Кіріспе
Формальды қосымшалардың алгебрасы
Математикада еркін абельдік топ – негізі бар абельдік топ. Абельдік топ болу дегеніміз, ассоциативті, коммутативті және инвертирленетін қосу операциясы бар жиын. Негіз, сондай-ақ интегралды негіз деп аталады, – топтың әрбір элементінің шекті сандағы негізгі элементтердің бүтін сандық комбинациясы ретінде бірегей түрде өрнектелуін қамтамасыз ететін жиынтық. Мысалы, екі өлшемді бүтін сандық тор координаттық қосу операциясымен және (1,0) және (0,1) екі нүктесі негіз ретінде болатын еркін абельдік топты құрайды. Еркін абельдік топтар векторлық кеңістіктерге ұқсас қасиеттерге ие және эквивалентті түрде, бүтін сандар бойынша еркін модульдер деп аталуы мүмкін. Желі теориясы нақты векторлық кеңістіктердің еркін абельдік кіші топтарын зерттейді. Алгебралық топологияда еркін абельдік топтар тізбектік топтарды анықтау үшін қолданылады, ал алгебралық геометрияда – бөлгіштерді анықтау үшін. Негізі бар еркін абельдік топтың элементтерін бірнеше эквивалентті тәсілмен сипаттауға болады. Оларға формальды қосымшалар жатады, олар мынадай түріндегі өрнектер: мұнда әрбір нөлден өзгеше бүтін сан, әрбір – ерекше негізгі элемент және қосымшада шекті санда ғана мүшелер бар. Балама ретінде, еркін абельдік топтың элементтерін элементтерінен тұратын белгіленген көптіктер ретінде қарастыруға болады, онда көптіктердегі элементтің жиілігі формальды қосымшадағы оның коэффициентіне тең. Еркін абельдік топтың элементін бейнелеудің тағы бір жолы – жиынынан бүтін сандарға шекті санда ғана нөлден өзгеше мәндері бар функция ретінде қарастыру; осы функционалдық бейнелеу үшін топ операциясы функциялардың нүктелік қосылуы болып табылады. Кез келген жиыны үшін негізі ретінде болатын еркін абельдік топ бар. Бұл топ ерекше, яғни бірдей негізі бар кез келген екі еркін абельдік топ изоморфты. Оны жеке элементтерін сипаттау арқылы құрастырудың орнына, негізі бар еркін абельдік топты бүтін сандардың қосымша тобының көшірмелерінің тікелей қосындысы ретінде құрастыруға болады, әрбір мүшесіне бір көшірмеден. Еркін абельдік топтың ранкі – негіздің кардиналдығы; бір топтың кез келген екі негізі бірдей рангі береді, ал бірдей рангі бар кез келген екі еркін абельдік топ изоморфты болады. Еркін абельдік топтың кез келген кіші тобы өзі еркін абельдік болып табылады; бұл факт жалпы абельдік топты «қатынастар» арқылы еркін абельдік топтың фактор тобы ретінде немесе еркін абельдік топтар арасындағы инъективті гомоморфизмнің кокернелі ретінде түсінуге мүмкіндік береді. Тек тривиальды топ пен шексіз циклдік топ ғана еркін абельдік топтар болып табылады.
