Введение
Рациональные дроби как сумма простых дробей
В алгебре, разложение рациональной дроби на простейшие дроби или разложение рациональной дроби (то есть дроби, у которой числитель и знаменатель являются полиномами) – это операция, заключающаяся в представлении дроби в виде суммы полинома (возможно, равного нулю) и одной или нескольких дробей с более простым знаменателем. Важность разложения на простейшие дроби заключается в том, что оно предоставляет алгоритмы для различных вычислений с рациональными функциями, включая явное вычисление первообразных, разложения в ряд Тейлора, обратных Z-преобразований и обратных преобразований Лапласа. Эта концепция была открыта независимо друг от друга в 1702 году Иоганном Бернулли и Готфридом Лейбницем. В символьном виде, разложение на простейшие дроби рациональной дроби вида, где f и g – полиномы, представляет собой её выражение в виде
где
p(x) – полином, и для каждого j,
знаменатель gj(x) является степенью неприводимого полинома (то есть полинома, который нельзя разложить на полиномы положительной степени), а
числитель fj(x) – полином степени, меньшей, чем степень этого неприводимого полинома. При выполнении явных вычислений часто предпочтительнее более грубое разложение, которое заключается в замене "неприводимого полинома" на "полином, свободный от квадратов" в описании результата. Это позволяет заменить факторизацию полинома на гораздо более простую факторизацию на полином, свободный от квадратов. Этого достаточно для большинства приложений и позволяет избежать введения иррациональных коэффициентов, когда коэффициенты исходных полиномов являются целыми или рациональными числами.
p(x) is a polynomial, and, for each j,
the denominator gj (x) is a power of an irreducible polynomial (that is not factorable into polynomials of positive degrees), and
the numerator fj (x) is a polynomial of a smaller degree than the degree of this irreducible polynomial. When explicit computation is involved, a coarser decomposition is often preferred, which consists of replacing "irreducible polynomial" by "square free polynomial" in the description of the outcome. This allows replacing polynomial factorization by the much easier to compute square free factorization. This is sufficient for most applications, and avoids introducing irrational coefficients when the coefficients of the input polynomials are integers or rational numbers.
Заявление
Его уникальность можно доказать следующим образом. Пусть d = max(1 + deg f, deg g). Вместе, b и aij имеют d коэффициентов. Форма разложения определяет линейное отображение из пространства коэффициентов в пространство полиномов f степени, меньшей d. Доказательство существования означает, что это отображение сюръективно. Поскольку два векторных пространства имеют одинаковую размерность, отображение также инъективно, что означает уникальность разложения. Кстати, это доказательство порождает алгоритм вычисления разложения с использованием линейной алгебры. Если K – поле комплексных чисел, то фундаментальная теорема алгебры подразумевает, что все pi имеют степень один, и все числители являются константами. Когда K – поле действительных чисел, некоторые из pi могут быть квадратными, поэтому в разложении на элементарные дроби могут также встречаться частные от деления линейных многочленов на степени квадратных многочленов. В предшествующей теореме можно заменить "различные неприводимые многочлены" на "попарно взаимно простые многочлены, взаимно простые со своей производной". Например, pi могут быть множителями в разложении g на множители без общих корней. Когда K – поле рациональных чисел, как это обычно бывает в компьютерной алгебре, это позволяет заменить факторизацию на вычисление наибольшего общего делителя при вычислении разложения на элементарные дроби.
Дробь целых чисел
Идея разложения на простейшие дроби может быть обобщена на другие целостные области, например, кольцо целых чисел, где простые числа выполняют роль неприводимых знаменателей. Например: