Введение

Формула для производной произведения

В математическом анализе правило произведения (или правило Лейбница, или правило произведения Лейбница) — это формула, используемая для нахождения производных произведений двух или более функций. Для двух функций оно может быть записано в обозначении Лагранжа как или в обозначении Лейбница как

Правило может быть расширено или обобщено на произведения трех и более функций, на правило для производных более высокого порядка произведения и на другие случаи.

Примеры

Предположим, мы хотим продифференцировать. Используя правило произведения, получаем производную (поскольку производная равна , а производная синусной функции — косинусная функция). Частным случаем правила произведения является правило постоянного множителя, которое гласит: если c — число, а — дифференцируемая функция, то также дифференцируема, и её производная равна . Это следует из правила произведения, так как производная любой константы равна нулю. Это, в сочетании с правилом суммы для производных, показывает, что дифференцирование является линейным. Правило интегрирования по частям выводится из правила произведения, как и (слабая версия) правила частного. (Это "слабая" версия, поскольку она не доказывает дифференцируемость частного, а лишь указывает, чему равна его производная, если он дифференцируем.)

Определение предельного значения производного инструмента

Пусть и предположим, что функции f и g дифференцируемы в точке x. Мы хотим доказать, что функция h дифференцируема в точке x и что её производная, , задается формулой . Для этого к числителю добавляется выражение (которое равно нулю и, следовательно, не изменяет значение), чтобы обеспечить возможность его разложения на множители, а затем применяются свойства пределов. Тот факт, что , следует из непрерывности дифференцируемых функций.

Нестандартный анализ

Пусть u и v – непрерывные функции от x, а dx, du и dv – бесконечно малые величины в рамках нестандартного анализа, в частности, гиперреальных чисел. Обозначим st функцией стандартной части, которая сопоставляет конечному гиперреальному числу реальное бесконечно близкое к нему число. Это дает

По сути, это было доказательство Лейбница, использующее трансцендентный закон однородности (вместо стандартной части, указанной выше).

Гладкий бесконечно малый анализ

В контексте подхода Ловера к бесконечно малым, пусть α будет нильквадратным бесконечно малым. Тогда α² = 0 и α ≠ 0, так что

поскольку α ≠ 0. Деление на α дает 1 = 0 или 1 = 0.

Пространство Банаха

Предположим, что X, Y и Z – пространства Банаха (включая евклидово пространство), и B : X × Y → Z – непрерывный билинейный оператор. Тогда B дифференцируема, и её производная в точке (x, y) из X × Y является линейным отображением D(x, y)B : X × Y → Z, заданным как

Этот результат можно обобщить на более общие топологические векторные пространства.