Кіріспе

Өнімнің туындысын табу формуласы
Өнімнің туындысы

Есептеулерде, көбейту ережесі (немесе Лейбниц ережесі немесе Лейбниц көбейту ережесі) – екі немесе одан көп функциялардың көбейтіндісінің туындысын табу үшін қолданылатын формула. Екі функция үшін, оны Лагранж белгілеуі арқылы немесе Лейбниц белгілеуі арқылы жазуға болады.

Бұл ереже үш немесе одан көп функциялардың көбейтінділеріне, көбейтіндінің жоғары ретті туындылары үшін ережеге және басқа да жағдайларға кеңейтілуі немесе жалпылануы мүмкін.

Мысалдар

Егер біз дифференциалдағымыз келсе, көбейту ережесін қолдану арқылы туындыны аламыз (өйткені -ның туындысы , ал синус функциясының туындысы косинус функциясы болады). Көбейту ережесінің ерекше жағдайы - тұрақты көбейтінді ережесі, ол былай тұжырымдалады: егер c - сан болса және f(x) дифференциалданатын функция болса, онда cf(x) де дифференциалданады, ал оның туындысы c*f'(x) болады. Бұл көбейту ережесінен туындайды, себебі кез келген тұрақтының туындысы нөлге тең. Бұл, туындылардың қосынды ережесімен біріктірілгенде, дифференциацияның сызықтық екенін көрсетеді. Бөліктер бойынша интегралдау ережесі де, көбейту ережесінен шығарылады, сондай-ақ (көктестік ереженің әлсіз түрі) де осы ережеден туындайды. (Бұл "әлсіз" түрі, өйткені ол бөліктің дифференциалданатынын дәлелдемейді, тек егер ол дифференциалданатын болса, оның туындысы қандай болатынын ғана көрсетеді.)

Дериваттың шекті анықтамасы

f және g әрқайсысы x нүктесінде дифференциалданады деп есептейік. h функциясының x нүктесінде дифференциалданатынын және оның туындысының , , болып берілетінін дәлелдеуіміз керек. Мұны істеу үшін, (бұл нөлге тең, демек мәнін өзгерте алмайды) бөлшектің жіктелуіне мүмкіндік беру үшін алымына қосылады, содан кейін лимиттердің қасиеттері пайдаланылады. Ал, дегені дифференциалданатын функциялар үздіксіз болатынынан туындайды.

Стандартты емес талдау

u және v функциялары x-те үздіксіз болсын, ал dx, du және dv стандартты емес талдау аясында, нақтырақ айтқанда гиперреал сандар аясындағы инфинитезимальдар болсын. st белгісімен шектік бөлік функциясын білдірейік, ол әр шекті гиперреал санға оған шексіз жақын нақты санды сәйкес келтіреді. Бұл, негізінен Лейбництің дәлелдеуі болып табылады, ол стандартты бөліктің орнына трансценденттік гомогенділік заңын пайдаланды.

Түзсіз шексіз шағын талдау

Ловирдің шексіз кіші шамаларға деген көзқарасы бойынша, нөлдік квадратқа тең шексіз кіші шама деп белгілейік. Онда және , сондықтан

, себебі . Бұл теңдікті нөлдік квадратқа тең шексіз кіші шамаға бөлгенде немесе нәтижесінде шығады.

Банах кеңістігі

X, Y және Z Банах кеңістіктері (мұнда Эвклид кеңістігі де кіреді) болсын, ал B : X × Y → Z – үздіксіз билинейлі оператор. Онда B дифференциалданады, ал оның X × Y кеңістігіндегі (x,y) нүктесіндегі туындысы D(x,y)B : X × Y → Z сызықтық операторымен беріледі.

Бұл нәтижені жалпырақ топологиялық векторлық кеңістіктерге де қолдануға болады.