Анықтама және мысалдар
Еркін абельдік топ — негізі бар абельдік топ. Мұнда, абельдік топ болуы оның элементтерінің жиыны және осы жиын бойынша екілік операция арқылы сипатталады, бұл операция әдеттегі қосу операциясымен (сандарды қосудың әдеттегі түрі болмаса да) белгіленеді және келесі қасиеттерге бағынады: Операция коммутативті және ассоциативті, яғни кез келген элементтер үшін , және , және сондықтан, осы операцияны пайдаланып екі немесе одан көп элементті біріктіргенде, элементтердің реті мен топтастырылуы нәтижеге әсер етпейді. Топта бірлік элементі бар (әдеттегі белгісі — ) және кез келген элемент үшін , әрбір элементтің кері элементі бар , сондықтан A негізі — топтың элементтерінің жиыны, мұнда әрбір элементтің бірегей түрде құрастырылуы мүмкін, яғни негіз элементтерінің шекті санын таңдап, әрбір таңдалған негіз элементі үшін нөлден өзге бүтін санды таңдап, оң мәні бар негіз элементтерінің санына тең көшірмелерді және теріс мәні бар негіз элементтерінің санына тең көшірмелерді қосу арқылы. Ерекше жағдай ретінде, бірлік элементін бос жиынның қосындысы ретінде әдеттегі келісім бойынша осылай құрастыруға болады және бірлік элементін білдіретін басқа комбинацияны табу мүмкін болмауы керек. Бүтін сандар жалпы қосу операциясы бойынша еркін абельдік топты құрайды. 0 — қосымша бірлік элементі ретінде, және әрбір бүтін санның қосымша керісі, оның терістелуі ретінде коммутативті және ассоциативті болып табылады. Топтық операция сандарды қосудан ерекшеленетін мысал — оң рационалды сандар, олар сандарға әдеттегі көбейту операциясымен және жай сандармен еркін абельдік топты құрайды. Көбейту коммутативті және ассоциативті, сандық бірлік элементі және әрбір оң рационалды санның кері элементі болып табылады. Бастапқы сандар осы сандарды көбейтудің негізін құрауы арифметиканың негізгі теоремасынан туындайды, соған сәйкес әрбір оң бүтін сан шекті жай сандардың немесе олардың кері сандарының көбейтіндісіне бірегей түрде жіктеледі. Егер — оң рационалды сан болса және ең қарапайым түрде берілген болса, онда оны және жай сандардың жіктелуінде пайда болатын жай сандардың шекті комбинациясы ретінде көрсетуге болады. Бұл комбинацияда қолданылатын әрбір жай санның көшірмелерінің саны — жай санның жіктелуіндегі оның көрсеткіші, немесе жай санның жіктелуіндегі оның көрсеткішінің терістелуі. Бір айнымалы полиномдары, бүтін коэффициенттерімен, полиномдық қосу кезінде еркін абельдік топты құрайды, негіз ретінде — айнымалының дәрежелері. Абстрактты топ ретінде бұл оң рационалды сандардың көбейту тобымен (изоморфты топ) бірдей. Бұл екі топты бір-біріне сәйкестендірудің бір жолы — олардың изоморфты екенін көрсету, рационалдардың көбейту тобындағы -шы жай санның көрсеткішін сәйкес полиномдағы айнымалының коэффициенті ретінде қарастыру, немесе керісінше. Мысалы, рационалды санның алғашқы үш жай санға қатысты көрсеткіштері бар және осылайша тұрақты, сызықтық және квадраттық мүшелері үшін бірдей коэффициенттері бар полиномға сәйкес келеді. Бұл сәйкестендірулер тек бірдей сандарды қайта түсіндіре отырып, екі топтың элементтері арасындағы биекцияны анықтайды. Оң рационалдарды көбейтудің топтық операциясы жай сандардың көрсеткіштеріне әсер ететіндіктен, дәл сол сияқты полиномдарды қосудың топтық операциясы полиномдардың коэффициенттеріне әсер ететіндіктен, бұл сәйкестендірулер топтық құрылымды сақтайды; олар гомоморфизмдер. Биективті гомоморфизм изоморфизм деп аталады, және оның болуы осы екі топтың бірдей қасиеттері бар екенін көрсетеді. Әрбір топ элементінің берілген негізге қатысты бейнеленуі бірегей болғанымен, еркін абельдік топтың әдетте бірнеше негізі болады, және әртүрлі негіздер оның элементтерінің әртүрлі бейнеленуіне әкеледі. Мысалы, егер негіздің кез келген элементін оның керісімен алмастырсақ, басқа негізді аламыз. Әрі қарай қарастырылатын мысал ретінде, жазықтықтағы бүтін координаттары бар нүктелерден тұратын екі өлшемді бүтін сандар торы векторлық қосу кезінде еркін абельдік топты құрайды. Бұл негіз үшін элементті жазудың басқа жолы жоқ. Алайда, басқа негіздермен, мысалы, , оны былай жазуға болады: Бұл мысалды жалпылау үшін, әрбір тор шекті түрде құрылған еркін абельдік топты құрайды. -өлшемді бүтін сандар торы оң бүтін сандар бірлік векторларынан тұратын табиғи негізге ие, бірақ оның көптеген басқа негіздері де бар: егер детерминанты бар бүтін сандар матрицасы болса, онда оның қатарлары негізді құрайды, және керісінше, бүтін сандар торының кез келген негізі осы формада болады. Екі өлшемді жағдай туралы толық ақпарат алу үшін қараңыз — негізгі кезеңдер жұбы.
