Введение

Кривая, определяемая нулями полиномов

В математике аффинная алгебраическая плоская кривая — это множество нулей полинома от двух переменных. Проективная алгебраическая плоская кривая — это множество нулей однородного многочлена от трех переменных в проективной плоскости. Аффинную алгебраическую плоскую кривую можно дополнить до проективной алгебраической плоской кривой, гомогенизируя её определяющий многочлен. Обратно, проективную алгебраическую плоскую кривую, заданную однородным уравнением h(x, y, t) = 0, можно ограничить до аффинной алгебраической плоской кривой, задаваемой уравнением h(x, y, 1) = 0. Эти две операции являются взаимно обратными; поэтому фраза «алгебраическая плоская кривая» часто используется без явного указания, рассматривается ли аффинный или проективный случай. Если определяющий многочлен плоской алгебраической кривой является неприводимым, то мы имеем неприводимую плоскую алгебраическую кривую. В противном случае алгебраическая кривая является объединением одной или нескольких неприводимых кривых, называемых её компонентами, которые определяются неприводимыми множителями. В более общем смысле, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности один. (В некоторых контекстах алгебраическое множество размерности один также называют алгебраической кривой, но в данной статье это не будет так.) Эквивалентно, алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие, бирационально эквивалентное неприводимой алгебраической плоской кривой. Если кривая содержится в аффинном или проективном пространстве, можно взять проекцию для установления такой бирациональной эквивалентности. Эти бирациональные эквивалентности сводят большую часть изучения алгебраических кривых к изучению алгебраических плоских кривых. Однако некоторые свойства не сохраняются при бирациональной эквивалентности и должны изучаться на не плоских кривых. Это, в частности, относится к степени и гладкости. Например, существуют гладкие кривые рода 0 и степени, большей двух, но любая плоская проекция таких кривых имеет особые точки (см. формулу рода и степени). Неплоскую кривую часто называют пространственной кривой или кривой изгиба.

В евклидовой геометрии

Алгебраическая кривая в евклидовой плоскости представляет собой множество точек, координаты которых являются решениями бивариантного полиномиального уравнения p(x, y) = 0. Это уравнение часто называют неявным уравнением кривой, в отличие от кривых, являющихся графиком функции, явно определяющей y как функцию от x. Для кривой, заданной таким неявным уравнением, первостепенными задачами являются определение формы кривой и её построение. Эти задачи не так просты в решении, как в случае с графиком функции, для которой y можно легко вычислить для различных значений x. Тот факт, что определяющее уравнение является полиномом, подразумевает, что кривая обладает некоторыми структурными свойствами, которые могут помочь в решении этих задач. Каждую алгебраическую кривую можно однозначно разложить на конечное число гладких монотонных дуг (также называемых ветвями), иногда соединенных отдельными точками, иногда называемыми "особыми точками", и, возможно, конечное число изолированных точек, называемых узлами. Гладкая монотонная дуга — это график гладкой функции, которая определена и монотонна на открытом интервале оси x. В каждом направлении дуга либо неограничена (обычно называемая бесконечной дугой), либо имеет конечную точку, которая является либо особой точкой (которая будет определена ниже), либо точкой с касательной, параллельной одной из координатных осей. Например, для кубики Чирнхаузена существуют две бесконечные дуги, имеющие начало координат (0,0) в качестве конечной точки. Эта точка — единственная особая точка кривой. Также существуют две дуги, имеющие эту особую точку в качестве одной конечной точки и вторую конечную точку с горизонтальной касательной. Наконец, есть две другие дуги, каждая из которых имеет одну из этих точек с горизонтальной касательной в качестве первой конечной точки и единственную точку с вертикальной касательной в качестве второй конечной точки. В отличие от этого, синусоида, безусловно, не является алгебраической кривой, поскольку имеет бесконечное число монотонных дуг. Для построения алгебраической кривой важно знать особые точки и их касательные, бесконечные ветви и их асимптоты (если таковые имеются), а также способ соединения дуг. Также полезно рассматривать точки перегиба как особые точки. Когда вся эта информация нанесена на лист бумаги, форма кривой обычно становится достаточно ясной. Если это не так, достаточно добавить несколько других точек и их касательные, чтобы получить хорошее описание кривой. Методы вычисления особых точек и их касательных описаны ниже в разделе "Особые точки плоской кривой".

Заметные точки плоской кривой

В этом разделе мы рассмотрим плоскую алгебраическую кривую, заданную двумерным многочленом p(x, y), и её проективное завершение, определяемое гомогенизацией многочлена p.

