Введение
Координатно-независимое определение тензора: введение в природу и значение тензоров в широком контексте.
an introduction to the nature and significance of tensors in a broad context
В математике современный подход, свободный от выбора базиса, к теории тензоров рассматривает тензор как абстрактный объект, выражающий определенный тип многолинейного понятия. Их свойства могут быть выведены из их определений, как линейных отображений или в более общем случае, а правила манипулирования тензорами возникают как расширение линейной алгебры на многолинейную алгебру. В дифференциальной геометрии внутреннее геометрическое утверждение может быть описано тензорным полем на многообразии, и тогда не требует ссылки на координаты. То же самое справедливо и в общей теории относительности, где тензорные поля описывают физические свойства. Подход, свободный от выбора базиса, также широко используется в абстрактной и гомологической алгебре, где тензоры возникают естественным образом. Примечание: В данной статье предполагается понимание тензорного произведения векторных пространств без выбранных базисов. Обзор темы можно найти в основной статье о тензорах.
Определение векторных пространств через тензорные произведения
При наличии конечного множества векторных пространств над общим полем F, можно сформировать их тензорное произведение V1 ⊗ ⊗ Vn, элемент которого называется тензором. Тензор на векторном пространстве V определяется как элемент (т.е. вектор в) векторного пространства вида: где V∗ является двойственным пространством к V. Если в нашем произведении m копий V и n копий V∗, то тензор называется тензором типа (m, n), контравариантным порядка m и ковариантным порядка n, а также тензором общего порядка m + n. Тензоры нулевого порядка – это просто скаляры (элементы поля F), тензоры контравариантного порядка 1 – это векторы в V, а тензоры ковариантного порядка 1 – это одномерные формы в V∗ (по этой причине элементы последних двух пространств часто называют контравариантными и ковариантными векторами). Пространство всех тензоров типа (m, n) обозначается T<sup>m</sup><sub>n</sub>(V).
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Пример 1. Пространство тензоров типа (1, 1) изоморфно естественным образом пространству линейных преобразований из V в V.
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Пример 2. Билинейная форма на вещественном векторном пространстве V соответствует естественным образом тензору типа (0, 2) в V<sup>∗</sup>⊗V<sup>∗</sup>. Примером такой билинейной формы может служить ассоциированный метрический тензор, который обычно обозначается g.
where V∗ is the dual space of V.
If there are m copies of V and n copies of V∗ in our product, the tensor is said to be of type (m, n) and contravariant of order m and covariant of order n and of total order m + n. The tensors of order zero are just the scalars (elements of the field F), those of contravariant order 1 are the vectors in V, and those of covariant order 1 are the one forms in V∗ (for this reason, the elements of the last two spaces are often called the contravariant and covariant vectors). The space of all tensors of type (m, n) is denoted
Example 1. The space of type (1, 1) tensors, is isomorphic in a natural way to the space of linear transformations from V to V.
Example 2. A bilinear form on a real vector space V, corresponds in a natural way to a type (0, 2) tensor in An example of such a bilinear form may be defined, termed the associated metric tensor, and is usually denoted g.
Тензорные поля
Дифференциальная геометрия, физика и инженерия часто сталкиваются с тензорными полями на гладких многообразиях. Термин "тензор" иногда используется как краткая форма для обозначения тензорного поля. Тензорное поле выражает понятие тензора, изменяющегося от точки к точке на многообразии.