Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық қатынас, көп айнымалы функцияның нөлге теңдігінен тұрады.
Mathematical relation consisting of a multi variable function equal to zero
Математикада, имплицитті теңдеу – R функциясы бірнеше айнымалыдан (көбінесе полиномнан) тұратын қатынас. Мысалы, бірлік шеңбердің имплицитті теңдеуі:
In mathematics, an implicit equation is a relation of the form where R is a function of several variables (often a polynomial). For example, the implicit equation of the unit circle is
Имплицитті функция – имплицитті теңдеумен анықталатын функция, ол функцияның мәні ретінде қарастырылатын бір айнымалыны, аргумент ретінде қарастырылатын басқа айнымалылармен байланыстырады. Мысалы, бірлік шеңбердің теңдеуі y-ді x-тің имплицитті функциясы ретінде анықтайды, егер −1 ≤ x ≤ 1 болса, ал y нөлден кем емес мәндермен шектеледі. Имплицитті функция теоремасы үздіксіз дифференциалданатын көп айнымалы функцияларды нөлге теңеу арқылы алынған имплицитті функцияларды анықтайтын, кейбір имплицитті теңдеулердің шарттарын қамтамасыз етеді.
An implicit function is a function that is defined by an implicit equation, that relates one of the variables, considered as the value of the function, with the others considered as the arguments. For example, the equation of the unit circle defines y as an implicit function of x if −1 ≤ x ≤ 1, and y is restricted to nonnegative values. The implicit function theorem provides conditions under which some kinds of implicit equations define implicit functions, namely those that are obtained by equating to zero multivariable functions that are continuously differentiable.
Кері функциялар
Кері функция – имплицитті функциялардың кең таралған түрі. Барлық функциялардың да бірегей кері функциясы бола бермейді. Егер g функциясы x-ке қатысты бірегей кері функцияға ие болса, онда g функциясының кері функциясы g⁻¹ деп аталады, және ол y арқылы x-тің теңдеуінің шешімін беретін бірегей функция болып табылады. Бұл шешімді былай жазуға болады:
A common type of implicit function is an inverse function. Not all functions have a unique inverse function. If g is a function of x that has a unique inverse, then the inverse function of g, called g^(−1), is the unique function giving a solution of the equation
g⁻¹(y) = x.
for x in terms of y. This solution can then be written as
g⁻¹ функциясын g функциясының керісі деп анықтау – имплицитті анықтама болып табылады. Кейбір g функциялары үшін g⁻¹(y) жабық түрдегі формула түрінде нақты жазылуы мүмкін, мысалы, егер 1 = g(x) = 2x − 1 болса, онда x = (y+1)/2. Алайда, мұндай жағдай көбінесе мүмкін болмайды немесе жаңа белгі енгізуді қажет етеді (төмендегі көбейтінді логарифмы мысалындағыдай). Интуитивті тұрғыдан алғанда, кері функция g функциясынан тәуелді және тәуелсіз айнымалылардың рөлдерін ауыстыру арқылы алынады. Мысал: Көбейтінді логарифмы – 1 = y − xeˣ = 0 теңдеуінің x үшін шешімін беретін имплицитті функция.
Defining g^(−1) as the inverse of g is an implicit definition. For some functions g, g^(−1)(y) can be written out explicitly as a closed form expression — for instance, if 1=g(x) = 2x − 1, then However, this is often not possible, or only by introducing a new notation (as in the product log example below). Intuitively, an inverse function is obtained from g by interchanging the roles of the dependent and independent variables. Example: The product log is an implicit function giving the solution for x of the equation 1=y − xe^(x) = 0.
