Введение

Алгебра формальных сумм

В математике свободная абелева группа — это абелева группа с базисом. Быть абелевой группой означает, что это множество с операцией сложения, которая ассоциативна, коммутативна и обратима. Базис, также называемый интегральным базисом, — это подмножество, такое что каждый элемент группы может быть единственным образом выражен как целочисленная комбинация конечного числа базисных элементов. Например, двумерная целочисленная решетка образует свободную абелеву группу, с почленным сложением в качестве операции и с двумя точками (1,0) и (0,1) в качестве базиса. Свободные абелевы группы обладают свойствами, которые делают их похожими на векторные пространства, и могут эквивалентно называться свободными модулями, то есть свободными модулями над целыми числами. Теория решеток изучает свободные абелевы подгруппы вещественных векторных пространств. В алгебраической топологии свободные абелевы группы используются для определения цепных групп, а в алгебраической геометрии — для определения дивизоров. Элементы свободной абелевой группы с базисом могут быть описаны несколькими эквивалентными способами. К ним относятся формальные суммы по , которые представляют собой выражения вида , где каждое — ненулевое целое число, каждое — различный базисный элемент, а сумма содержит конечное число слагаемых. Альтернативно, элементы свободной абелевой группы можно рассматривать как знаковые мультимножества, содержащие конечное число элементов , причем кратность элемента в мультимножестве равна его коэффициенту в формальной сумме. Другой способ представить элемент свободной абелевой группы — это функция из в целые числа с конечным числом ненулевых значений; для этого функционального представления групповая операция — поточечное сложение функций. Любое множество имеет свободную абелеву группу с в качестве базиса. Эта группа уникальна в том смысле, что любые две свободные абелевы группы с одним и тем же базисом изоморфны. Вместо построения группы путем описания ее отдельных элементов, свободную абелеву группу с базисом можно построить как прямую сумму копий аддитивной группы целых чисел, по одной копии на каждый элемент . Альтернативно, свободную абелеву группу с базисом можно описать заданием с элементами в качестве образующих и с коммутаторами пар элементов в качестве определяющих соотношений. Ранг свободной абелевой группы — это кардинальность базиса; любые два базиса для одной и той же группы имеют один и тот же ранг, и любые две свободные абелевы группы с одним и тем же рангом изоморфны. Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама по себе является свободной абелевой; этот факт позволяет понимать общую абелеву группу как фактор-группу свободной абелевой группы по "соотношениям" или как коядро инъективного гомоморфизма между свободными абелевыми группами. Единственные свободные абелевы группы, которые являются свободными группами, — это тривиальная группа и бесконечная циклическая группа.

