Кіріспе
Тензордың координаттық тәуелсіз анықтамасы – кең контексте тензорлардың мәні мен маңыздылығына кіріспе.
an introduction to the nature and significance of tensors in a broad context
Математикада тензор теориясына қазіргі компоненттік тәуелсіз көзқарас тензорды абстрактілі нысан ретінде қарастырады, ол белгілі бір көпсызықты ұғымды білдіреді. Олардың қасиеттерін олардың анықтамаларынан, сызықтық түрлендірулер ретінде немесе жалпырақ айтқанда, тудыруға болады; ал тензорларды өңдеу ережелері – сызықтық алгебраның көпсызықты алгебраға кеңеюі ретінде туындайды. Дифференциалдық геометрияда ішкі геометриялық тұжырымды манифольдтағы тензорлық өріс арқылы сипаттауға болады, бұл жағдайда координаттарға сілтеме жасау қажеттілігі туындамайды. Осыған ұқсас жағдай жалпы салыстырмалылық теориясында да орын алады, онда тензорлық өрістер физикалық қасиетті сипаттайды. Компоненттік тәуелсіз тәсіл абстрактілі алгебра мен гомологиялық алгебрада да кеңінен қолданылады, онда тензорлар табиғи түрде пайда болады. Ескерту: Бұл мақалада векторлық кеңістіктердің тензорлық көбейтіндісі түсінігі бар деп есептеледі. Осы тақырыптың толық шолуын негізгі тензор туралы мақалада табуға болады.
Векторлық кеңістіктердің тензорлық көбейтінділері арқылы анықталуы
Жалпы F өрісі бойынша векторлық кеңістіктердің шекті жиынтығы берілген жағдайда, олардың тензорлық көбейтіндісі V₁ ⊗ ⊗ Vn құралуы мүмкін, оның элементі тензор деп аталады. V векторлық кеңістіктегі тензор – V-нің элементі (яғни, V-дегі вектор) ретінде анықталады. Егер V-нің m данасы және V* жұлдыздық кеңістігінің n данасы көбейтіндіде болса, онда тензор (m, n) типті, m реттік контравариантты және n реттік ковариантты, ал жалпы реттігі m + n болады. Нөлдік реттік тензорлар – тек скалярлар (F өрісінің элементтері), 1 реттік контраварианттылар – V векторлары, ал 1 реттік коварианттылар – V* жұлдыздық кеңістігіндегі бір формалар (осы себепті соңғы екі кеңістіктің элементтері жиі контравариантты және ковариантты векторлар деп аталады). (m, n) типті барлық тензорлардың кеңістігі T<sup>m</sup><sub>n</sub>(V) деп белгіленеді.
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Мысал 1. (1, 1) типті тензорлардың кеңістігі V-ден V-ге сызықтық түрлендірулер кеңістігіне табиғи түрде изоморфты.
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Мысал 2. Нақты векторлық кеңістіктегі V-тегі билинейрлік форма T<sup>0</sup><sub>2</sub>(V) кеңістігіндегі (0, 2) типті тензорға табиғи түрде сәйкес келеді. Мұндай билинейрлік форманың мысалы анықталуы мүмкін, оны байланысты метрикалық тензор деп атайды және әдетте g деп белгіленеді.
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Тензорлық өрістер
Дифференциалдық геометрия, физика және инженерия жиі тегіс көптүрліліктердегі тензорлық өрістермен жұмыс істейді. "Тензор" термині кейде тензорлық өрістің ықшамдатылған түрі ретінде қолданылады. Тензорлық өріс – көптүрліліктің әрбір нүктесінде өзгеретін тензор ұғымын көрсетеді.