Кіріспе
математикалық ұғым
Алгебра саласы
Branch of algebra
Алгебрада сақина теориясы – сақиналарды зерттеу болып табылады. Сақина – қосу және көбейту амалдары анықталған және бүтін сандарға қатысты анықталған амалдармен ұқсас қасиеттерге ие алгебралық құрылым. Сақина теориясы сақиналардың құрылымын, олардың бейнелеулерін немесе, басқаша айтқанда, модульдерді, сақиналардың ерекше кластарын (топ сақиналары, бөлу сақиналары, әмбебап орам алгебралары), сондай-ақ теорияның өзінде де, оның қолданылу аясында да қызығушылық тудырған қасиеттер жиынтығын зерттейді, мысалы, гомологиялық қасиеттер мен полиномиалдық теңдіктер. Коммутативті сақиналар коммутативті емес сақиналардан жақсы түсініледі. Алгебралық геометрия және алгебралық сандар теориясы, коммутативті сақиналардың көптеген табиғи мысалдарын ұсынады, бұл коммутативті сақина теориясының дамуына үлкен үлес қосты, ол қазір коммутативтік алгебра деген атаумен қазіргі заманғы математиканың маңызды саласы болып табылады. Осы үш саланың (алгебралық геометрия, алгебралық сандар теориясы және коммутативтік алгебра) өте тығыз байланысты болуына байланысты, нақты нәтиженің қай салаға жататынын анықтау көбінесе қиын және мағынасыз. Мысалы, Гильберттің Нөлдік теоремасы алгебралық геометрияның негізгі теоремасы болып табылады және коммутативтік алгебра тұрғысынан тұжырымдалып, дәлелденеді. Сол сияқты, Ферманың соңғы теоремасы элементарлық арифметика тұрғысынан тұжырымдалады, ол коммутативтік алгебраның бір бөлігі болып табылады, бірақ оның дәлелі алгебралық сандар теориясының және алгебралық геометрияның терең нәтижелерін қамтиды. Коммутативті емес сақиналардың сипаты мүлдем өзгеше, себебі оларда ерекше мінез-құлықтар пайда болуы мүмкін. Теория өздігінен дамығанмен, соңғы кездегі бағыт коммутативті дамуды параллельдеуге бағытталған. Ол үшін, геометриялық тұрғыда коммутативті емес сақиналардың белгілі бір кластарын, (бар емес) "коммутативті емес кеңістіктердегі" функциялар сақиналары сияқты құруға тырысады. Бұл бағыт 1980-ші жылдары коммутативті емес геометрияның дамуымен және кванттық топтардың ашылуымен басталды. Бұл коммутативті емес сақиналарды, әсіресе коммутативті емес Нетер сақиналарын жақсырақ түсінуге мүмкіндік берді. Сақинаның анықтамасы және негізгі ұғымдары мен олардың қасиеттері үшін «Сақина (математика)» деген бетке қараңыз. Сақина теориясында қолданылатын терминдердің анықтамаларын «Сақина теориясының сөздігінен» табуға болады.
Коммутативтік сақиналар
Егер оның көбейтуі коммутативті болса, онда сақина коммутативті деп аталады. Коммутативті сақиналар белгілі бір сан жүйелеріне ұқсайды, ал коммутативті сақиналарға қатысты әртүрлі анықтамалар бүтін сандардың қасиеттерін формалдау үшін жасалған. Коммутативті сақиналар алгебралық геометрияда да маңызды. Коммутативті сақина теориясында сандар жиі идеалдармен алмастырылады, ал жай идеалдың анықтамасы жай сандардың мәнін түсінуге бағытталған. Интегралды домендер – нөлден өзге екі элементтің көбейтіндісі нөлге тең болмайтын, тривиальды емес коммутативті сақиналар, олар бүтін сандардың тағы бір қасиетін жалпылайды және бөлінгіштікті зерттеу үшін қажетті ортаны қамтамасыз етеді. Негізгі идеалдық домендер – әрбір идеалды бір элемент арқылы жасауға болатын интегралды домендер, бұл бүтін сандарға тән тағы бір қасиет. Евклидтік домендер – Евклид алгоритмін қолдануға болатын интегралды домендер. Коммутативті сақиналардың маңызды мысалдары көпмүшелер сақиналары және олардың факторлық сақиналары арқылы құрастырылуы мүмкін. Қорытынды: Евклидтік домен ⊂ негізгі идеалдық домен ⊂ бірегей жіктеу домені ⊂ интегралды домен ⊂ коммутативтік сақина.
