Введение

Математическое понятие
Раздел алгебры

В алгебре теория колец — это изучение алгебраических структур, называемых кольцами, в которых определены операции сложения и умножения, обладающие свойствами, аналогичными свойствам этих операций для целых чисел. Теория колец изучает структуру колец, их представления или, иными словами, модули, специальные классы колец (групповые кольца, кольца делений, универсальные огибающие алгебры), а также множество свойств, которые оказались интересными как в самой теории, так и для её приложений, таких как гомологические свойства и полиномиальные тождества. Коммутативные кольца изучены гораздо лучше, чем некоммутативные. Алгебраическая геометрия и алгебраическая теория чисел, предоставляющие множество естественных примеров коммутативных колец, стимулировали развитие коммутативной теории колец, которая сейчас, под названием коммутативной алгебры, является одной из основных областей современной математики. Поскольку эти три области (алгебраическая геометрия, алгебраическая теория чисел и коммутативная алгебра) настолько тесно связаны, обычно бывает трудно и бессмысленно определить, к какой из них относится конкретный результат. Например, нульстелленсац Гильберта — это теорема, фундаментальная для алгебраической геометрии, сформулированная и доказанная средствами коммутативной алгебры. Аналогично, последняя теорема Ферма сформулирована в терминах элементарной арифметики, являющейся частью коммутативной алгебры, но её доказательство включает в себя глубокие результаты как алгебраической теории чисел, так и алгебраической геометрии. Некоммутативные кольца существенно отличаются, поскольку в них может возникать более необычное поведение. Хотя теория развивалась самостоятельно, довольно недавняя тенденция заключается в том, чтобы параллельно коммутативному развитию строить теорию определённых классов некоммутативных колец геометрическим образом, как если бы они были кольцами функций на (несуществующих) «некоммутативных пространствах». Эта тенденция началась в 1980-х годах с развитием некоммутативной геометрии и открытия квантовых групп. Это привело к лучшему пониманию некоммутативных колец, особенно некоммутативных нётеровых колец. Определения кольца и основных понятий, а также их свойств, см. в статье Кольцо (математика). Определения терминов, используемых в теории колец, можно найти в Глоссарии теории колец.

Коммутативные кольца

Кольцо называется коммутативным, если его умножение коммутативно. Коммутативные кольца напоминают привычные системы чисел, и различные определения коммутативных колец предназначены для формализации свойств целых чисел. Коммутативные кольца также важны в алгебраической геометрии. В коммутативной теории колец числа часто заменяются идеалами, а определение простого идеала стремится отразить суть простых чисел. Области целостности – нетривиальные коммутативные кольца, в которых произведение любых двух ненулевых элементов не равно нулю – обобщают еще одно свойство целых чисел и служат подходящей областью для изучения делимости. Основные идеальные области – это области целостности, в которых каждый идеал может быть порожден одним элементом, свойством, которое также присуще целым числам. Евклидовы области – это области целостности, в которых может быть выполнен алгоритм Евклида. Важными примерами коммутативных колец служат кольца многочленов и их факторкольца. Итог: Евклидова область ⊂ основная идеальная область ⊂ область однозначной факторизации ⊂ область целостности ⊂ коммутативное кольцо.

Алгебраическая геометрия

Алгебраическая геометрия во многом является зеркальным отражением коммутативной алгебры. Это соответствие берет начало в теореме Гильберта о нулях, которая устанавливает взаимно однозначное соответствие между точками алгебраического многообразия и максимальными идеалами его кольца координат. Это соответствие было расширено и систематизировано для перевода (и доказательства) большинства геометрических свойств алгебраических многообразий в алгебраические свойства соответствующих коммутативных колец. Александр Гротендик завершил эту работу, введя схемы – обобщение алгебраических многообразий, которые могут быть построены из любого коммутативного кольца. Более точно, спектр коммутативного кольца – это пространство его простых идеалов, снабженное топологией Зариски и дополненное пучком колец. Эти объекты являются "аффинными схемами" (обобщением аффинных многообразий), а общая схема затем получается путем "склеивания" (чисто алгебраическими методами) нескольких таких аффинных схем, по аналогии с построением многообразия путем склеивания атласа из его карт.

Некоммутативные кольца

Некоммутативные кольца во многих отношениях напоминают кольца матриц. По аналогии с алгебраической геометрией, в последнее время предпринимаются попытки определить некомутативную геометрию, основываясь на некомутативных кольцах. Некоммутативные кольца и ассоциативные алгебры (кольца, являющиеся также векторными пространствами) часто изучаются посредством их категорий модулей. Модуль над кольцом — это абелева группа, на которую кольцо действует как кольцо эндоморфизмов, подобно тому, как поля (целостные области, в которых каждый ненулевой элемент обратим) действуют на векторные пространства. Примерами некомутативных колец служат кольца квадратных матриц или, в более общем случае, кольца эндоморфизмов абелевых групп или модулей, а также моноидные кольца.

