Введение

Математическое соотношение, состоящее из многомерной функции, равной нулю.

В математике неявное уравнение — это соотношение вида, где R — функция нескольких переменных (часто полином). Например, неявное уравнение единичной окружности имеет вид

Неявная функция — это функция, определяемая неявным уравнением, которое связывает одну из переменных, рассматриваемую как значение функции, с остальными, рассматриваемыми как аргументы. Например, уравнение единичной окружности определяет y как неявную функцию от x, если −1 ≤ x ≤ 1, и y ограничено неотрицательными значениями. Теорема о неявных функциях предоставляет условия, при которых некоторые виды неявных уравнений определяют неявные функции, а именно те, которые получаются приравниванием к нулю многомерных функций, непрерывно дифференцируемых.

Инверсные функции

Общим типом неявной функции является обратная функция. Не все функции имеют единственную обратную функцию. Если g – функция от x, имеющая единственную обратную, то обратная функция g, обозначаемая g⁻¹, является единственной функцией, дающей решение уравнения

для x через y. Это решение можно записать как

Определение g⁻¹ как обратной к g является неявным определением. Для некоторых функций g, g⁻¹(y) можно записать явно в виде аналитического выражения — например, если 1 = g(x) = 2x − 1, то Однако, это часто невозможно, или только путем введения новой нотации (как в примере с логарифмом произведения ниже). Интуитивно, обратная функция получается из g путем обмена ролями зависимой и независимой переменных. Пример: Логарифм произведения является неявной функцией, дающей решение для x уравнения 1 = y − xeˣ = 0.

Кавеат

Не каждое уравнение 1=R(x, y) = 0 задает график однозначной функции, и уравнение окружности является ярким примером этого. Другой пример – неявная функция, заданная уравнением 1=x − C(y) = 0, где C – кубический полином с "выпуклостью" на графике. Таким образом, для того чтобы неявная функция являлась истинной (однозначной) функцией, может потребоваться использовать лишь часть ее графика. Иногда неявную функцию можно успешно определить как истинную функцию только после "приближения" к некоторому участку оси x и "отсечения" нежелательных ветвей. Тогда можно записать уравнение, выражающее y как неявную функцию от других переменных. Определяющее уравнение 1=R(x, y) = 0 может также иметь и другие особенности. Например, уравнение 1=x = 0 вообще не определяет функцию f(x), дающую решения для y; это вертикальная прямая. Чтобы избежать подобных проблем, часто накладываются различные ограничения на допустимые типы уравнений или на область определения. Теорема о неявных функциях предоставляет единый способ обработки подобных особенностей.

Неявная дифференциация

В математическом анализе метод, называемый неявным дифференцированием, использует правило цепочки для дифференцирования функций, заданных неявно. Чтобы продифференцировать неявную функцию y(x), заданную уравнением R(x, y) = 0, как правило, невозможно выразить y явно и затем продифференцировать. Вместо этого можно полностью дифференцировать уравнение R(x, y) = 0 по x и y, а затем решить полученное линейное уравнение относительно производной, чтобы явно выразить ее через x и y. Даже если исходное уравнение можно решить явно, формула, полученная в результате полного дифференцирования, обычно значительно проще и удобнее в использовании.

Теорема о имплицитной функции

Пусть R(x, y) — дифференцируемая функция двух переменных, а (a, b) — пара действительных чисел, такая что 1=R(a, b) = 0. Если , то 1=R(x, y) = 0 определяет неявную функцию, которая дифференцируема в некоторой достаточно малой окрестности ; другими словами, существует дифференцируемая функция f, которая определена и дифференцируема в некоторой окрестности a, такая что 1=R(x, f(x)) = 0 для x в этой окрестности. Условие означает, что (a, b) является регулярной точкой неявной кривой, заданной неявным уравнением 1=R(x, y) = 0, где касательная не вертикальна. Говоря менее техническим языком, неявные функции существуют и могут быть дифференцированы, если кривая имеет невертикальную касательную.

Маргинальная ставка замещения

В экономике, если множество уровней, заданное уравнением 1=R(x, y) = 0, является кривой безразличия для объемов потребляемых товаров x и y, абсолютное значение неявной производной интерпретируется как предельная норма замещения этих товаров: насколько больше y необходимо получить, чтобы остаться безразличным к потере одной единицы x.

Маргинальный уровень технической замены

Аналогичным образом, иногда набор уровней R(L, K) представляет собой изокванту, показывающую различные комбинации используемых объемов труда L и физического капитала K, каждая из которых приведет к производству одного и того же заданного объема выпуска определенного товара. В этом случае абсолютное значение неявной производной интерпретируется как предельная норма технологического замещения между двумя факторами производства: на сколько единиц капитала фирме необходимо увеличить использование, чтобы произвести тот же объем выпуска при уменьшении использования труда на одну единицу.

Оптимизация

Часто в экономической теории некоторую функцию, такую как функция полезности или функция прибыли, требуется максимизировать по отношению к вектору выбора x, даже если целевая функция не ограничена какой-либо конкретной функциональной формой. Теорема о неявных функциях гарантирует, что условия первого порядка оптимизации определяют неявную функцию для каждого элемента оптимального вектора x* вектора выбора x. При максимизации прибыли, результирующими неявными функциями обычно являются функция спроса на труд и функции предложения различных товаров. При максимизации полезности, результирующими неявными функциями обычно являются функция предложения труда и функции спроса на различные товары. Более того, влияние параметров задачи на x* – частные производные неявной функции – можно выразить как полные производные системы условий первого порядка, полученные с помощью полного дифференцирования.