Қақпақтар
Кез келген теңдеу 1=R(x, y) = 0 бірмәнді функцияның графигін білдірмейді, шеңбер теңдеуі осыған дәлел. Тағы бір мысал – 1=x − C(y) = 0 түрінде берілген имплицитті функция, мұнда C – графигінде дөңгелек бөлігі бар кубтық полином. Демек, имплицитті функция нағыз (бірмәнді) функция болуы үшін оның графигінің тек бір бөлігін пайдалану қажет болуы мүмкін. Имплицитті функция кейде x осінің белгілі бір бөлігін "ұлықтау" және қажетсіз функция тармақтарын "жою" арқылы ғана нағыз функция ретінде дұрыс анықталады. Содан кейін y-ді басқа айнымалылардың имплицитті функциясы ретінде көрсететін теңдеу жазылуы мүмкін. Анықтамалық теңдеу 1=R(x, y) = 0 басқа да патологиялық жағдайларға тап болуы мүмкін. Мысалы, 1=x = 0 теңдеуі y үшін шешім беретін f(x) функциясын білдірмейді; ол тік түзу. Мұндай мәселелерден аулақ болу үшін теңдеулердің рұқсат етілген түрлеріне немесе доменге түрлі шектеулер қойылады. Имплицитті функция теоремасы осы сияқты патологиялық жағдайларды шешудің біртұтас әдісін ұсынады.
Not every equation 1=R(x, y) = 0 implies a graph of a single valued function, the circle equation being one prominent example. Another example is an implicit function given by 1=x − C(y) = 0 where C is a cubic polynomial having a "hump" in its graph. Thus, for an implicit function to be a true (single valued) function it might be necessary to use just part of the graph. An implicit function can sometimes be successfully defined as a true function only after "zooming in" on some part of the x axis and "cutting away" some unwanted function branches. Then an equation expressing y as an implicit function of the other variables can be written. The defining equation 1=R(x, y) = 0 can also have other pathologies. For example, the equation 1=x = 0 does not imply a function f(x) giving solutions for y at all; it is a vertical line. In order to avoid a problem like this, various constraints are frequently imposed on the allowable sorts of equations or on the domain. The implicit function theorem provides a uniform way of handling these sorts of pathologies.
Жасанды дифференциация
Калькульде имплицитті дифференциация деп аталатын әдіс, шынжыр ережесін пайдаланып, имплицитті түрде анықталған функцияларды дифференциалауға мүмкіндік береді. 1=R(x, y) = 0 теңдеуімен анықталған y(x) имплицитті функциясын дифференциалау үшін, оны y-қа қатысты ашық түрде шешіп, содан кейін дифференциалау әдетте мүмкін емес. Оның орнына, 1=R(x, y) = 0 теңдеуін x және y-қа қатысты толық дифференциалдап, содан кейін алынған сызықтық теңдеуді шешу арқылы туындысын x және y арқылы ашық түрде алуға болады. Бастапқы теңдеуді ашық түрде шешуге мүмкіндік болған жағдайда да, толық дифференциация нәтижесінде алынған формула, көбінесе, әлдеқайда қарапайым және қолдануға ыңғайлы болады.
In calculus, a method called implicit differentiation makes use of the chain rule to differentiate implicitly defined functions. To differentiate an implicit function y(x), defined by an equation 1=R(x, y) = 0, it is not generally possible to solve it explicitly for y and then differentiate. Instead, one can totally differentiate 1=R(x, y) = 0 with respect to x and y and then solve the resulting linear equation for to explicitly get the derivative in terms of x and y. Even when it is possible to explicitly solve the original equation, the formula resulting from total differentiation is, in general, much simpler and easier to use.
Имплицитті функция теоремасы
R(x, y) екі айнымалының дифференциалданатын функциясы болсын, ал (a, b) – 1=R(a, b) = 0 шартын қанағаттандыратын нақты сандар жұбы болсын. Егер , онда 1=R(x, y) = 0 теңдеуі белгілі бір кішкентай аймақта дифференциалданатын жасырын функцияны анықтайды; яғни, a-ның жанындағы кейбір аймақта анықталған және дифференциалданатын f функциясы бар, онда осы аймақтағы x үшін 1=R(x, f(x)) = 0 теңдігі орындалады. шарты (a, b) нүктесінің 1=R(x, y) = 0 жасырын теңдеуінің жасырын қисығындағы тұрақты нүктесі екенін білдіреді, онда жанасу сызығы тік емес. Басқаша айтқанда, қисықта тік емес жанасу сызығы болса, жасырын функциялар бар және оларды дифференциалдауға болады.