The operation is commutative and associative, meaning for all elements , , and of , and Therefore, when combining two or more elements of using this operation, the ordering and grouping of the elements does not affect the result. contains an identity element (conventionally denoted ) with the property that, for every element , Every element in has an inverse element , such that A basis is a subset of the elements of with the property that every element of may be formed in a unique way by choosing finitely many basis elements of , choosing a nonzero integer for each of the chosen basis elements, and adding together copies of the basis elements for which is positive, and copies of for each basis element for which is negative. As a special case, the identity element can always be formed in this way as the combination of zero basis elements, according to the usual convention for an empty sum, and it must not be possible to find any other combination that represents the identity. The integers , under the usual addition operation, form a free abelian group with the basis The integers are commutative and associative, with 0 as the additive identity and with each integer having an additive inverse, its negation. Each non negative is the sum of copies of , and each negative integer is the sum of copies of , so the basis property is also satisfied. An example where the group operation is different from the usual addition of numbers is given by the positive rational numbers , which form a free abelian group with the usual multiplication operation on numbers and with the prime numbers as their basis. Multiplication is commutative and associative, with the number as its identity and with as the inverse element for each positive rational number The fact that the prime numbers forms a basis for multiplication of these numbers follows from the fundamental theorem of arithmetic, according to which every positive integer can be factorized uniquely into the product of finitely many primes or their inverses. If is a positive rational number expressed in simplest terms, then can be expressed as a finite combination of the primes appearing in the factorizations of and The number of copies of each prime to use in this combination is its exponent in the factorization of , or the negation of its exponent in the factorization
The polynomials of a single variable , with integer coefficients, form a free abelian group under polynomial addition, with the powers of as a basis. As an abstract group, this is the same as (an isomorphic group to) the multiplicative group of positive rational numbers. One way to map these two groups to each other, showing that they are isomorphic, is to reinterpret the exponent of the th prime number in the multiplicative group of the rationals as instead giving the coefficient of in the corresponding polynomial, or vice versa. For instance the rational number has exponents of for the first three prime numbers and would correspond in this way to the polynomial having the same coefficients for its constant, linear, and quadratic terms. Because these mappings merely reinterpret the same numbers, they define a bijection between the elements of the two groups. And because the group operation of multiplying positive rationals acts additively on the exponents of the prime numbers, in the same way that the group operation of adding polynomials acts on the coefficients of the polynomials, these maps preserve the group structure; they are homomorphisms. A bijective homomorphism is called an isomorphism, and its existence demonstrates that these two groups have the same properties. Although the representation of each group element in terms of a given basis is unique, a free abelian group has generally more than one basis, and different bases will generally result in different representations of its elements. For example, if one replaces any element of a basis by its inverse, one gets another basis. As a more elaborated example, the two dimensional integer lattice , consisting of the points in the plane with integer Cartesian coordinates, forms a free abelian group under vector addition with the basis For this basis, the element can be written , where 'multiplication' is defined so that, for instance, There is no other way to write in the same basis. However, with a different basis such as , it can be written as Generalizing this example, every lattice forms a finitely generated free abelian group. The dimensional integer lattice has a natural basis consisting of the positive integer unit vectors, but it has many other bases as well: if is a integer matrix with determinant , then the rows of form a basis, and conversely every basis of the integer lattice has this form. For more on the two dimensional case, see fundamental pair of periods.