Пересечение с линией

Знание точек пересечения кривой с заданной прямой часто бывает полезным. Пересечение с осями координат и асимптотами полезно для построения кривой. Пересечение с прямой, параллельной осям координат, позволяет найти хотя бы одну точку в каждой ветви кривой. Если доступен эффективный алгоритм поиска корней, это позволяет построить кривую, отмечая точки пересечения со всеми прямыми, параллельными оси y и проходящими через каждый пиксель на оси x. Если многочлен, определяющий кривую, имеет степень d, любая прямая пересекает кривую не более чем в d точках. Теорема Безу утверждает, что это число равно ровно d, если точки ищутся в проективной плоскости над алгебраически замкнутым полем (например, над комплексными числами), и учитываются с их кратностью. Метод вычислений, представленный ниже, вновь доказывает эту теорему в данном простом случае. Для вычисления пересечения кривой, заданной многочленом p, с прямой, заданной уравнением ax+by+c = 0, необходимо решить уравнение прямой относительно x (или относительно y, если a = 0). Подставляя результат в p, получаем унивариантное уравнение q(y) = 0 (или q(x) = 0, если уравнение прямой было решено относительно y), каждый корень которого является одной из координат точки пересечения. Другая координата определяется из уравнения прямой. Кратность точки пересечения равна кратности соответствующего корня. Точка пересечения в бесконечности существует, если степень q меньше степени p; кратность такой точки пересечения в бесконечности равна разности степеней p и q.

Неплоскостные алгебраические кривые

Алгебраическая кривая — это алгебраическое многообразие размерности один. Это подразумевает, что аффинная кривая в аффинном пространстве размерности n определяется, по крайней мере, n − 1 полиномами в n переменных. Для определения кривой эти полиномы должны генерировать простой идеал размерности Крулля 1. Это условие нелегко проверить на практике. Поэтому предпочтительнее использовать следующий способ представления неплоских кривых. Пусть f — n полиномов в двух переменных x1 и x2, причем f неприводим. Точки в аффинном пространстве размерности n, чьи координаты удовлетворяют уравнениям и неравенствам, составляют все точки алгебраической кривой, из которой удалено конечное число точек. Эта кривая определяется системой образующих идеала полиномов h, так что существует целое число k, принадлежащее идеалу, порожденному f. Это представление является бирациональной эквивалентностью между кривой и плоской кривой, определяемой f. Каждую алгебраическую кривую можно представить таким образом. Однако может потребоваться линейное изменение переменных, чтобы сделать проекцию на первые две переменные почти всегда инъективной. Когда требуется изменение переменных, почти любое изменение удобно, если оно определено над бесконечным полем. Это представление позволяет легко вывести любое свойство неплоской алгебраической кривой, включая ее графическое представление, из соответствующего свойства ее плоской проекции. Для кривой, заданной ее неявными уравнениями, указанное выше представление кривой можно легко получить из базиса Грёбнера для блочного порядка, при котором блок переменных меньшего порядка равен (x1, x2). Полином f — единственный полином в базисе, который зависит только от x1 и x2. Дроби gi/g0 получаются путем выбора, для i = 3, …, n, полинома в базисе, который линейен по xi и зависит только от x1, x2 и xi. Если такой выбор невозможен, это означает, что уравнения определяют алгебраическое множество, которое не является многообразием, или что многообразие не имеет размерности один, или что необходимо изменить координаты. Последний случай возникает, когда f существует и единственен, и для i = 3, …, n существуют полиномы, ведущий член которых зависит только от x1, x2 и xi.

Алгебраические поля функций

Изучение алгебраических кривых можно свести к изучению неприводимых алгебраических кривых: тех кривых, которые нельзя представить как объединение двух меньших кривых. С точностью до бирациональной эквивалентности, неприводимые кривые над полем F кате́горически эквивалентны полям алгебраических функций одной переменной над F. Такое алгебраическое поле функций является расширением поля K поля F, содержащим элемент x, трансцендентный над F, и таким, что K является конечным алгебраическим расширением F(x) – поля рациональных функций от неопределённого x над F.