Определение и примеры

Свободная абелева группа — это абелева группа, имеющая базис. Здесь, быть абелевой группой означает, что она описывается множеством её элементов и бинарной операцией на этом множестве, обычно обозначаемой как аддитивная группа символом (хотя это не обязательно должно быть обычным сложением чисел), которая подчиняется следующим свойствам: операция коммутативна и ассоциативна, то есть для всех элементов , , и из , и , следовательно, при объединении двух или более элементов с использованием этой операции порядок и группировка элементов не влияют на результат. Группа содержит нейтральный элемент (обычно обозначаемый ) с тем свойством, что для каждого элемента , каждый элемент в имеет обратный элемент , такой что . Базис — это подмножество элементов с тем свойством, что каждый элемент может быть сформирован единственным образом путем выбора конечного числа базисных элементов , выбора ненулевого целого числа для каждого из выбранных базисных элементов и сложения копий базисных элементов, для которых оно положительно, и копий для каждого базисного элемента, для которого оно отрицательно. В качестве частного случая, нейтральный элемент всегда может быть сформирован таким образом как комбинация нулевого числа базисных элементов, согласно обычной конвенции для пустой суммы, и не должно быть возможно найти какую-либо другую комбинацию, представляющую нейтральный элемент. Целые числа при обычной операции сложения образуют свободную абелеву группу с базисом . Целые числа коммутативны и ассоциативны, с 0 в качестве аддитивного нейтрального элемента и с каждым целым числом, имеющим аддитивный обратный элемент – его отрицание. Каждое неотрицательное целое число является суммой копий , а каждое отрицательное целое число – суммой копий , поэтому свойство базиса также выполняется. Пример, где групповая операция отличается от обычного сложения чисел, дается положительными рациональными числами, которые образуют свободную абелеву группу с обычной операцией умножения чисел и с простыми числами в качестве их базиса. Умножение коммутативно и ассоциативно, с числом 1 в качестве нейтрального элемента и с в качестве обратного элемента для каждого положительного рационального числа. Тот факт, что простые числа образуют базис для умножения этих чисел, следует из основной теоремы арифметики, согласно которой каждое положительное целое число может быть однозначно разложено на произведение конечного числа простых чисел или их обратных. Если — положительное рациональное число, выраженное в несократимом виде, то его можно выразить как конечную комбинацию простых чисел, входящих в разложение и , а число копий каждого простого числа, используемых в этой комбинации, является его показателем в разложении , или отрицанием его показателя в разложении . Полиномы одной переменной с целочисленными коэффициентами образуют свободную абелеву группу относительно сложения полиномов, с степенями переменной в качестве базиса. Как абстрактная группа, она изоморфна мультипликативной группе положительных рациональных чисел. Один из способов сопоставить эти две группы друг с другом, показывая, что они изоморфны, — переинтерпретировать показатель -го простого числа в мультипликативной группе рациональных чисел как коэффициент при в соответствующем полиноме, или наоборот. Например, рациональное число имеет показатели для первых трех простых чисел и соответствовало бы таким образом полиному , имеющему те же коэффициенты для его постоянного, линейного и квадратичного членов. Поскольку эти сопоставления лишь переинтерпретируют одни и те же числа, они определяют биекцию между элементами двух групп. И поскольку групповая операция умножения положительных рациональных чисел действует аддитивно на показатели простых чисел, так же, как групповая операция сложения полиномов действует на коэффициенты полиномов, эти отображения сохраняют структуру группы; они являются гомоморфизмами. Биективный гомоморфизм называется изоморфизмом, и его существование демонстрирует, что эти две группы обладают одинаковыми свойствами. Хотя представление каждого элемента группы относительно данного базиса уникально, свободная абелева группа обычно имеет более одного базиса, и различные базисы обычно приводят к различным представлениям её элементов. Например, если заменить любой элемент базиса на его обратный, получится другой базис. В качестве более развернутого примера, двумерная целочисленная решетка , состоящая из точек на плоскости с целочисленными декартовыми координатами, образует свободную абелеву группу относительно векторного сложения с базисом . Для этого базиса элемент можно записать как , где «умножение» определено так, что, например, . Иного способа записать в этом базисе нет. Однако, с другим базисом, например , его можно записать как . Обобщая этот пример, каждая решетка образует конечно порожденную свободную абелеву группу. -мерная целочисленная решетка имеет естественный базис, состоящий из положительных единичных векторов, но она имеет и множество других базисов: если — -мерная целочисленная матрица с определителем 1, то строки образуют базис, и наоборот, каждый базис целочисленной решетки имеет такой вид. Подробнее о двумерном случае см. фундаментальную пару периодов.

Строительство

Каждый набор может служить базисом для свободной абелевой группы, которая определяется с точностью до групповых изоморфизмов. Свободную абелеву группу для заданного базиса можно построить несколькими различными, но эквивалентными способами: как прямую сумму копий кольца целых чисел, как семейство целочисленных функций, как мультимножество с учетом знака, или посредством представления группы.

Продукты и суммы

Прямое произведение групп состоит из кортежей, каждый из которых содержит элемент из соответствующей группы в произведении, с покомпонентным сложением. Прямое произведение двух свободных абелевых групп само является свободным абелевым, с базисом, являющимся непересекающимся объединением базисов этих двух групп. В более общем случае, прямое произведение любого конечного числа свободных абелевых групп является свободным абелевым. Например, целочисленная решетка размерности n изоморфна прямому произведению n копий группы целых чисел. Тривиальная группа также считается свободной абелевой, с базисом, равным пустому множеству. Её можно интерпретировать как пустое произведение, то есть прямое произведение нуля копий.

Для бесконечных семейств свободных абелевых групп прямое произведение не обязательно является свободным абелевым. Например, группа Баэра — Спекера, несчетная группа, образованная как прямое произведение счетного числа копий , была показана в 1937 году Рейнхольдом Баэром не являющейся свободной абелевой, хотя Эрнст Спекер доказал в 1950 году, что все её счетные подгруппы являются свободными абелевыми. Вместо этого, чтобы получить свободную абелеву группу из бесконечного семейства групп, следует использовать прямую сумму, а не прямое произведение. Прямая сумма и прямое произведение совпадают, когда применяются к конечному числу групп, но различаются для бесконечных семейств групп. В прямой сумме элементы снова являются кортежами элементов из каждой группы, но с ограничением, что все, кроме конечного числа этих элементов, равны нейтральному элементу для своей группы. Прямая сумма бесконечного числа свободных абелевых групп остаётся свободной абелевой. Она имеет базис, состоящий из кортежей, в которых все, кроме одного элемента, равны нейтральному элементу, а оставшийся элемент является частью базиса для своей группы. Каждая свободная абелева группа может быть описана как прямая сумма копий , по одной копии для каждого элемента её базиса. Эта конструкция позволяет любому множеству стать базисом свободной абелевой группы.