Құрылыстар
Кез келген жиын еркін абельдік топтың негізі бола алады, және ол топтық изоморфизмге дейін бірегей болады. Белгілі бір негіз жиыны үшін еркін абельдік топты бірнеше әртүрлі, бірақ эквивалентті тәсілдермен құруға болады: бүтін сандардың көшірмелерінің тікелей қосындысы ретінде, бүтін санды мәндері бар функциялар жиыны ретінде, таңбаланған көп жиынтық ретінде немесе топтың ұсынылысы арқылы.
Өнімдер мен сомалар
Топтардың тікелей көбейтіндісі өнімдегі әрбір топтың элементтерінен құралған түйіндерден тұрады, компоненттік қосу арқылы. Екі еркін абельдік топтың тікелей көбейтіндісі өзі еркін абельдік болып табылады, оның негізі екі топтың негіздерінің жиынтығынан тұрады. Жалпы алғанда, кез келген шекті сандағы еркін абельдік топтардың тікелей көбейтіндісі еркін абельдік болады. Мысалы, өлшемді бүтін сандар торы, бүтін сандар тобының көшірмелерінің тікелей көбейтіндісіне изоморфты. Тривиалды топ та бос жиынтық негізінде еркін абельдік деп есептеледі. Оны бос көбейтінді ретінде қарастыруға болады, яғни нөл көшірмелердің тікелей көбейтіндісі. Егер еркін абельдік топтардың шексіз отбасы болса, тікелей көбейтінді міндетті түрде еркін абельдік болып табылмайды. Мысалы, Baer–Specker тобы, санауға болатын көптеген данасының тікелей көбейтіндісінен құрылған санауға болмайтын топ, 1937 жылы Рейнхольд Баер оның еркін абельдік емес екенін көрсетті, бірақ Эрнст Спекер 1950 жылы оның барлық санауға болатын кіші топтары еркін абельдік екенін дәлелдеді. Оның орнына, шексіз топтар отбасынан еркін абельдік топ алу үшін тікелей көбейтінді емес, тікелей қосындысын пайдалану керек. Тікелей қосынды мен тікелей көбейтінді шекті сандағы топтарға қолданғанда бірдей, бірақ шексіз топтар отбасы үшін әртүрлі. Тікелей қосындыда элементтер қайтадан әрбір топтан алынған элементтердің түйіндері болып табылады, бірақ олардың тек шекті саны ғана өз тобы үшін бірлікке тең болады. Шексіз көп еркін абельдік топтардың тікелей қосындысы еркін абельдік болып қалады. Оның негізінде барлық элементтері бірлікке тең болатын түйіндер болады, ал қалған элемент оның тобының негізінің бөлігі болып табылады. Кез келген еркін абельдік топты оның негізінің әрбір мүшесі үшін бір көшірмесі бар данасының тікелей қосындысы ретінде сипаттауға болады. Бұл құрылым кез келген жиынның еркін абельдік топтың негізі болуына мүмкіндік береді.
For infinite families of free abelian groups, the direct product is not necessarily free abelian. For instance the Baer–Specker group , an uncountable group formed as the direct product of countably many copies of , was shown in 1937 by Reinhold Baer to not be free abelian, although Ernst Specker proved in 1950 that all of its countable subgroups are free abelian. Instead, to obtain a free abelian group from an infinite family of groups, the direct sum rather than the direct product should be used. The direct sum and direct product are the same when they are applied to finitely many groups, but differ on infinite families of groups. In the direct sum, the elements are again tuples of elements from each group, but with the restriction that all but finitely many of these elements are the identity for their group. The direct sum of infinitely many free abelian groups remains free abelian. It has a basis consisting of tuples in which all but one element is the identity, with the remaining element part of a basis for its group. Every free abelian group may be described as a direct sum of copies of , with one copy for each member of its basis. This construction allows any set to become the basis of a free abelian group.