Теория представления

Теория представлений – это раздел математики, который в значительной степени опирается на некоммутативные кольца. Она изучает абстрактные алгебраические структуры, представляя их элементы как линейные преобразования векторных пространств, и изучает модули над этими абстрактными алгебраическими структурами. По сути, представление делает абстрактный алгебраический объект более конкретным, описывая его элементы матрицами, а алгебраические операции – посредством сложения и умножения матриц, которые являются некоммутативными. Алгебраические объекты, которые можно описать таким образом, включают группы, ассоциативные алгебры и алгебры Ли. Наиболее важной из них (и исторически первой) является теория представлений групп, в которой элементы группы представляются обратимыми матрицами так, что групповая операция соответствует умножению матриц.

Размер коммутативного кольца

В этом разделе R обозначает коммутативное кольцо. Размерность Крулла кольца R — это супремум длин n всех цепочек простых идеалов. Оказывается, что полиномиальное кольцо над полем k имеет размерность n. Основная теорема теории размерности утверждает, что для нётерова локального кольца совпадают следующие числа: размерность Крулла R, минимальное число образующих первичных идеалов, размерность градуированного кольца (эквивалентно, 1 плюс степень его полинома Гильберта). Коммутативное кольцо R называется катена́рным, если для каждой пары простых идеалов существует конечная цепочка простых идеалов, которая является максимальной в том смысле, что невозможно вставить дополнительный простой идеал между двумя идеалами в этой цепочке, и все такие максимальные цепочки между и имеют одинаковую длину. Практически все нётеровы кольца, встречающиеся в приложениях, являются катена́рными. Ратлифф доказал, что нётерова локальная целостная область R является катена́рной тогда и только тогда, когда для каждого простого идеала , где — высота . Если R — целостная область, являющаяся конечно порожденной k-алгеброй, то её размерность равна степени трансцендентности её поля частных над k. Если S является интегральным расширением коммутативного кольца R, то S и R имеют одинаковую размерность. Тесно связанными понятиями являются глубина и глобальная размерность. В общем случае, если R — нётерово локальное кольцо, то глубина R меньше или равна размерности R. Когда выполняется равенство, R называется кольцом Коэна — Маколея. Регулярное локальное кольцо является примером кольца Коэна — Маколея. Теорема Серра утверждает, что R является регулярным локальным кольцом тогда и только тогда, когда оно имеет конечную глобальную размерность, и в этом случае глобальная размерность равна размерности Крулла R. Значение этого заключается в том, что глобальная размерность является гомологическим понятием.

Эквивалентность Morita

Два кольца R, S называются эквивалентными по Морите, если категория левых модулей над R эквивалентна категории левых модулей над S. В действительности, два коммутативных кольца, эквивалентных по Морите, должны быть изоморфны, поэтому это понятие не вносит ничего нового в категорию коммутативных колец. Однако коммутативные кольца могут быть эквивалентны по Морите некоммутативным кольцам, следовательно, эквивалентность по Морите является более общим понятием, чем изоморфизм. Эквивалентность по Морите особенно важна в алгебраической топологии и функциональном анализе.

Конечно сгенерированный проективный модуль над кольцом и группой Пикарда

Пусть R — коммутативное кольцо и множество классов изоморфизма конечно порожденных проективных модулей над R; пусть также подмножества, состоящие из тех, которые имеют постоянный ранг n. (Ранг модуля M — это непрерывная функция.) обычно обозначается Pic(R). Это абелева группа, называемая группой Пикара R. Если R — целостное кольцо с полем частных F, то существует точная последовательность групп:

где — множество дробных идеалов R. Если R — регулярная область (т.е., регулярная в любом простом идеале), то Pic(R) — это точно группа классов делителей R. Например, если R — область главных идеалов, то Pic(R) тривиальна. В алгебраической теории чисел R будет рассматриваться как кольцо целых чисел, которое является дедекиндовым и, следовательно, регулярным. Отсюда следует, что Pic(R) — конечная группа (конечность числа классов), которая измеряет отклонение кольца целых чисел от области главных идеалов. Можно также рассмотреть групповое завершение ; это приводит к коммутативному кольцу K0(R). Обратите внимание, что K0(R) = K0(S), если два коммутативных кольца R и S эквивалентны по Морите.