Например, рассмотрим поле C комплексных чисел, над которым можно определить поле C(x) рациональных функций в C. Если 1 = y² = x³ − x − 1, то поле C(x, y) является эллиптическим полем функций. Элемент x не определён однозначно; поле можно рассматривать, например, как расширение C(y). Алгебраическая кривая, соответствующая полю функций, – это просто множество точек (x, y) в C², удовлетворяющих условию 1 = y² = x³ − x − 1. Если поле F не является алгебраически замкнутым, то подход с использованием полей функций немного более общий, чем рассмотрение геометрического места точек, поскольку мы включаем, например, "кривые" без точек. Например, если базовое поле F – поле R действительных чисел, то 1 = x² + y² = −1 определяет алгебраическое расширение поля R(x), но соответствующая кривая, рассматриваемая как подмножество R², не имеет точек. Уравнение 1 = x² + y² = −1 всё же определяет неприводимую алгебраическую кривую над R в смысле схемы (интегральную, разделенную одномерную схему конечного типа над R). В этом смысле взаимно однозначное соответствие между неприводимыми алгебраическими кривыми над F (с точностью до бирациональной эквивалентности) и алгебраическими полями функций одной переменной над F выполняется в общем случае. Две кривые могут быть бирационально эквивалентны (то есть иметь изоморфные поля функций), не будучи изоморфными как кривые. Ситуация упрощается при рассмотрении несингулярных кривых, то есть тех, которые не имеют сингулярностей. Две несингулярные проективные кривые над полем изоморфны тогда и только тогда, когда их поля функций изоморфны. Теорема Цэня касается поля функций алгебраической кривой над алгебраически замкнутым полем.

Комплексные кривые и реальные поверхности

Комплексная проективная алгебраическая кривая лежит в n-мерном комплексном проективном пространстве CPn. Она имеет комплексную размерность n, но топологическую размерность, как вещественное многообразие, равную 2n, и является компактной, связной и ориентируемой. Алгебраическая кривая над C также имеет топологическую размерность два; другими словами, это поверхность. Топологический род этой поверхности, то есть число ручек или отверстий, подобно пончику, равен геометрическому роду алгебраической кривой, который можно вычислить алгебраическими методами. Вкратце, если рассмотреть плоскую проекцию несингулярной кривой степени d, имеющей только обычные сингулярности (сингулярности мультипликативности два с различными касательными), то род равен (d − 1)(d − 2)/2 − k, где k – число этих сингулярностей.

Компактные поверхности Римана

Поверхность Римана — это связное комплексное аналитическое многообразие одного комплексного измерения, что делает его связным вещественным многообразием двух измерений. Она компактна, если компактна как топологическое пространство. Существует тройная эквивалентность категорий между категорией гладких неприводимых проективных алгебраических кривых над C (с неконстантными регулярными отображениями в качестве морфизмов), категорией компактных поверхностей Римана (с неконстантными голоморфными отображениями в качестве морфизмов) и противоположной категорией алгебраических функциональных полей в одной переменной над C (с гомоморфизмами полей, фиксирующими C, в качестве морфизмов). Это означает, что, изучая эти три области, мы в некотором смысле изучаем одно и то же. Это позволяет использовать методы комплексного анализа в алгебраической геометрии, а также методы алгебраической геометрии в комплексном анализе и методы теории полей — в обеих. Это характерно для гораздо более широкого класса задач в алгебраической геометрии. См. также алгебраическую геометрию и аналитическую геометрию для более общей теории.

Рациональные плоские кривые

Рациональные плоские кривые — это рациональные кривые, встроенные в общие сечения однородных многочленов степени *n* в двух координатах, *x* и *y*. Существует отображение, заданное определением рациональной плоской кривой степени *d*. Связанное с этим модульное пространство (где [H] — класс гиперплоскости) параметризует все такие стабильные кривые. Подсчет размерности позволяет определить размерность модульного пространства: имеется *3d* параметров в *H⁰(X, O(d))*, что дает в общей сложности *3d* параметров для каждого сечения. Поскольку они рассматриваются с точностью до проективного преобразования в *P¹*, то на один параметр меньше. Кроме того, существует трехмерная группа автоморфизмов *P¹*, следовательно, пространство модулей имеет размерность *3d - 1 - 3 = 3d - 4*. Это модульное пространство может быть использовано для подсчета числа рациональных плоских кривых степени *d*, пересекающих *k* точек, с помощью теории Громова — Виттена. Оно задается рекурсивным соотношением, где .

Кривые рода больше одного

Кривые рода больше единицы существенно отличаются как от рациональных, так и от эллиптических кривых. Такие кривые, определенные над рациональными числами, согласно теореме Фальтинга, могут иметь лишь конечное число рациональных точек, и их можно рассматривать как обладающие гиперболической геометрической структурой. Примерами служат гиперэллиптические кривые, кривая Клейна четвертой степени и кривая Ферма 1 = xⁿ + yⁿ = zⁿ при n больше трех. Также большое количество полезных примеров дают проективные плоские кривые и кривые в .