Презентация
Топтың презентациясы – топты құрайтын элементтер жиынтығы (барлық топ элементтерін шекті сандағы генераторлардың көбейтіндісі ретінде беруге болады), сонымен қатар "реляторлар", яғни сәйкестік элементін беретін генераторлардың көбейтінділері. Осылайша анықталған топтың элементтері – генераторлар тізбектері мен олардың кері шамаларының эквиваленттілік кластары, мұнда эквиваленттілік қатынасы кез келген реляторды немесе генератордың кері жұбын тізбектің үздіріссіз бөлігі ретінде қосуға немесе алып тастауға мүмкіндік береді. Негізі бар еркін абельдік топтағы генераторлар – жиынтықтағы элементтер, ал реляторлар – элементтер жұптарының коммутаторлары. Мұнда екі элементтің коммутаторы – олардың көбейтіндісі ; осы көбейтіндіні сәйкестікке теңейтін жағдайда , сондықтан және өзгеріссіз болады. Егер генераторлардың барлық жұптары өзгеріссіз болса, онда генераторлардың барлық көбейтінділері де өзгеріссіз болады. Сондықтан, осы презентациямен құрылған топ – абельдік, ал презентацияның реляторлары оның абельдік екенін қамтамасыз етуге қажетті реляторлардың минималды жиынтығын құрайды. Генераторлар жиыны шекті болғанда, еркін абельдік топтың презентациясы да шекті болады, себебі презентацияға енгізілетін әртүрлі коммутаторлардың саны шекті. Бұл факт, сондай-ақ еркін абельдік топтың кез келген кіші тобы еркін абельдік екендігі (төменде) көрсетілген, кез келген шекті түрде құрылған абельдік топтың шекті түрде берілуін көрсетуге мүмкіндік береді. Егер топ жиынтықпен шекті түрде құрылса, онда ол еркін абельдік топтың, презентацияның реляторларымен құрылған еркін абельдік кіші топқа қатысты бөлігі болып табылады. Бірақ бұл кіші топ өзі еркін абельдік болғандықтан, ол да шекті түрде құрылады, ал оның негізі (жинақтағы коммутаторлармен бірге) презентация үшін реляторлардың шекті жиынтығын құрайды.
Жалпыға ортақ меншік
Негізі бар еркін абельдік топ келесі әмбебап қасиетке ие: кез келген функция үшін абельдік топқа дейін , бірегей топтық гомоморфизм бар, ол содан соғады. Мұнда топтық гомоморфизм – бір топтан екінші топқағы сәйкестендіру, ол топтық амал заңымен үйлесімді: амалды сәйкестендіруден бұрын немесе кейін орындау бірдей нәтиже береді. әмбебап қасиеттердің жалпы қасиеті бойынша, бұл «негіздік» абельдік топтың изоморфизмге дейін бірегей екенін көрсетеді. Сондықтан, әмбебап қасиетті негіздің еркін абельдік тобының анықтамасы ретінде пайдалануға болады. Бұл қасиетпен анықталған топтың бірегейлігі барлық басқа анықтамалар эквивалентті екенін көрсетеді. Осы әмбебап қасиеттің арқасында еркін абельдік топтар «еркін» деп аталады: олар абельдік топтар санатындағы еркін объектілер, мұнда абельдік топтар объектілер ретінде, ал гомоморфизмдер – жебелер ретінде қарастырылады. Негізден оның еркін абельдік тобына дейінгі көрініс – функтор, яғни категорияларды сақтайтын құрылымдық көрініс, жиындардан абельдік топтарға дейін, және абельдік топтардан жиындарға дейінгі «ұмыту» функторына қосымша. Дегенмен, еркін абельдік топ екі жағдайдан басқа еркін топ емес: бос негізі бар еркін абельдік топ (нөлдік ранг, тривиалды топты береді) немесе негізінде бір ғана элемент бар (бірінші ранг, шексіз циклдік топты береді). Басқа абельдік топтар еркін топтар емес, себебі еркін топтарда егер және егер негіздің әртүрлі элементтері болса, олар әртүрлі болуы керек, ал еркін абельдік топтарда барлық элементтер жұбы үшін екі көбейтінді де бірдей болуы керек. Топтардың жалпы санатында , талабы қосымша шектеу болып табылады, ал бұл абельдік топтар санатында қажетті қасиет.