Алгебралық геометрия
Алгебралық геометрия көп жағынан коммутативтік алгебраның кері бейнесі болып табылады. Бұл сәйкестік Хилберттің Nullstellensatz теоремасымен басталды, ол алгебралық сорттың нүктелері мен оның координаттық сақинасының максималдық идеалдары арасында біріншілік сәйкестік орнатады. Бұл сәйкестік алгебралық сорттардың көптеген геометриялық қасиеттерін тиісті коммутативтік сақиналардың алгебралық қасиеттеріне аудару (және дәлелдеу) үшін кеңейтілді және жүйелендірілді. Александр Гротендик осыны схемалардың енгізуімен аяқтады, ол алгебралық сорттардың кез келген коммутативтік сақинадан құралатын жалпыламасы болып табылады. Нақтырақ айтқанда, коммутативтік сақинаның спектрі – Зариски топологиясымен жабдықталған және сақиналар шоғымен толықтырылған оның жай идеалдарының кеңістігі. Бұл нысандар – "аффиндік схемалар" (аффиндік сорттардың жалпыламасы), ал жалпы схема бірнеше мұндай аффиндік схемаларды "бірге тіркеу" (таза алгебралық әдістермен) арқылы алынады, бұл атластың кестелерін біріктіру арқылы көптік құрастыруға ұқсас.
the spectrum of a commutative ring is the space of its prime ideals equipped with Zariski topology, and augmented with a sheaf of rings. These objects are the "affine schemes" (generalization of affine varieties), and a general scheme is then obtained by "gluing together" (by purely algebraic methods) several such affine schemes, in analogy to the way of constructing a manifold by gluing together the charts of an atlas.
Коммутативті емес сақиналар
Коммутативті емес сақиналар көп жағынан матрица сақиналарына ұқсас. Алгебралық геометрия үлгісін негізге ала отырып, соңғы кезде коммутативті емес сақиналарға негізделген коммутативті емес геометрияны анықтауға талпыныстар жасалып жатыр. Коммутативті емес сақиналар мен ассоциативтік алгебралар (векторлық кеңістіктер болатын сақиналар) көбінесе олардың модульдер категориялары арқылы зерттеледі. Сақина үстіндегі модуль – бұл сақина эндоморфизмдер сақинасы ретінде әрекет ететін абельдік топ, бұл өрістердің (әрбір нөлдік емес элементі кері болатын интегралды домендер) векторлық кеңістікке әсер етуіне өте ұқсас. Коммутативті емес сақиналардың мысалдары квадраттық матрицалар сақиналары немесе жалпы алғанда, абельдік топтар мен модульдердің эндоморфизмдер сақиналары, сондай-ақ моноид сақиналары болып табылады.
Өкілдік теориясы
Өкілдік теориясы – математиканың коммутативті емес сақиналарға көп сүйенетін саласы. Ол абстракт алгебралық құрылымдарды олардың элементтерін векторлық кеңістіктердің сызықтық түрлендірулері ретінде көрсету арқылы зерттейді және осы абстракт алгебралық құрылымдар бойынша модульдерді зерттейді. Қорыта айтқанда, өкілдік абстракт алгебралық объектіні оның элементтерін матрицалар арқылы сипаттау және алгебралық амалдарды матрицалық қосу және матрицалық көбейту арқылы түсіндіру арқылы нақтырақ етеді, ал матрицалық көбейту коммутативті емес. Мұндай сипаттамаға топтар, ассоциативтік алгебралар және Ли алгебралары жатады. Олардың ішіндегі ең маңыздысы (және тарихи тұрғыдан алғанда, біріншісі) – топтардың өкілдік теориясы, онда топтың элементтері кері матрицалармен бейнеленеді, мұнда топтық амал матрицалық көбейту болып табылады.
modules over these abstract algebraic structures. In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by matrices and the algebraic operations in terms of matrix addition and matrix multiplication, which is non commutative. The algebraic objects amenable to such a description include groups, associative algebras and Lie algebras. The most prominent of these (and historically the first) is the representation theory of groups, in which elements of a group are represented by invertible matrices in such a way that the group operation is matrix multiplication.
