Кіріспе
Риманн немесе псевдо-Риманн геометриясында (әсіресе жалпы салыстырмалылық теориясының Лоренц геометриясында) Леви-Чивита байланысы — (псевдо)Риманн метрикасын сақтайтын және бұрмасыз болатын, көптүрліліктің жанама бунделіндегі (яғни аффиндік байланыс) бірегей аффиндік байланыс. Риман геометриясының негізгі теоремасы осы қасиеттерді қанағаттандыратын бірегей байланыс бар екенін көрсетеді. Риманн және псевдо-Риманн көптүрліліктерінің теориясында ковариантты туынды термині көбінесе Леви-Чивита байланысы үшін қолданылады. Осы байланыстың жергілікті координаттар жүйесіне қатысты компоненттері (құрылымдық коэффициенттері) Кристоффель символдары деп аталады.
In Riemannian or pseudo Riemannian geometry (in particular the Lorentzian geometry of general relativity), the Levi Civita connection is the unique affine connection on the tangent bundle of a manifold (i. e. affine connection) that preserves the (pseudo )Riemannian metric and is torsion free. The fundamental theorem of Riemannian geometry states that there is a unique connection which satisfies these properties. In the theory of Riemannian and pseudo Riemannian manifolds the term covariant derivative is often used for the Levi Civita connection. The components (structure coefficients) of this connection with respect to a system of local coordinates are called Christoffel symbols.
Тарих
Леви-Чивита байланысы Туллио Леви-Чивитаның есімімен аталады, бірақ бастапқыда оны Эльвин Бруно Кристоффель «ашқан». Леви-Чивита, Грегорио Риччи-Курбастромен бірге Кристоффельдің символдарын параллель көшіру түсінігін анықтауға және параллель көшірудің қисықтықпен байланысын зерттеуге пайдаланды, осылайша қазіргі заманғы холономия түсінігін дамытты. 1869 жылы Кристоффель векторлық өрістің ішкі туындысының компоненттері координаттар жүйесі өзгергенде, ковариант емес вектордың компоненттері сияқты өзгеретінін анықтады. Бұл жаңалық тензорлық анализдің бастауы болды. 1906 жылы Л. Е. Ж. Браувер тұрақты қисықтығы бар кеңістік үшін вектордың параллель көшіруін қарастырған алғашқы математик болды. 1917 жылы Леви-Чивита Евклид кеңістігіне енгізілген гипербеттің, яғни «үлкен» айналасындағы кеңістікте орналасқан Римандық көптік үшін оның маңыздылығын көрсетті. Сол жылы Герман Вейль Леви-Чивитаның нәтижелерін кеңейтті.
a space of constant curvature. In 1917, Levi Civita pointed out its importance for the case of a hypersurface immersed in a Euclidean space, i. e., for the case of a Riemannian manifold embedded in a "larger" ambient space. In the same year, Hermann Weyl generalized
Levi Civita's results.
Нөмірлік
(M, g) Риманн немесе псевдо-Риманн көптігін білдіреді. TM – M-нің тангенциалдық шоғыры. g – M-нің Риман немесе псевдо-Риман метрикасы. X, Y, Z – M-дегі тегіс векторлық өрістер, яғни TM-ның тегіс қималары. [X, Y] – X және Y векторларының Ли жақшасы. Бұл да тегіс векторлық өріс. Метрика g екі вектор немесе векторлық өріс X, Y-ді аргумент ретінде қабылдай алады. Бірінші жағдайда нәтиже сан болады, X және Y-дің (псевдо) ішкі көбейтіндісі. Екінші жағдайда, Xp, Yp ішкі көбейтіндісі көптіктің барлық p нүктелерінде ескеріледі, сондықтан g(X, Y) M-де тегіс функцияны анықтайды. Векторлық өрістер (анықтама бойынша) тегіс функцияларға қатысты дифференциалдық операторлар болып табылады. Жергілікті координаттарда оның әсері былай жазылады:
g is the Riemannian or pseudo Riemannian metric of M.
X, Y, Z are smooth vector fields on M, i. e. smooth sections of TM. [X, Y] is the Lie bracket of X and Y. It is again a smooth vector field. The metric g can take up to two vectors or vector fields X, Y as arguments. In the former case the output is a number, the (pseudo )inner product of X and Y. In the latter case, the inner product of Xp, Yp is taken at all points p on the manifold so that g(X, Y) defines a smooth function on M. Vector fields act (by definition) as differential operators on smooth functions. In local coordinates , the action reads
мұнда Эйнштейннің жиынтық белгілеуі қолданылады.
Параллельді тасымалдау
Жалпы, қисық бойымен қатар көшіру, белгілі бір байланысқа қатысты, қисықтың нүктелеріндегі жанама кеңістіктер арасында изоморфизмдерді анықтайды. Егер байланыс Леви-Чивита байланысы болса, онда бұл изоморфизмдер ортогоналды болады – яғни, олар әртүрлі жанама кеңістіктердегі ішкі көбейтулерді сақтайды. Төмендегі суреттерде екі түрлі Риманн метрикасына байланысты Леви-Чивита байланысының параллель көшірілуі жазықтықта, полярлық координаттармен көрсетілген. Сол жақтағы суреттегі метрика стандартты Евклидтік метрикаға сәйкес келеді, ал оң жақтағы метрика полярлық координаттарда стандартты формаға ие (егер ), және осылайша шеңберге жанама векторды сақтайды. Бұл екінші метриканың нөлдік нүктесінде сингулярлығы бар, оны Декарт координаттарында көрсету арқылы көруге болады:
Мысал:
⟨ , ⟩-ны R³-тағы стандартты скалярлық көбейтінді деп алайық. S²-ні R³-тағы бірлік сфера деп белгілейік. S² сферасының m нүктесіндегі жанама кеңістігі, m-ге перпендикуляр барлық векторлардан тұратын R³ векторлық кеңістігінің бөлігімен табиғи түрде сәйкес келеді. Сондықтан, S²-дегі Y векторлық өрісін Y : S² → R³ функциясы ретінде қарастыруға болады, мұндағы Y функциясының m нүктесіндегі дифференциалы dmY деп белгіленеді. Онда бізде:
Denote as dmY the differential of the map Y at the point m. Then we have:
In fact, this connection is the Levi Civita connection for the metric on 'S'^(2) inherited from 'R'^(3). Indeed, one can check that this connection preserves the metric.
Шындығында, бұл байланыс R³-тен мұрагерлік алған S² сферасының метрикасы үшін Леви-Чивита байланысы болып табылады. Дейін, осы байланыстың метриканы сақтайтынын тексеруге болады.
Denote as dmY the differential of the map Y at the point m. Then we have:
In fact, this connection is the Levi Civita connection for the metric on 'S'^(2) inherited from 'R'^(3). Indeed, one can check that this connection preserves the metric.