Введение
Полином, все члены которого имеют вторую степень, применение в статистике. В математике квадратичная форма — это полином, все члены которого имеют вторую степень ("форма" — другое название для однородного полинома). Например, это квадратичная форма переменных x и y. Коэффициенты обычно принадлежат фиксированному полю K, такому как действительные или комплексные числа, и говорят о квадратичной форме над K. Если K = ℝ, и квадратичная форма равна нулю только тогда, когда все переменные одновременно равны нулю, то это положительно определённая квадратичная форма; в противном случае это изотропная квадратичная форма. Квадратичные формы занимают центральное место в различных областях математики, включая теорию чисел, линейную алгебру, теорию групп (ортогональные группы), дифференциальную геометрию (риманову метрику, вторую фундаментальную форму), дифференциальную топологию (формы пересечения многообразий, особенно четырёхмерных многообразий), теорию Ли (форму Киллинга) и статистику (где показатель экспоненты многомерного нормального распределения с нулевым средним имеет вид квадратичной формы).
the usage in statistics
In mathematics, a quadratic form is a polynomial with terms all of degree two ("form" is another name for a homogeneous polynomial). For example,
is a quadratic form in the variables x and y. The coefficients usually belong to a fixed field K, such as the real or complex numbers, and one speaks of a quadratic form over K. If 1=K = 'R', and the quadratic form equals zero only when all variables are simultaneously zero, then it is a definite quadratic form; otherwise it is an isotropic quadratic form. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, group theory (orthogonal groups), differential geometry (the Riemannian metric, the second fundamental form), differential topology (intersection forms of manifolds, especially four manifolds), Lie theory (the Killing form), and statistics (where the exponent of a zero mean multivariate normal distribution has the quadratic form )
Quadratic forms are not to be confused with a quadratic equation, which has only one variable and includes terms of degree two or less. A quadratic form is one case of the more general concept of homogeneous polynomials.
Квадратичные формы не следует путать с квадратным уравнением, которое содержит только одну переменную и включает члены второй степени или ниже. Квадратичная форма является частным случаем более общего понятия однородных многочленов.
the usage in statistics
In mathematics, a quadratic form is a polynomial with terms all of degree two ("form" is another name for a homogeneous polynomial). For example,
is a quadratic form in the variables x and y. The coefficients usually belong to a fixed field K, such as the real or complex numbers, and one speaks of a quadratic form over K. If 1=K = 'R', and the quadratic form equals zero only when all variables are simultaneously zero, then it is a definite quadratic form; otherwise it is an isotropic quadratic form. Quadratic forms occupy a central place in various branches of mathematics, including number theory, linear algebra, group theory (orthogonal groups), differential geometry (the Riemannian metric, the second fundamental form), differential topology (intersection forms of manifolds, especially four manifolds), Lie theory (the Killing form), and statistics (where the exponent of a zero mean multivariate normal distribution has the quadratic form )
Quadratic forms are not to be confused with a quadratic equation, which has only one variable and includes terms of degree two or less. A quadratic form is one case of the more general concept of homogeneous polynomials.
Введение
Квадратные формы — это однородные квадратные полиномы от n переменных. В случаях одной, двух и трёх переменных они называются униарными, бинарными и тернарными и имеют следующий вид: где a, , f — коэффициенты. Теория квадратных форм и методы, используемые в их изучении, в значительной степени зависят от природы коэффициентов, которые могут быть действительными или комплексными числами, рациональными числами или целыми числами. В линейной алгебре, аналитической геометрии и в большинстве приложений квадратичных форм коэффициенты являются действительными или комплексными числами. В алгебраической теории квадратичных форм коэффициенты являются элементами определённого поля. В арифметической теории квадратичных форм коэффициенты принадлежат фиксированному коммутативному кольцу, часто целым числам Z или p-адическим целым числам Zp. Бинарные квадратичные формы были широко изучены в теории чисел, в частности, в теории квадратичных полей, цепных дробей и модулярных форм. Теория интегральных квадратичных форм в n переменных имеет важное применение в алгебраической топологии. Используя однородные координаты, ненулевая квадратичная форма в n переменных определяет (n − 2)-мерную квадратику в (n − 1)-мерном проективном пространстве. Это базовая конструкция в проективной геометрии. Таким образом, можно визуализировать трёхмерные действительные квадратичные формы как конические сечения. Примером служит трёхмерное евклидово пространство и квадрат евклидовой нормы, выражающий расстояние между точкой с координатами (x, y, z) и началом координат: Тесно связанное понятие с геометрическим смыслом — это квадратичное пространство, которое представляет собой пару (V, q), где V — векторное пространство над полем K, а q : V → K — квадратичная форма на V. См. ниже определение квадратичной формы на векторном пространстве.
where a, , f are the coefficients. The theory of quadratic forms and methods used in their study depend in a large measure on the nature of the coefficients, which may be real or complex numbers, rational numbers, or integers. In linear algebra, analytic geometry, and in the majority of applications of quadratic forms, the coefficients are real or complex numbers. In the algebraic theory of quadratic forms, the coefficients are elements of a certain field. In the arithmetic theory of quadratic forms, the coefficients belong to a fixed commutative ring, frequently the integers 'Z' or the p adic integers 'Z'p. Binary quadratic forms have been extensively studied in number theory, in particular, in the theory of quadratic fields, continued fractions, and modular forms. The theory of integral quadratic forms in n variables has important applications to algebraic topology. Using homogeneous coordinates, a non zero quadratic form in n variables defines an (n − 2) dimensional quadric in the (n − 1) dimensional projective space. This is a basic construction in projective geometry. In this way one may visualize 3 dimensional real quadratic forms as conic sections. An example is given by the three dimensional Euclidean space and the square of the Euclidean norm expressing the distance between a point with coordinates (x, y, z) and the origin:
A closely related notion with geometric overtones is a quadratic space, which is a pair (V, q), with V a vector space over a field K, and q : V → K a quadratic form on V. See below for the definition of a quadratic form on a vector space.
История
Изучение квадратных форм, в частности вопрос о том, может ли заданное целое число являться значением квадратной формы над целыми числами, уходит корнями в многие века. Одним из примеров является теорема Ферма о сумме двух квадратов, которая определяет, при каких условиях целое число может быть представлено в виде x² + y², где x и y – целые числа. Эта проблема связана с задачей поиска пифагоровых троек, возникшей во втором тысячелетии до нашей эры. В 628 году индийский математик Брахмагупта написал «Брахмасфутасиддханта», который, помимо прочего, содержит исследование уравнений вида 1 = x² − ny² = c. Он рассматривал то, что сейчас называется уравнением Пелля, 1 = x² − ny² = 1, и нашёл метод его решения. В Европе эту проблему изучали Брункер, Эйлер и Лагранж. В 1801 году Гаусс опубликовал «Disquisitiones Arithmeticae», значительная часть которой была посвящена полной теории бинарных квадратных форм над целыми числами. С тех пор эта концепция была обобщена, а связи с полями квадратичных чисел, модульной группой и другими областями математики были более детально изучены.
Геометрическое значение
Используя декартовы координаты в трех измерениях, обозначим 1 = 'x' = (x, y, z)^(T), и пусть A – симметричная матрица 3x3. Тогда геометрическая природа множества решений уравнения 1 = 'x'^(T)A'x' + 'b'^(T)'x' = 1 зависит от собственных значений матрицы A. Если все собственные значения A ненулевые, то множество решений представляет собой эллипсоид или гиперболоид. Если все собственные значения положительны, то это эллипсоид; если все собственные значения отрицательны, то это мнимый эллипсоид (получается уравнение эллипсоида с мнимыми радиусами); если некоторые собственные значения положительны, а некоторые отрицательны, то это гиперболоид. Если существует одно или несколько собственных значений 1 = λi = 0, то форма зависит от соответствующего bi. Если соответствующее bi ≠ 0, то множество решений является параболоидом (эллиптическим или гиперболическим); если соответствующее 1 = bi = 0, то координата i вырождается и не играет роли, а геометрический смысл определяется другими собственными значениями и другими компонентами 'b'. Когда множество решений является параболоидом, то, является ли он эллиптическим или гиперболическим, определяется знаком всех остальных ненулевых собственных значений: если они все одного знака, то это эллиптический параболоид; в противном случае – гиперболический.
Формы интегральных квадратов
Квадратные формы над кольцом целых чисел называются интегральными квадратичными формами, а соответствующие модули — квадратными решетками (иногда просто решетками). Они играют важную роль в теории чисел и топологии. Интегральная квадратичная форма имеет целочисленные коэффициенты, например, x² + xy + y². Эквивалентно, для решетки Λ в векторном пространстве V (над полем характеристики 0, таким как Q или R), квадратичная форма Q является интегральной относительно Λ тогда и только тогда, когда она принимает целые значения на Λ, то есть Q(x, y) ∈ Z, если x, y ∈ Λ. Это современное употребление термина; в прошлом он иногда использовался иначе, как описано ниже.
Универсальные квадратные формы
Интегральная квадратная форма, образ которой состоит из всех положительных целых чисел, иногда называется универсальной. Теорема Лагранжа о четырех квадратах показывает, что w² + x² + y² + z² является универсальной. Рамануджан обобщил это до aw² + bx² + cy² + dz² и нашёл 54 набора, каждый из которых может порождать все положительные целые числа, а именно,
Существуют также формы, образ которых состоит из всех положительных целых чисел, кроме одного. Например, для неё число 15 является исключением. Недавно теоремы о числах 15 и 290 полностью охарактеризовали универсальные интегральные квадратные формы: если все коэффициенты – целые числа, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 290 включительно; если она задана интегральной матрицей, то она представляет все положительные целые числа тогда и только тогда, когда она представляет все целые числа до 15 включительно.