Введение
Обычно линейный оператор определяется через дифференцирование функций.
В математике дифференциальный оператор — это оператор, определенный как функция от оператора дифференцирования. Для начала, полезно рассматривать дифференцирование как абстрактную операцию, которая принимает функцию и возвращает другую функцию (по аналогии с функцией высшего порядка в информатике). В данной статье рассматриваются преимущественно линейные дифференциальные операторы, которые являются наиболее распространенным типом. Однако существуют и нелинейные дифференциальные операторы, такие как производная Шварца.
Интерпретация Фурье
Дифференциальный оператор P и его символ возникают естественным образом в связи с преобразованием Фурье следующим образом. Пусть ƒ — функция Шварца. Тогда, согласно формуле обратного преобразования Фурье,
Это демонстрирует P как множитель Фурье. Более общий класс функций p(x, ξ), удовлетворяющих условиям полиномиального роста относительно ξ, при которых этот интеграл корректно определен, составляют псевдодифференциальные операторы.
Примеры
Дифференциальный оператор называется эллиптическим, если его символ обратим; то есть для каждого ненулевого отображение пучка является обратимым. На компактном многообразии из эллиптической теории следует, что P является оператором Фредгольма: он имеет конечномерное ядро и коядро. При изучении гиперболических и параболических уравнений в частных производных нули главного символа соответствуют характеристикам уравнения в частных производных. В приложениях к физическим наукам операторы, такие как оператор Лапласа, играют важную роль в построении и решении уравнений в частных производных. В дифференциальной топологии внешняя производная и операторы производной Ли имеют внутренний смысл. В абстрактной алгебре понятие дифференцирования позволяет обобщать дифференциальные операторы, не требующие использования математического анализа. Такие обобщения часто используются в алгебраической геометрии и коммутативной алгебре. См. также Jet (математика). При разработке голоморфных функций комплексной переменной z = x + iy, иногда комплексная функция рассматривается как функция двух вещественных переменных x и y. Используются производные Виртингера, которые являются операторами частных производных: Этот подход также используется для изучения функций нескольких комплексных переменных и функций моторной переменной. Дифференциальный оператор del, также называемый nabla, является важным векторным дифференциальным оператором. Он часто встречается в физике, например, в дифференциальной форме уравнений Максвелла. В трехмерных декартовых координатах del определяется как
Del определяет градиент и используется для вычисления ротора, дивергенции и лапласиана различных объектов.
История
Концептуальный шаг представления дифференциального оператора как самостоятельной сущности принадлежит Луи Франсуа Антуану Арбогасту, который совершил его в 1800 году.
Пример
Оператор Штурма — Лиувилля является хорошо известным примером формально самосопряжённого оператора. Этот линейный дифференциальный оператор второго порядка L можно записать в виде
Это свойство можно доказать, используя формальное определение сопряжённого оператора, приведённое выше. Этот оператор играет центральную роль в теории Штурма — Лиувилля, где рассматриваются собственные функции (аналогичные собственным векторам) этого оператора.
Свойства дифференциальных операторов
Дифференцирование линейно, то есть
где f и g – функции, а a – константа. Любой многочлен в D с функциональными коэффициентами также является дифференциальным оператором. Мы можем также составлять дифференциальные операторы по правилу
При этом требуется некоторая осторожность: во-первых, любые функциональные коэффициенты в операторе D2 должны быть дифференцируемыми столько раз, сколько требуется при применении D1. Чтобы получить кольцо таких операторов, необходимо предположить существование производных всех порядков используемых коэффициентов. Во-вторых, это кольцо не будет коммутативным: оператор gD, как правило, не совпадает с Dg. Например, для квантовой механики фундаментально важно следующее соотношение:
Подкольцо операторов, являющихся многочленами от D с постоянными коэффициентами, напротив, коммутативно. Его можно охарактеризовать и другим способом: оно состоит из операторов, инваринтных относительно сдвига. Дифференциальные операторы также подчиняются теореме о сдвиге.
Кольцо одновариантных дифференциальных операторов многочлена
Если R – кольцо, то пусть – некомутативное полиномиальное кольцо над R в переменных D и X, а I – двусторонний идеал, порожденный DX − XD − 1. Тогда кольцо одномерных дифференциальных операторов над R является факторкольцом . Это некоммутативное простое кольцо. Каждый элемент может быть записан единственным образом как R-линейная комбинация мономов вида . Оно допускает аналогию евклидова деления многочленов. Дифференциальные модули над (для стандартного дифференцирования) могут быть отождествлены с модулями над .
Дифференциальный оператор бесконечного порядка
Дифференциальный оператор бесконечного порядка — это (приблизительно) дифференциальный оператор, общий символ которого является степенным рядом, а не многочленом.
Бидифференциальный оператор
Дифференциальный оператор, действующий на две функции, называется бидифференциальным оператором. Это понятие возникает, например, в структуре ассоциативной алгебры при деформационной квантизации алгебры Пуассона.
Микродифференциальный оператор
Микродифференциальный оператор — это тип оператора, действующего на открытом подмножестве котангенсного расслоения, в отличие от открытого подмножества многообразия. Он получается расширением понятия дифференциального оператора на котангенсное расслоение.