Санаты
Кез келген еркін абель тобының екі негізінің кардиналдылығы бірдей, сондықтан негіздің кардиналдылығы топтың рангі деп аталатын инвариантын құрайды. Екі еркін абельдік топ, олардың рангі бірдей болса және тек сонда ғана изоморфты болады. Еркін абельдік топ шекті түрде туындатылса, оның рангі шекті сан болады, онда топ изоморфты болады. Бұл ранг ұғымын еркін абельдік топтардан міндетті түрде еркін емес абельдік топтарға жалпылауға болады. Абельдік топтың рангі – оның коэффициент тобы торсиялық топ болатын еркін абельдік кіші тобының рангі ретінде анықталады. Балама ретінде, ол еркін кіші топты тудыратын максималды жиынның кардиналдылығы болып табылады. Ранг – топтық инвариант: ол таңдалған кіші топқа тәуелді емес.
This notion of rank can be generalized, from free abelian groups to abelian groups that are not necessarily free. The rank of an abelian group is defined as the rank of a free abelian subgroup of for which the quotient group is a torsion group. Equivalently, it is the cardinality of a maximal subset of that generates a free subgroup. The rank is a group invariant: it does not depend on the choice of the subgroup.
Кіші топтар
Кез келген абельдік топтың кіші тобының өзі абельдік топ болып табылады. Ричард Дедекиндтің бұл нәтижесі, еркін топтың кез келген кіші тобы еркін дегенге қатысты Нильсен-Шрайер теоремасының алғы күші болды, сондай-ақ шексіз циклдік топтың кез келген тривиальды емес кіші тобы шексіз циклдік екендігін жалпылайды. Дәлелдеу үшін таңдау аксиомасы қажет. Зорн леммасын қолданатын дәлелдеу (таңдау аксиомасына тең келетін көптеген шарттардың бірі) Серж Лангтың «Алгебра» кітабында кездеседі. Соломон Лефшец және Ирвинг Капланский Зорн леммасының орнына жақсы реттеу принципін қолдануға көшу, дәлелді түсінікті етуге көмектеседі деп санайды. Егер кіші топ шекті түрде құрылған еркін абельдік топ болса, онда дәлелдеу оңай, таңдау аксиомасы қажет емес және нақты нәтижеге әкеледі. Егер шекті түрде құрылған еркін абельдік топтың кіші тобы болса, онда еркін болады және негізі бар, сондай-ақ оң бүтін сандар тізбегі (әрқайсысы келесіге бөлінеді) бар, бұл тобының негізін құрайды. Бұл тізбек тек және топтарына ғана байланысты, негізге емес. Теореманың бар болуын конструктивті түрде дәлелдеуге бүтін сандар матрицасының Смит нормальды түрін есептейтін кез келген алгоритм қолданылады. Бірегейлік, матрицаның рангіндегі минорлардың ең үлкен ортақ бөлгіші Смит нормальды түрін есептеу кезінде өзгеретініне және есептеу соңында осы көбейтіндіге тең болатынына байланысты келеді.