Коммутативті сақинаның өлшемдері
Осы бөлімде R коммутативті сақинаны білдіреді. R-дің Крулл өлшемі – барлық жай идеалдар тізбегінің ұзындығы n-нің жоғарғы шегі. Полиномдық сақинаның k өрісі үстіндегі өлшемі n-ге тең екені белгілі болады. Өлшемдер теориясының негізгі теоремасы ноэтерлік жергілікті сақина үшін келесі шамалар сәйкес келеді деп мәлімдейді: R-дің Крулл өлшемі. Бастауыш идеалдардың генераторларының ең аз саны. Градиенттелген сақинаның өлшемі (эквивалентті түрде, оның Гильберт полиномының дәрежесіне 1 қосылған шама). Егер әрбір жай идеалдар жұбы үшін тізбектегі екі идеалдың арасына қосымша жай идеалды қою мүмкін болмайтын, яғни максималды болатын жай идеалдардың шекті тізбегі болса, онда R коммутативті сақинасы катенарлы деп аталады, және осындай барлық максималды тізбектердің ұзындығы бірдей болады. Қолдануда кездесетін барлық ноэтерлік сақиналар дерлік катенарлы болып табылады. Ратлифф ноэтерлік жергілікті интегралды домен R-дің катенарлы екенін дәлелдеді, егер және тек қана әрбір жай идеал үшін , онда биіктігі болады. Егер R – шекті түрде құрылған k-алгебрасы бар интегралды домен болса, онда оның өлшемі k-ге қатысты оның бөлшектер өрісінің трансценденттік дәрежесіне тең. Егер S – коммутативті сақина R-дің интегралды кеңейуі болса, онда S және R бірдей өлшемге ие. Тереңдік және жаһандық өлшеммен байланысты ұғымдар бар. Жалпы, егер R – ноэтерлік жергілікті сақина болса, онда R-дің тереңдігі R-дің өлшемінен кем немесе тең болады. Теңдік орындалғанда R Коэн-Маколей сақинасы деп аталады. Кәдімгі жергілікті сақина Коэн-Маколей сақинасының мысалы болып табылады. Серренің теоремасы бойынша, егер R кәдімгі жергілікті сақина болса, онда және тек қана оның шекті жаһандық өлшемі болса, онда жаһандық өлшемі R-дің Крулл өлшеміне тең болады. Бұл жаһандық өлшемнің гомологиялық ұғым екенін көрсетеді.
The Krull dimension of R.
The minimum number of the generators of the primary ideals. The dimension of the graded ring (equivalently, 1 plus the degree of its Hilbert polynomial). A commutative ring R is said to be catenary if for every pair of prime ideals , there exists a finite chain of prime ideals that is maximal in the sense that it is impossible to insert an additional prime ideal between two ideals in the chain, and all such maximal chains between and have the same length. Practically all noetherian rings that appear in applications are catenary. Ratliff proved that a noetherian local integral domain R is catenary if and only if for every prime ideal ,
where is the height of
If R is an integral domain that is a finitely generated k algebra, then its dimension is the transcendence degree of its field of fractions over k. If S is an integral extension of a commutative ring R, then S and R have the same dimension. Closely related concepts are those of depth and global dimension. In general, if R is a noetherian local ring, then the depth of R is less than or equal to the dimension of R. When the equality holds, R is called a Cohen–Macaulay ring. A regular local ring is an example of a Cohen–Macaulay ring. It is a theorem of Serre that R is a regular local ring if and only if it has finite global dimension and in that case the global dimension is the Krull dimension of R. The significance of this is that a global dimension is a homological notion.
Морита эквиваленттілігі
R және S екі сақинасы Morita эквиваленті деп аталады, егер R үстіндегі сол модульдер санаты S үстіндегі сол модульдер санатына эквивалент болса. Шындығында, Morita эквиваленті болатын екі коммутативті сақина изоморфты болуы керек, сондықтан бұл түсінік коммутативті сақиналар санатына ештеңе жаңа қоспайды. Дегенмен, коммутативті сақиналар коммутативті емес сақиналармен Morita эквиваленті болуы мүмкін, сондықтан Morita эквиваленттігі изоморфизмге қарағанда жалпырақ ұғым. Morita эквиваленттігі алгебралық топология және функционалдық анализде ерекше маңызға ие.
Сақина мен Пикард тобының үстінен шекті пайда болған проективті модуль
R коммутативті сақина болсын және R бойынша шекті түрде жасалған проективті модульдердің изоморфизм кластарының жиыны болсын; сондай-ақ n тұрақты ранкі барлардан тұратын ішкі жиындар болсын. (Модуль M-нің ранкі – үздіксіз функция.) әдетте Pic(R) арқылы белгіленеді. Бұл R-дің Пикард тобы деп аталатын абельдік топ. Егер R, F бөлшектік өрісі R болатын интегралды домен болса, онда топтардың дәл тізбегі бар:
where is the set of fractional ideals of R. If R is a regular domain (i. e., regular at any prime ideal), then Pic(R) is precisely the divisor class group of R.
For example, if R is a principal ideal domain, then Pic(R) vanishes. In algebraic number theory, R will be taken to be the ring of integers, which is Dedekind and thus regular. It follows that Pic(R) is a finite group (finiteness of class number) that measures the deviation of the ring of integers from being a PID. One can also consider the group completion of ; this results in a commutative ring K0(R). Note that K0(R) = K0(S) if two commutative rings R, S are Morita equivalent.
мұндағы – R-дің бөлшектік идеалдарының жиыны. Егер R тұрақты домен болса (яғни, кез келген жай идеалда тұрақты болса), онда Pic(R) – дәл R-дің бөлгіш сынып тобы. Мысалы, егер R негізгі идеалдық домен болса, онда Pic(R) нөлге тең болады. Алгебралық сандар теориясында R – бүтін сандар сақинасы деп қарастырылады, ол Дедекинд сақинасы және демек, тұрақты. Осыдан Pic(R) – бүтін сандар сақинасының ПИД болудан ауытқуын өлшейтін шекті топ (сынып санының шектілігі). Сондай-ақ, ; тобының толықтыруын қарастыруға болады, нәтижесінде K0(R) коммутативті сақина пайда болады. Егер екі коммутативті сақина R, S Morita эквивалентті болса, онда K0(R) = K0(S) екенін ескеріңіз.
where is the set of fractional ideals of R. If R is a regular domain (i. e., regular at any prime ideal), then Pic(R) is precisely the divisor class group of R.
For example, if R is a principal ideal domain, then Pic(R) vanishes. In algebraic number theory, R will be taken to be the ring of integers, which is Dedekind and thus regular. It follows that Pic(R) is a finite group (finiteness of class number) that measures the deviation of the ring of integers from being a PID. One can also consider the group completion of ; this results in a commutative ring K0(R). Note that K0(R) = K0(S) if two commutative rings R, S are Morita equivalent.
Коммутативті емес сақиналардың құрылымы
Коммутативті емес сақинаның құрылымы коммутативті сақинаға қарағанда күрделірек. Мысалы, тривиалды емес (екі жақты) идеалдары жоқ, бірақ тривиалды емес сол немесе оң идеалдары бар қарапайым сақиналар бар. Коммутативті сақиналар үшін әртүрлі инварианттар бар, ал коммутативті емес сақиналардың инварианттарын табу қиын. Мысалы, сақинаның нилрадикалы, барлық нилпотент элементтердің жиынтығы, сақина коммутативті болмаса, міндетті түрде идеал емес. Нақты айтқанда, бөліну сақинасына қарамастан, барлық n × n матрицалар сақинасындағы барлық нилпотент элементтердің жиынтығы ешқашан идеалды құрамайды. Дегенмен, коммутативті емес сақиналар үшін анықталған нилрадикалдың аналогтары бар, олар коммутативтілік болған жағдайда нилрадикалдымен сәйкес келеді. Сақинаның Якобсон радикалы түсінігі; яғни, сақина үстіндегі қарапайым оң (сол) модульдердің барлық оң (сол) жойғыштарының қиылысы – бір мысал. Якобсон радикалын сақинадағы барлық максималды оң (сол) идеалдардың қиылысы ретінде қарастыруға болады, бұл сақинаның ішкі құрылымы оның модульдерінде қалай көрінетінін көрсетеді. Сондай-ақ, барлық сақиналар контекстінде сақинадағы барлық максималды оң идеалдардың қиылысуы барлық максималды сол идеалдардың қиылысуымен бірдей екендігі факт; сақинаның коммутативті болу-болмауына қарамастан. Коммутативті емес сақиналар математикада кең таралғандықтан зерттеудің белсенді саласы болып табылады. Мысалы, n × n матрицалар сақинасы геометрияда, физикада және математиканың көптеген салаларында табиғи түрде кездеседі, бірақ оған қарамастан коммутативті емес. Жалпы алғанда, абельдік топтардың эндоморфизм сақиналары көбінесе коммутативті болмайды, ең қарапайым мысалы – Клейн төрт тобының эндоморфизм сақинасы. Ең белгілі қатаң коммутативті емес сақиналардың бірі – кватерниондар.
