларымен өзара жай» деп қоюға болады. Мысалы, pi g-дің квадратсыз факторлануының көбейткіштері болуы мүмкін. K – рационалдық сандар өрісі болғанда, компьютерлік алгебрада қалыпты жағдайда, бөлшектік бөлшекті есептеу үшін факторлауды ең үлкен ортақ бөлгішті есептеумен алмастыруға болады.
Бүкіл сандардың бөлшектері
Ішінара бөлшектердің идеясы басқа интегралдық домендерге, мысалы, жай сандар азайтылмайтын бөлімдердің рөлін атқаратын бүтін сандар сақинасына жалпыланады. Мысалы: