Кіріспе

Әрбір элементтің кері бейнесі бар функция (математика)

Математикада, сюръективті функция (сондай-ақ, суръекция немесе «үстіне» функция /ɒnˈtuː/) – бұл f функциясы, онда функцияның кодоменасының әрбір y элементі үшін функцияның доменінде кем дегенде бір x элементі болады. Басқаша айтқанда, f : X → Y функциясы үшін кодомена Y, функцияның домені X-тің бейнесі болып табылады. x элементінің бірегей болуы міндетті емес; f функциясы X-тің бір немесе бірнеше элементтерін Y-тің бірдей элементіне бейнелей алады. Сюръективті терминін, сондай-ақ инъективті және биективті терминдерін негізінен француздық 20-ғасыр математиктерінің тобы – Николя Бурбаки енгізді. Олар осы псевдониммен 1935 жылдан бастап қазіргі заманғы жоғары математиканы баяндайтын кітаптар сериясын жазды. Француз сөзі sur – «үстінен» немесе «жоғарыда» деген мағынаны білдіреді және сюръективті функцияның доменінің бейнесі функцияның кодоменасын толығымен жабады деген фактісімен байланысты. Кез келген функция өз кодоменасын доменінің бейнесімен шектеу арқылы суръекция тудырады. Таңдау аксиомасын қабылдағанда, әрбір сюръективті функцияда оң кері функция болады, ал оң кері функциясы бар әрбір функция міндетті түрде суръекция болып табылады. Сюръективті функциялардың композициясы әрқашан сюръективті болады. Кез келген функцияны суръекция мен инъекцияға бөлуге болады.

Қасиеттері

Функция егер және тек егер ол сюръективті және инъективті болса, биективті болады. Егер (көп жағдайда істелетіндей) функция өзінің графигімен сәйкестендірілсе, онда сюръективтілік функцияның өзіне тән қасиет емес, оның кері байланысына тән қасиет. Яғни, функция және оның мақсатты жиыны бірге. Инъективтіліктен өзгеше, сюръективтілікті функцияның графигінен ғана анықтау мүмкін емес.

Оң жаққа кері айналатын функциялар ретінде сюржеттер

g: Y → X функциясы, егер f(g(y)) = y Y-дегі барлық y үшін болса, f: X → Y функциясының оң керісі деп аталады (f функциясы g функциясын кері қайтара алады). Басқаша айтқанда, g функциясы f функциясының оң керісі болады, егер g және f функцияларының g-дан кейін f ретімен құрастырылуы (f o g), g функциясының анықталу облысы Y-де сәйкестік функциясы болса. g функциясы f функциясының толық керісі болуы міндетті емес, себебі кері реттегі құрастырылу, яғни g o f, f функциясының анықталу облысы X-те сәйкестік функциясы болмауы мүмкін. Басқаша айтқанда, f функциясы g функциясын жоя алады немесе "кері қайтарады", бірақ g функциясы f функциясын кері қайтара алмайды. Оң керісі бар кез келген функция міндетті түрде сюръективті болады. Кез келген сюръективті функцияның оң керісі бар деген тұжырым, таңдау аксиомасына эквивалентті. Егер f: X → Y сюръективті болса және B, Y жиынының ішкі жиыны болса, онда f(f⁻¹(B)) = B. Осылайша, B жиынын оның кері бейнесі f⁻¹(B) арқылы қалпына келтіруге болады. Мысалы, галереядағы бірінші иллюстрацияда g(C) = 4 болатын g функциясы бар. Сондай-ақ, f(4) = C болатын f функциясы да бар. g функциясы бірегей болмауы маңызды емес (егер g(C) 3-ке тең болса да жарайды); маңыздысы – f функциясы g функциясын "кері қайтарады".

Эпиморфизмдер ретінде сюржеттер

Егер және тек қана егер ол оңнан қысқартылатын болса, онда f: X → Y функциясы сюръективті болады: егер g, h: Y → Z функциялары берілген болса, g o f = h o f болса, онда g = h. Бұл қасиет функциялар мен олардың композициясы тұрғысынан тұжырымдалады және категорияның морфизмдері мен олардың композициясының көбірек жалпылама түсінігіне таратылуы мүмкін. Оңнан қысқартылатын морфизмдер эпиморфизмдер деп аталады. Нақтырақ айтқанда, сюръективті функциялар жиындар санатындағы эпиморфизмдер болып табылады. "Эпи" префиксі грек тіліндегі ἐπί сөзінен шыққан, ол "үстінде", "жоғарыда", "үстінде" деген мағына береді. Оң жақты керісі бар кез келген морфизм эпиморфизм болып табылады, бірақ керісі жалпы жағдайда дұрыс емес. Морфизмнің оң жақты керісі оның қимасы деп аталады. Оң жақты керісі бар морфизм бөлінген эпиморфизм деп аталады.

Бинарлық қатынастар ретінде сюржеттер

X домені мен Y кодомені бар кез келген функцияны оның функция графигімен сәйкестендіру арқылы X және Y арасындағы сол жағынан толық және оң жағынан бірегей екілік қатынас ретінде қарастыруға болады. X домені мен Y кодомені бар сюръективті функция, X пен Y арасындағы оң жағынан бірегей және сол жағынан да, оң жағынан да толық екілік қатынас болып табылады.

Сурьекцияның доменінің кардиналдылығы

Сүръективті функцияның доменінің кардиналдығы оның кодоменінің кардиналдығынан үлкен немесе тең болады: Егер f : X → Y сүръективті функция болса, онда X, Y-дан кем емес элементтерге ие, кардиналдық сандар тұрғысынан алғанда. (Дәлелдеме таңдау аксиомасына сүйенеді, барлық y ∈ Y үшін f(g(y)) = y шартын қанағаттандыратын g : Y → X функциясының бар екенін көрсету үшін. g инъективті екені оңай көрінеді, демек |Y| ≤ |X| формальды анықтамасы орындалады.) Атап айтқанда, егер X және Y екі жиын шекті болса және бірдей элементтер санына ие болса, онда f : X → Y сүръективті болса және тек қана f инъективті болса ғана орындалады. Екі жиын X және Y берілген жағдайда, X ≤* Y белгісі X бос жиын екенін немесе Y-ден X-ке сүръекция бар екенін білдіреді. Таңдау аксиомасын қолдану арқылы X ≤* Y және Y ≤* X бірге берілгенде |Y| = |X| екенін көрсетуге болады, бұл Шрёдер-Бернштейн теоремасының бір түрі.

Құрамы мен ыдырау

Суръективті функциялардың композициясы әрқашан суръективті болады: егер f және g екеуі де суръективті болса, және g кодоменасы f доменімен сәйкес келсе, онда f o g суръективті болады. Керісінше, егер f o g суръективті болса, онда f суръективті (бірақ g, бірінші қолданылған функция, міндетті түрде суръективті болуы керек емес). Бұл қасиеттер жиындар санатындағы суръекциялардан кез келген санаттағы кез келген эпиморфизмдерге жалпыланады. Кез келген функцияны суръекция мен инъекцияға жіктеуге болады: кез келген h: X → Z функциясы үшін, h = g o f болатындай суръективті f: X → Y және инъективті g: Y → Z функциялары бар. Мұны көрсету үшін, Y-ті h−1(z) жиыны ретінде анықтайық, мұнда z h(X)-ке жатады. Бұл кері бейнелер бір-бірінен бөлек және X-ті бөліп жатады. Содан кейін f әр x-ті оны қамтитын Y элементіне бейнелейді, ал g Y-тің әр элементін h оның нүктелерін жіберген Z нүктесіне бейнелейді. Осылайша, f проекциялық бейнелеу болғандықтан суръективті, ал g анықтама бойынша инъективті болады.

Индукцияланған сюржекция және индукцияланған биекция

Кез келген функция кодоменін өзінің мәндер жиынына шектеу арқылы сюржекцияны тудырады. Кез келген сюржективті функция берілген тұрақты бейнеге сәйкес келетін барлық аргументтерді біріктіру арқылы өзінің доменінің бөлігінде анықталған биекцияны тудырады. Нақтырақ айтқанда, кез келген f: A → B сюржекциясын проекцияға жіктеуге болады, содан кейін келесідей биекцияға: A/~, келесі эквиваленттілік қатынасы бойынша A-ның эквиваленттілік кластары болсын: x ~ y осы шарт орындалғанда ғана f(x) = f(y). Басқаша айтқанда, A/~ – f астындағы барлық кері бейнелердің жиыны. P(~) : A → A/~ проекциялық бейнелеу болсын, ол A-дағы әр x-ті оның эквиваленттілік класына [x]~ дейін бейнелейді, ал fP: A/~ → B функциясы fP([x]~) = f(x) арқылы анықталады және жақсы анықталған. Онда f = fP o P(~).

Суржекциялар жиынтығы

А және В берілген болса, А-дан В-ға сюръекциялар жиынын құруға болады. Бұл жиынның кардиналдығы Ротаның он екі жолының он екінші аспектісі болып табылады және оны , екінші түрдегі Стерлинг санымен белгілейді.