Торсия және бөлінгіштік
Барлық еркін абельдік топтар торсиясыз, яғни бірлікке тең емес топ элементі мен нөлден өзге бүтін сан табылмайды, олардың арақатысы болмайды. Керісінше, барлық шекті туынды торсиясыз абельдік топтар еркін абельдік болып табылады. Рационал сандардың қосымша тобы торсиясыз (бірақ шекті туынды емес) абельдік топқа мысал келтіреді, ол еркін абельдік емес. Оның еркін абельдік болмауының бір себебі – ол бөлінетін, яғни кез келген элемент және нөлден өзге кез келген бүтін сан үшін, оны басқа элементтің скалярлық есесі ретінде көрсетуге болады. Ал тривиалды емес еркін абельдік топтар ешқашан бөлінбейді, себебі еркін абельдік топтағы базистік элементтерді басқа элементтердің есесі ретінде көрсету мүмкін емес.
Симметрия
Кез келген топтың симметриясы топтық автоморфизмдер, топтан өзіне кері айналатын гомоморфизмдер ретінде сипатталуы мүмкін. Абельдік емес топтарда олар ішкі және сыртқы автоморфизмдерге бөлінеді, бірақ абельдік топтарда барлық бірлікке тең емес автоморфизмдер сыртқы болып табылады. Олар композиция операциясы бойынша берілген топтың автоморфизм тобын құрайды, яғни тағы бір топты құрайды. Шекті рангі бар еркін абельдік топтың автоморфизм тобы – жалпы сызықтық топ, оны нақты түрде сипаттауға болады (еркін автоморфизм тобының белгілі бір негізі үшін) матрица көбейту операциясы бойынша инвертирленген бүтін санды матрицалар жиыны ретінде. Олардың симметрия ретінде еркін абельдік топқа қатысты әрекеті – матрицалық вектор көбейту. Екі шексіз рангі бар еркін абельдік топтардың автоморфизм топтары, егер және тек егер олардың рангілері екінші ретті логика тұрғысынан қарағанда эквивалентті кардиналдар болса, бір-бірімен бірдей бірінші реттік теорияларды бөліседі. Бұл нәтиже еркін абельдік топтардың инволюцияларының құрылымына, яғни өздеріне кері автоморфизмдерге байланысты. Еркін абельдік топтың негізін берілген жағдайда, негіз элементтерінің кез келген бірікпеген жұптарын бір-біріне бейімдейтін немесе негіз элементтерінің кез келген таңдалған ішкі жиынын жоққа шығарып, қалған негіз элементтерін өзгеріссіз қалдыратын инволюцияларды табуға болады. Керісінше, еркін абельдік топтың кез келген инволюциясы үшін, топтың негізін табуға болады, онда барлық негіз элементтері жұптармен ауыстырылады, терістеледі немесе инволюциямен өзгеріссіз қалдырылады.
Алгебралық топология
Алгебралық топологияда өлшемді симплекстердің формалды қосындысы тізбек деп аталады, ал негізінде симплекстер жиыны бар еркін абельдік топ тізбек тобы деп аталады. Симплекстер әдетте қандай да бір топологиялық кеңістіктен алынады, мысалы, симплициалдық кешендегі симплекстер жиыны немесе көпқырлылықтағы сингулярлы симплекстер жиыны ретінде. Кез келген өлшемді симплекстің өлшемді симплекстердің формалды қосындысы түрінде көрсетілетін шекарасы болады, ал еркін абельдік топтардың универсалды қасиеті осы шекара операторын тізбектерден тізбектерге топтық гомоморфизмге дейін кеңейтуге мүмкіндік береді. Осылайша шекара операторларымен байланыстырылған тізбек топтарының жүйесі тізбек кешенін құрайды, ал тізбек кешендерін зерттеу гомология теориясының негізін қалайды.
Топтық сақиналар
Интегралды топтық сақина, кез келген топ үшін, – қосындысы тобы еркін абельдік топ болатын сақина. Егер топ шекті және абельдік болса, онда сақинадағы бірліктердің көбейту тобы шекті топ пен шекті түрде құрылған еркін абельдік топтың тікелей қосындысынан тұрады.