Презентация

Представление группы – это набор элементов, порождающих группу (то есть все элементы группы могут быть выражены как произведения конечного числа порождающих элементов), вместе с "реляторами" – произведениями порождающих элементов, дающими единичный элемент. Элементы группы, определенной таким образом, являются классами эквивалентности последовательностей порождающих элементов и их обратных, относительно отношения эквивалентности, позволяющего вставлять или удалять любую пару релятора и обратного порождающего элемента в качестве непрерывной подпоследовательности. Свободная абелева группа с базисом имеет представление, в котором генераторы – это элементы , а реляторы – коммутаторы пар элементов . Здесь коммутатор двух элементов и – это произведение ; приравнивание этого произведения к единичному элементу приводит к тому, что , то есть и переставляются. В более общем случае, если все пары генераторов переставляются, то все пары произведений генераторов также переставляются. Следовательно, группа, порожденная этим представлением, является абелевой, а реляторы представления образуют минимальный набор реляторов, необходимый для обеспечения ее абелевости. Когда множество генераторов конечно, представление свободной абелевой группы также конечно, поскольку существует лишь конечное число различных коммутаторов, которые можно включить в представление. Этот факт, вместе с тем, что каждая подгруппа свободной абелевой группы является свободной абелевой (как будет показано ниже), позволяет доказать, что каждая конечно порожденная абелева группа конечно представима. Ибо, если конечно порождена множеством , то она является фактор-группой свободной абелевой группы над по свободной абелевой подгруппе, подгруппе, порожденной реляторами представления . Но поскольку эта подгруппа сама является свободной абелевой, она также конечно порождена, и ее базис (вместе с коммутаторами над ) образует конечный набор реляторов для представления.

Универсальная собственность

Свободная абелева группа с базисом имеет следующее универсальное свойство: для любой функции из базиса в абелеву группу существует единственный групповой гомоморфизм из свободной абелевой группы в эту абелеву группу, который является продолжением данной функции. Здесь групповой гомоморфизм – это отображение из одной группы в другую, сохраняющее групповую операцию: выполнение операции до или после отображения даёт один и тот же результат. Благодаря общему свойству универсальных свойств, это показывает, что абелева группа с заданным базисом определена с точностью до изоморфизма. Следовательно, универсальное свойство можно использовать как определение свободной абелевой группы с заданным базисом. Уникальность группы, определяемой этим свойством, доказывает эквивалентность всех других определений. Именно благодаря этому универсальному свойству свободные абелевы группы называются "свободными": они являются свободными объектами в категории абелевых групп, категории, объектами которой являются абелевы группы, а морфизмами – гомоморфизмы. Отображение из базиса в соответствующую свободную абелеву группу является функтором – отображением, сохраняющим структуру категорий, из множеств в абелевы группы, и является сопряжённым к забывающему функтору из абелевых групп в множества. Однако свободная абелева группа не является свободной группой, за исключением двух случаев: свободная абелева группа с пустым базисом (нулевой ранг, дающая тривиальную группу) или с базисом, содержащим только один элемент (ранг один, дающая бесконечную циклическую группу). Другие абелевы группы не являются свободными группами, поскольку в свободных группах элементы и должны быть различными, если и – различные элементы базиса, в то время как в свободных абелевых группах два произведения должны совпадать для всех пар элементов. В общей категории групп требование отличается от является дополнительным ограничением, в то время как в категории абелевых групп это необходимое свойство.

Звание

Каждое из двух оснований одной и той же свободной абелевой группы имеет одинаковую кардинальность, поэтому кардинальность основания образует инвариант группы, известный как её ранг. Две свободные абелевы группы изоморфны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковый ранг. Свободная абелева группа конечно порождена тогда и только тогда, когда её ранг является конечным числом, в этом случае группа изоморфна к… Это понятие ранга может быть обобщено со свободных абелевых групп на абелевы группы, не обязательно свободные. Ранг абелевой группы определяется как ранг свободной абелевой подгруппы в этой группе, для которой факторгруппа является группой кручения. Эквивалентно, это кардинальность максимального подмножества, порождающего свободную подгруппу. Ранг является групповым инвариантом: он не зависит от выбора подгруппы.

