Введение
Аффинное соединение на касательном расслоении многообразия. В римановой или псевдоримановой геометрии (в частности, в лоренцевой геометрии общей теории относительности) соединение Леви-Чивиты является единственным аффинным соединением на касательном расслоении многообразия (то есть аффинным соединением), сохраняющим (псевдо)риманову метрику и не имеющим кручения. Основная теорема римановой геометрии утверждает, что существует единственная связь, удовлетворяющая этим свойствам. В теории римановых и псевдоримановых многообразий термин "ковариантная производная" часто используется для обозначения соединения Леви-Чивиты. Компоненты (коэффициенты структуры) этого соединения относительно системы локальных координат называются символами Кристоффеля.
In Riemannian or pseudo Riemannian geometry (in particular the Lorentzian geometry of general relativity), the Levi Civita connection is the unique affine connection on the tangent bundle of a manifold (i. e. affine connection) that preserves the (pseudo )Riemannian metric and is torsion free. The fundamental theorem of Riemannian geometry states that there is a unique connection which satisfies these properties. In the theory of Riemannian and pseudo Riemannian manifolds the term covariant derivative is often used for the Levi Civita connection. The components (structure coefficients) of this connection with respect to a system of local coordinates are called Christoffel symbols.
История
Связь Леви-Чивиты названа в честь Туллио Леви-Чивиты, хотя первоначально была "открыта" Элвином Бруно Кристоффелем. Леви-Чивита, совместно с Грегорио Риччи-Курбастро, использовал символы Кристоффеля для определения понятия параллельного переноса и исследования связи параллельного переноса с кривизной, тем самым развивая современное понятие голономии. В 1869 году Кристоффель обнаружил, что компоненты внутренней производной векторного поля при смене системы координат преобразуются как компоненты ковариантного вектора. Это открытие стало истинным началом тензорного анализа. В 1906 году Л. Э. Й. Брауэр впервые рассмотрел параллельный перенос вектора для пространства постоянной кривизны. В 1917 году Леви-Чивита указал на важность этого для случая гиперповерхности, погруженной в евклидово пространство, то есть для случая риманова многообразия, вложенного в "более широкое" окружающее пространство. В том же году Герман Вейль обобщил результаты Леви-Чивиты.
a space of constant curvature. In 1917, Levi Civita pointed out its importance for the case of a hypersurface immersed in a Euclidean space, i. e., for the case of a Riemannian manifold embedded in a "larger" ambient space. In the same year, Hermann Weyl generalized
Levi Civita's results.
Обозначение
(M, g) обозначает риманово или псевдориманово многообразие. TM – тангенциальный расслоение M. g – риманова или псевдориманова метрика на M. X, Y, Z – гладкие векторные поля на M, то есть гладкие сечения TM. [X, Y] – скобка Ли векторов X и Y. Это снова гладкое векторное поле. Метрика g может принимать в качестве аргументов до двух векторов или векторных полей X, Y. В первом случае результатом является число – (псевдо)скалярное произведение X и Y. Во втором случае берется скалярное произведение Xp и Yp во всех точках p на многообразии, так что g(X, Y) определяет гладкую функцию на M. Векторные поля действуют (по определению) как дифференциальные операторы на гладких функциях. В локальных координатах действие выглядит следующим образом:
g is the Riemannian or pseudo Riemannian metric of M.
X, Y, Z are smooth vector fields on M, i. e. smooth sections of TM. [X, Y] is the Lie bracket of X and Y. It is again a smooth vector field. The metric g can take up to two vectors or vector fields X, Y as arguments. In the former case the output is a number, the (pseudo )inner product of X and Y. In the latter case, the inner product of Xp, Yp is taken at all points p on the manifold so that g(X, Y) defines a smooth function on M. Vector fields act (by definition) as differential operators on smooth functions. In local coordinates , the action reads
где используется соглашение Эйнштейна о суммировании.
Параллельная транспортировка
В общем, параллельный перенос вдоль кривой относительно аффинного связности определяет изоморфизмы между касательными пространствами в точках кривой. Если аффинная связность является связностью Леви-Чивиты, то эти изоморфизмы ортогональны – то есть, они сохраняют скалярные произведения на различных касательных пространствах. Изображения ниже демонстрируют параллельный перенос связности Леви-Чивиты, связанной с двумя различными римановыми метриками на плоскости, выраженными в полярных координатах. Метрика на левом изображении соответствует стандартной евклидовой метрике, а метрика на правом изображении имеет стандартный вид в полярных координатах (при ), и таким образом сохраняет вектор, касательный к окружности. Эта вторая метрика имеет сингулярность в начале координат, что можно увидеть, выразив её в декартовых координатах:
Пример: единичная сфера в
Пусть ⟨ , ⟩ будет обычным скалярным произведением на R³ . Пусть S² будет единичной сферой в R³ . Тангенциальное пространство к S² в точке m естественно отождествляется с векторным подпространством R³ , состоящим из всех векторов, ортогональных к m. Следовательно, векторное поле Y на S² можно рассматривать как отображение Y : S² → R³ , которое удовлетворяет
Обозначим dmY дифференциалом отображения Y в точке m. Тогда мы имеем:
Фактически, это связность Леви-Чивиты для метрики на S² , унаследованной от R³ . Действительно, можно проверить, что эта связность сохраняет метрику.