Кіріспе
Екінші дәрежелі барлық мүшелері бар полином. Статистикада қолданылуы. Математикада, квадраттық форма – бұл барлық мүшелері екінші дәрежелі полином ("форма" – гомогенді полиномның тағы бір атауы). Мысалы, x және y айнымалыларындағы квадраттық форма осылай көрінеді. Коэффициенттер әдетте нақты немесе кешенді сандар сияқты K белгілі бір өрісіне жатады, және K үстіндегі квадраттық форма туралы айтылады. Егер K = 'R' және квадраттық форма барлық айнымалылар бірдей нөлге тең болғанда ғана нөлге тең болса, онда ол анықталған квадраттық форма; әйтпесе, ол изотроптық квадраттық форма болады. Квадраттық формалар математиканың сан теориясы, сызықтық алгебра, топтар теориясы (ортогоналды топтар), дифференциалдық геометрия (Риманн метрикасы, екінші түбірлік форма), дифференциалдық топология (көптеген түрлердің қиылысу формалары, әсіресе төрт түрліліктер), Ли теориясы (Киллинг формасы) және статистика (бір орташасы нөлдік көпөлшемді нормальды таралымның көрсеткіші квадраттық форма түрінде болады) сияқты әртүрлі салаларында маңызды орын алады.
the usage in statistics
In mathematics, a quadratic form is a polynomial with terms all of degree two ("form" is another name for a homogeneous polynomial). For example,
is a quadratic form in the variables x and y. The coefficients usually belong to a fixed field K, such as the real or complex numbers, and one speaks of a quadratic form over K. If 1=K = 'R', and the quadratic form equals zero only when all variables are simultaneously zero, then it is a definite quadratic form; otherwise it is an isotropic quadratic form. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, group theory (orthogonal groups), differential geometry (the Riemannian metric, the second fundamental form), differential topology (intersection forms of manifolds, especially four manifolds), Lie theory (the Killing form), and statistics (where the exponent of a zero mean multivariate normal distribution has the quadratic form )
Quadratic forms are not to be confused with a quadratic equation, which has only one variable and includes terms of degree two or less. A quadratic form is one case of the more general concept of homogeneous polynomials.
Квадраттық форманы тек бір айнымалысы бар және екінші дәрежелі немесе одан төменгі дәрежелі мүшелерді қамтитын квадраттық теңдеумен шатастырмау керек. Квадраттық форма – гомогенді полиномдардың жалпы түсінігінің бір жағдайы болып табылады.
the usage in statistics
In mathematics, a quadratic form is a polynomial with terms all of degree two ("form" is another name for a homogeneous polynomial). For example,
is a quadratic form in the variables x and y. The coefficients usually belong to a fixed field K, such as the real or complex numbers, and one speaks of a quadratic form over K. If 1=K = 'R', and the quadratic form equals zero only when all variables are simultaneously zero, then it is a definite quadratic form; otherwise it is an isotropic quadratic form. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, group theory (orthogonal groups), differential geometry (the Riemannian metric, the second fundamental form), differential topology (intersection forms of manifolds, especially four manifolds), Lie theory (the Killing form), and statistics (where the exponent of a zero mean multivariate normal distribution has the quadratic form )
Quadratic forms are not to be confused with a quadratic equation, which has only one variable and includes terms of degree two or less. A quadratic form is one case of the more general concept of homogeneous polynomials.
Кіріспе
Квадраттық формалар — n айнымалыдағы гомогенді квадраттық көптік. Бір, екі және үш айнымалылар жағдайында олар униарлық, бинарлық және тринарлық деп аталады және мынадай нақты түрге ие:
мұнда a, , f — коэффициенттер. Квадраттық формалар теориясы және оларды зерттеуде қолданылатын әдістер коэффициенттердің табиғатына көп жағдайда байланысты, олар нақты немесе кешенді сандар, рационалды сандар немесе бүтін сандар болуы мүмкін. Сызықтық алгебрада, аналитикалық геометрияда және квадраттық формалардың көпшілік қолданбаларында коэффициенттер нақты немесе кешенді сандар болып табылады. Квадраттық формалардың алгебралық теориясында коэффициенттер белгілі бір өрістің элементтері болып табылады. Квадраттық формалардың арифметикалық теориясында коэффициенттер тұрақты коммутативтік сақинаға жатады, көбінесе "Z" бүтін сандары немесе "Z"p p-адық бүтін сандары. Бинарлық квадраттық формалар сандар теориясында, атап айтқанда, квадраттық өрістер теориясында, үздіксіз бөлшектер мен модульдік формаларда кеңінен зерттелген. n айнымалыдағы интегралды квадраттық формалар теориясының алгебралық топологияда маңызды қолданылуы бар. Гомогенді координаттарды пайдаланып, n айнымалыдағы нөлдік емес квадраттық форма (n - 1) өлшемді проективті кеңістікте (n - 2) өлшемді квадриканы анықтайды. Бұл проективті геометрияның негізгі құрылысы. Осылайша, 3 өлшемді нақты квадраттық формаларды конус қималары ретінде елестетуге болады. Мысалы, үш өлшемді Евклид кеңістігі және координаталары (x, y, z) бар нүкте мен бастапқы нүкте арасындағы қашықтықты білдіретін Евклид нормасының квадраты:
Геометриялық көріністермен тығыз байланысты ұғым — квадраттық кеңістік, бұл жұп (V, q), мұнда V — K өрісі бойынша векторлық кеңістік, ал q : V → K — V-дегі квадраттық форма. Векторлық кеңістікте квадраттық форманың анықтамасы үшін төмендегіні қараңыз.