Подгруппы

Каждая подгруппа свободной абелевой группы сама является свободной абелевой группой. Этот результат Ричарда Дедекинда был предшественником аналогичной теоремы Нильсена — Шрейера о том, что каждая подгруппа свободной группы свободна, и является обобщением факта о том, что каждая нетривиальная подгруппа бесконечной циклической группы бесконечно циклична. Доказательство требует аксиомы выбора. Доказательство с использованием леммы Зорна (одного из многих эквивалентных предположений, равносильных аксиоме выбора) можно найти в «Алгебре» Сержа Ланга. Соломон Лефшец и Ирвинг Капланский утверждают, что использование принципа хорошего упорядочения вместо леммы Зорна приводит к более интуитивному доказательству. В случае конечно порожденных свободных абелевых групп доказательство проще, не требует аксиомы выбора и приводит к более точному результату. Если является подгруппой конечно порожденной свободной абелевой группы , то свободна, и существует базис для и положительные целые числа (то есть, каждое делится на следующее), такие что является базисом для . Более того, последовательность зависит только от и и не зависит от выбора базиса. Конструктивное доказательство части теоремы о существовании обеспечивается любым алгоритмом, вычисляющим нормальную форму Смита для матрицы целых чисел. Уникальность следует из того факта, что для любого , наибольший общий делитель миноров ранга матрицы не изменяется в процессе вычисления нормальной формы Смита и в конце вычисления равен произведению .

Торсия и делимость

Все свободные абелевы группы не содержат кручения, то есть не существует неединичного элемента группы и ненулевого целого числа, таких что. Обратно, все конечно порожденные группы без кручения являются свободными абелевыми. Аддитивная группа рациональных чисел является примером группы без кручения (но не конечно порожденной), которая не является свободной абелевой. Одна из причин, по которой она не является свободной абелевой, заключается в том, что она делима, то есть для каждого элемента и каждого ненулевого целого числа можно найти такой элемент, что исходный элемент равен его скалярному кратному. В отличие от этого, нетривиальные свободные абелевы группы никогда не делятся, поскольку в свободной абелевой группе базисные элементы нельзя выразить как кратные другим элементам.

Симметрия

Симметрии любой группы могут быть описаны как групповые автоморфизмы, обратимые гомоморфизмы из группы в саму себя. В неабелевых группах они подразделяются на внутренние и внешние автоморфизмы, но в абелевых группах все нетождественные автоморфизмы являются внешними. Они образуют другую группу, группу автоморфизмов данной группы, относительно операции композиции. Автоморфическая группа свободной абелевой группы конечного ранга является общей линейной группой, которую можно конкретно описать (для конкретного базиса свободной группы) как множество невырожденных целочисленных матриц относительно операции умножения матриц. Их действие как симметрий на свободной абелевой группе — это просто умножение матрицы на вектор. Автоморфические группы двух бесконечноранговых свободных абелевых групп имеют одинаковые теории первого порядка тогда и только тогда, когда их ранги эквивалентны кардиналам с точки зрения логики второго порядка. Этот результат зависит от структуры инволюций свободных абелевых групп, автоморфизмов, являющихся обратными сами себе. Для заданного базиса свободной абелевой группы можно найти инволюции, отображающие любое множество непересекающихся пар базисных элементов друг в друга, или отрицающие любой выбранный поднабор базисных элементов, оставляя остальные базисные элементы фиксированными. И наоборот, для каждой инволюции свободной абелевой группы можно найти базис группы, для которого все базисные элементы либо меняются местами попарно, либо отрицаются, либо остаются неизменными инволюцией.

Алгебраическая топология

В алгебраической топологии формальная сумма n-мерных симплексов называется цепью, а свободная абелева группа, имеющая в качестве базиса множество n-мерных симплексов, называется группой цепей. Симплексы обычно берутся из некоторого топологического пространства, например, как множество симплексов в симплициальном комплексе или множество сингулярных симплексов в многообразии. Любой n-мерный симплекс имеет границу, которую можно представить как формальную сумму (n-1)-мерных симплексов, и универсальное свойство свободных абелевых групп позволяет расширить этот оператор границы до гомоморфизма групп из группы n-мерных цепей в группу (n-1)-мерных цепей. Система групп цепей, связанных операторами границы таким образом, образует цепной комплекс, а изучение цепных комплексов составляет основу теории гомологии.

Групповые кольца

Интегральное групповое кольцо для любой группы является кольцом, аддитивная группа которого является свободной абелевой группой над ℤ. Когда G конечна и абелева, мультипликативная группа обратимых элементов в R[G] имеет структуру прямого произведения конечной группы и конечно порожденной свободной абелевой группы.