Алгебралық түрлiктiң координаттық сақинасы
Егер X аффиндік алгебралық түрлiлiк болса, онда X-тегi барлық тұрақты функциялар жиыны X-тiң координаттық сақинасы деп аталатын сақинаны құрайды. Проективті түрлiлiк үшін де, оған ұқсас біртекті координаттық сақина бар. Бұл сақиналар мен түрлiлiктер өте ұқсас, олар дерлiк бiрдей тәртiппен сәйкес келедi. Бұл Хилберттың Nullstellensatz немесе схемалық теориялық құрылымдар (яғни Spec және Proj) арқылы көрсетiлуi мүмкiн.
Инварианттардың сақинасы
Классикалық инвариант теориясындағы негізгі (немесе ең маңызды) сұрақ – V кеңістігіндегі G шекті тобының (немесе жалпы алғанда редуктивті) әрекеті астында инвариант болатын полиномиалдар сақинасындағы полиномиалдарды табу және зерттеу болып табылады. Басты мысал – симметриялық полиномиалдар сақинасы: симметриялық полиномиалдар – айнымалылардың орналасуы кезінде инвариант болатын полиномиалдар. Симметриялық полиномиалдардың негізгі теоремасы осы сақинаның элементарлық симметриялық полиномиалдар арқылы анықталатынын көрсетеді.
Тарих
Коммутативтік сақина теориясы алгебралық сандар теориясы, алгебралық геометрия және инварианттар теориясынан туындады. Бұл салалардың дамуында алгебралық сан денелеріндегі және алгебралық функциялық денелердегі бүтін сандар сақиналары, сондай-ақ екі немесе одан көп айнымалыдағы полиномдар сақиналары орталық рөл атқарды. Коммутативті емес сақина теориясы кешенді сандарды әртүрлі гиперкешендік сандар жүйелеріне кеңейту әрекеттерімен басталды. Коммутативті және коммутативті емес сақиналар теориясының қалыптасуы 19 ғасырдың басына дейін жетеді, бірақ олардың толыққанды дамуы 20 ғасырдың үшінші онжылдығында ғана мүмкін болды. Нақтырақ айтқанда, Уильям Роуэн Гамильтон кватерниондар мен бикватерниондарды ұсынды; Джеймс Кокл тессарин мен кокватерниондарды ұсынды; ал Уильям Кингдон Клиффорд алгебралық моторлар деп атаған екіге бөлінген бикватерниондарды зерттеуге ынта білдірді. Бұл коммутативті емес алгебралар және ассоциативті емес Ли алгебралары математикалық құрылымдардың жеке түрлеріне бөлінгенге дейін әмбебап алгебра аясында зерттелді. Қайта ұйымдастырудың бір белгісі алгебралық құрылымды сипаттау үшін тікелей қосындыларды пайдалану болды. Әртүрлі гиперкешендік сандарды Джозеф Веддерберн (1908) және Эмиль Артин (1928) матрицалық сақиналармен сәйкестендірді. Веддерберннің құрылым теоремалары белгілі бір өріс үстіндегі шекті өлшемді алгебралар үшін формулировкаланды, ал Артин оларды Артиний сақиналарына жалпылады. 1920 жылы Эмми Нотер В. Шмайдлермен бірлесіп, сақинадағы сол және оң идеалдарды анықтаған идеалдар теориясы туралы мақала жариялады. Келесі жылы ол (математикалық) идеалдарға қатысты өсу тізбектерінің шартын талдаған "Сақиналық аймақтардағы идеалдар теориясы" атты маңызды еңбегін жариялады. Танымал алгебрашы Ирвинг Капланский бұл жұмысты "революциялық" деп атады; жарияланым "Нотер сақинасы" терминінің пайда болуына және бірнеше басқа математикалық объектілердің Нотерлік деп аталуына әкелді.