Тарих
Квадраттық формаларды зерттеу, әсіресе берілген бүтін санның бүтін сандар бойынша квадраттық форманың мәні бола ала ма деген сұрақ, көп ғасырларға созылады. Мұндай жағдайдың бір мысалы – Ферманың екі квадраттың қосындысы туралы теоремасы, ол x^(2) + y^(2) түріндегі бүтін санды қашан өрнектеуге болатынын анықтайды, мұнда x және y – бүтін сандар. Бұл мәселе б.з.д. екінші мыңжылдықта пайда болған Пифагор үштіктерін табу мәселесімен байланысты. 628 жылы үнді математигі Брахмагупта «Брахмафутсасиддханта» атты еңбегін жазды, онда көптеген басқа да мәселелермен қатар 1=x^(2) − ny^(2) = c түріндегі теңдеулерді зерттеді. Ол қазір Пель теңдеуі деп аталатын 1=x^(2) − ny^(2) = 1 теңдеуін қарастырды және оны шешудің әдісін тапты. Еуропада бұл мәселені Брункер, Эйлер және Лагранж зерттеді. 1801 жылы Гаусс «Disquisitiones Arithmeticae» еңбегін жариялады, оның маңызды бөлігі бүтін сандардағы екілік квадраттық формалардың толық теориясына арналған. Содан бері бұл ұғым жалпыланды, ал квадраттық сан өрістерімен, модульдік топпен және математиканың басқа салаларымен байланыстары одан әрі анықталды.
Геометриялық мағынасы
Картезиандық координаттарды үш өлшемде пайдаланып, 1 = 'x' = (x, y, z)^(T) деп белгілейік, ал A – симметриялық 3x3 матрица болсын. Онда 1 = 'x'^(T)A'x' + 'b'^(T)'x' = 1 теңдеуінің шешімдер жиынтығының геометриялық сипаты A матрицасының өзіндік мәндеріне байланысты. Егер A-ның барлық өзіндік мәндері нөлден өзгеше болса, онда шешімдер жиынтығы эллипсоид немесе гиперболоид болады. Егер барлық өзіндік мәндері оң болса, онда ол эллипсоид; егер барлық өзіндік мәндері теріс болса, онда ол жорамал эллипсоид (біз эллипсоид теңдеуін аламыз, бірақ жорамал радиустармен); егер кейбір өзіндік мәндері оң, ал кейбіреулері теріс болса, онда ол гиперболоид. Егер бір немесе бірнеше өзіндік мәндер 1 = λi = 0 болса, онда пішін сәйкес bi-ге байланысты. Егер сәйкес bi ≠ 0 болса, онда шешімдер жиынтығы параболоид (эллипстік немесе гиперболалық) болады; егер сәйкес 1 = bi = 0 болса, онда i-ші өлшем дегенерацияланады және ескерілмейді, ал геометриялық мағынасы басқа өзіндік мәндермен және 'b' векторының басқа компоненттерімен анықталады. Шешімдер жиынтығы параболоид болған жағдайда, оның эллипстік немесе гиперболалық болуы басқа нөлдік емес өзіндік мәндердің бірдей таңбаға ие болуымен анықталады: егер олар бірдей таңбаға ие болса, онда ол эллипстік; әйтпесе, ол гиперболалық.
Квадраттық интегралдар
Бүкіл сандар сақинасындағы квадраттық нысандар интегралды квадраттық нысандар деп аталады, ал сәйкес модульдер квадраттық торлар (кейде жай ғана торлар) болып табылады. Олар сан теориясы және топологияда маңызды рөл атқарады. Интегралды квадраттық нысандардың коэффициенттері бүтін сандардан тұрады, мысалы, x^(2) + xy + y^(2); балама түрінде, егер Λ – нөлдік сипаттамасы бар өріс үстіндегі (мысалы, 'Q' немесе 'R') векторлық кеңістіктегі тор болса, онда Q квадраттық нысаны Λ-ға қатысты интегралды болады, егер және тек қана ол Λ-дағы бүтін мәнді қабылдаса, яғни x, y ∈ Λ болғанда Q(x, y) ∈ 'Z' болады. Бұл терминнің қазіргі қолданылуы; бұрын ол кейде төменде сипатталғандай, басқаша қолданылған.
Жалпыға бірдей квадраттық нысандар
Суреті барлық оң бүтін сандардан тұратын интегралды квадраттық форма кейде универсалды деп аталады. Лагранждың төрт квадрат теоремасы w² + x² + y² + z² универсалды екенін көрсетеді. Раманужан бұл форманы aw² + bx² + cy² + dz² түрінде жалпылап, әрқайсысы барлық оң бүтін сандарды тудыра алатын 54 көп жиынтықты тапты, атап айтқанда,
Суреті бір оң бүтін саннан басқа барлық оң бүтін сандардан тұратын формалар да бар. Мысалы, 15 саны ерекшелік ретінде болады. Жақында 15 және 290 теоремалары универсалды интегралды квадраттық формаларды толық сипаттады: егер барлық коэффициенттері бүтін сандар болса, онда ол барлық оң бүтін сандарды бейнелейді, егер ол 290-ға дейінгі барлық бүтін сандарды бейнелесе ғана; егер оның интегралды матрицасы болса, ол барлық оң бүтін сандарды бейнелейді, егер ол 15-ке дейінгі барлық бүтін сандарды бейнелесе ғана.