Let R(x, y) be a differentiable function of two variables, and (a, b) be a pair of real numbers such that 1=R(a, b) = 0. If , then 1=R(x, y) = 0 defines an implicit function that is differentiable in some small enough neighbourhood of ; in other words, there is a differentiable function f that is defined and differentiable in some neighbourhood of a, such that 1=R(x, f(x)) = 0 for x in this neighbourhood. The condition means that (a, b) is a regular point of the implicit curve of implicit equation 1=R(x, y) = 0 where the tangent is not vertical. In a less technical language, implicit functions exist and can be differentiated, if the curve has a non vertical tangent.
Орналастырудың шекті мөлшерлемесі
Экономикада, егер 1=R(x, y) = 0 деңгейлік жиынтығы екі тауардың x және y мөлшерлеріне қатысты бей-жайлық қисығын көрсетсе, жасырын туындының абсолюттік шамасы осы екі тауардың шекті айырбастау қатынасы ретінде қарастырылады: x тауарының бір бірлігінен айырылудың орнын толтыру үшін y тауарының қаншалықты көп мөлшері қажет.
In economics, when the level set 1=R(x, y) = 0 is an indifference curve for the quantities x and y consumed of two goods, the absolute value of the implicit derivative is interpreted as the marginal rate of substitution of the two goods: how much more of y one must receive in order to be indifferent to a loss of one unit of x.
Техникалық алмастырудың шекті мөлшерлемесі
Сол сияқты, кейде R(L, K) деңгейлік жиынтығы – бұл еңбектің L және физикалық капиталдың K пайдаланылған мөлшерлерінің әр түрлі комбинацияларын көрсететін изоквант, олардың әрқайсысы белгілі бір тауардың берілген өнім мөлшерін өндіруге мүмкіндік береді. Бұл жағдайда, имплицитті туындының абсолютті мәні екі өндіріс факторы арасындағы техникалық алмастырудың шекті шамасы ретінде қарастырылады: фирма бір бірлік еңбекті кеміту арқылы сол көлемде өнім өндіру үшін қанша капитал жұмсауы керек.
Similarly, sometimes the level set R(L, K) is an isoquant showing various combinations of utilized quantities L of labor and K of physical capital each of which would result in the production of the same given quantity of output of some good. In this case the absolute value of the implicit derivative is interpreted as the marginal rate of technical substitution between the two factors of production: how much more capital the firm must use to produce the same amount of output with one less unit of labor.
Оңтайландыру
Көбінесе экономикалық теорияда, пайдалы функция немесе пайда функциясы сияқты кейбір функция, тіпті мақсатты функция белгілі бір функционалдық формамен шектелмесе де, таңдау векторы x-ке қатысты максимизацияланады. Имплицитті функция теоремасы, оптимизацияның бірінші реттік шарттары таңдау векторының оптималды векторы x* -тың әрбір элементі үшін имплицитті функцияны анықтайтынын кепілдейді. Пайданы максимизациялау кезінде, нәтижесінде пайда болатын имплицитті функциялар әдетте еңбекке сұраныс функциясы және әртүрлі тауарлардың ұсыныс функциялары болып табылады. Пайдалылықты максимизациялау кезінде, нәтижесінде пайда болатын имплицитті функциялар әдетте еңбек ұсыныс функциясы және әртүрлі тауарларға сұраныс функциялары болып табылады. Сонымен қатар, проблеманың параметрлерінің x* -қа әсері – имплицитті функцияның ішінара туындылары – толық дифференциалдау арқылы алынған бірінші реттік шарттар жүйесінің толық туындылары ретінде көрсетілуі мүмкін.
Often in economic theory, some function such as a utility function or a profit function is to be maximized with respect to a choice vector x even though the objective function has not been restricted to any specific functional form. The implicit function theorem guarantees that the first order conditions of the optimization define an implicit function for each element of the optimal vector x* of the choice vector x. When profit is being maximized, typically the resulting implicit functions are the labor demand function and the supply functions of various goods. When utility is being maximized, typically the resulting implicit functions are the labor supply function and the demand functions for various goods. Moreover, the influence of the problem's parameters on x* — the partial derivatives of the implicit function — can be expressed as total derivatives of the system of first order conditions found using total differentiation.