Структура некоммутативных колец

Структура некомутативного кольца сложнее, чем структура коммутативного кольца. Например, существуют простые кольца, которые не содержат нетривиальных собственных (двусторонних) идеалов, но содержат нетривиальные собственные левые или правые идеалы. Для коммутативных колец существует множество инвариантов, в то время как инварианты некомутативных колец трудно определить. Например, нилрадикал кольца, то есть множество всех нильпотентных элементов, не обязательно является идеалом, если кольцо не коммутативно. В частности, множество всех нильпотентных элементов в кольце всех n × n матриц над полем никогда не образует идеал, независимо от выбранного поля. Однако существуют аналоги нилрадикала, определённые для некомутативных колец, которые совпадают с нилрадикалом при условии коммутативности. Концепция радикалов Якобсона кольца, то есть пересечение всех правых (левых) аннигиляторов простых правых (левых) модулей над кольцом, является одним из примеров. Тот факт, что радикал Якобсона можно рассматривать как пересечение всех максимальных правых (левых) идеалов в кольце, показывает, как внутренняя структура кольца отражается в его модулях. Также верно, что пересечение всех максимальных правых идеалов в кольце совпадает с пересечением всех максимальных левых идеалов в кольце для всех колец, независимо от того, является ли кольцо коммутативным. Некоммутативные кольца являются активной областью исследований благодаря их широкому распространению в математике. Например, кольцо n × n матриц над полем является некомутативным, несмотря на его естественное возникновение в геометрии, физике и многих разделах математики. В более общем случае, кольца эндоморфизмов абелевых групп редко коммутативны, простейшим примером является кольцо эндоморфизмов группы Кляйна четырех. Одним из наиболее известных строго некомутативных колец являются кватернионы.

Координатное кольцо алгебраического разнообразия

Если X — аффинное алгебраическое многообразие, то множество всех регулярных функций на X образует кольцо, называемое координатным кольцом X. Для проективного многообразия существует аналогичное кольцо, называемое однородным координатным кольцом. Эти кольца по существу содержат ту же информацию, что и сами многообразия: они соответствуют друг другу практически однозначно. Это можно увидеть, используя теорему Гильберта о нулях или схемы (то есть Spec и Proj).

Кольцо инвариантов

Основной (и, возможно, самый фундаментальный) вопрос в классической теории инвариантов — найти и изучить многочлены в кольце многочленов, инвариантные относительно действия конечной группы (или, в более общем случае, редуктивной) G на V. Главным примером является кольцо симметричных многочленов: симметричные многочлены — это многочлены, инвариантные относительно перестановок переменных. Основная теорема о симметричных многочленах утверждает, что это кольцо порождено элементарными симметричными многочленами.

История

Коммутативная теория колец возникла в алгебраической теории чисел, алгебраической геометрии и теории инвариантов. Центральными для развития этих областей были кольца целых чисел в алгебраических числовых полях и полях алгебраических функций, а также кольца многочленов от двух и более переменных. Некоммутативная теория колец началась с попыток расширить комплексные числа до различных систем гиперкомплексных чисел. Истоки теорий коммутативных и некомутативных колец уходят корнями в начало XIX века, однако их оформление произошло лишь в третьем десятилетии XX века. В частности, Уильям Роуэн Гамильтон предложил кватернионы и бикватернионы; Джеймс Кокль представил тессарины и кокватернионы; а Уильям Кингдон Клиффорд был сторонником расщеплённых бикватернионов, которые он назвал алгебраическими моторами. Эти некоммутативные алгебры, а также неассоциативные алгебры Ли, изучались в рамках универсальной алгебры до того, как эта область была разделена на отдельные типы математических структур. Одним из признаков реорганизации стало использование прямых сумм для описания алгебраических структур. Различные гиперкомплексные числа были отождествлены с матричными кольцами Джозефом Веддерберном (1908) и Эмилем Артином (1928). Теоремы о структуре Веддерберна были сформулированы для алгебр конечной размерности над полем, а Артин обобщил их на артиновы кольца. В 1920 году Эмми Нотер в соавторстве с В. Шмайдлером опубликовала работу о теории идеалов, в которой были введены понятия левого и правого идеала в кольце. В следующем году она опубликовала основополагающую работу под названием Idealtheorie in Ringbereichen, анализирующую условия восходящей цепи относительно (математических) идеалов. Известный алгебраист Ирвинг Каплански назвал эту работу «революционной»; публикация дала начало термину «нотеровское кольцо», а также привела к тому, что несколько других математических объектов стали называться нотеровыми.