Кіріспе
Координаттарды пайдаланбайтын геометрия
Синтетикалық геометрия (кейде аксиоматикалық геометрия немесе тіпті таза геометрия деп аталады) – координаттарды пайдаланбайтын геометрия. Ол барлық нәтижелерді бастапқыда постулаттар деп аталған, ал қазір аксиомалар деп аталатын бірнеше негізгі қасиеттерден аксиомалық әдіс арқылы дәлелдеуге сүйенеді. "Синтетикалық геометрия" термині 17 ғасырдан кейін ғана, Рене Декарттың координаттар әдісін, яғни аналитикалық геометрияны енгізгеннен кейін пайда болды. Сондықтан "синтетикалық геометрия" термині Декартқа дейін белгілі болған ескі әдістерді атау үшін қолданылды. Феликс Клейннің сөзіне сәйкес, синтетикалық геометрия – фигураларды формулаларды қолданбай, оларды зерттеу, ал аналитикалық геометрия – тиісті координаттар жүйесін қабылдағаннан кейін жазылатын формулаларды тұрақты түрде пайдалану. Синтетикалық геометрияға алғашқы жүйелі көзқарас – Евклидтің "Элементтері". Алайда, 19 ғасырдың соңында Евклидтің постулаттары геометрияны сипаттау үшін жеткіліксіз екені анықталды. Геометрияның алғашқы толық аксиомалық жүйесін 19 ғасырдың соңында Дэвид Гилберт ұсынды. Сонымен қатар, геометрияны құру үшін синтетикалық және аналитикалық әдістердің екеуін де қолдануға болады. Эмиль Артин өзінің "Геометриялық алгебра" кітабында осы екі тәсілдің эквивалентті екенін дәлелдеді. Осы эквиваленттіліктен кейін синтетикалық және аналитикалық геометрия арасындағы айырмашылық, элементарлық деңгейде немесе сандармен байланысы жоқ геометриялар үшін ғана, мысалы, кейбір шекті геометриялар мен Дезаргтік емес геометрия үшін қолданылады.
Synthetic geometry is that which studies figures as such, without recourse to formulae, whereas analytic geometry consistently makes use of such formulae as can be written down after the adoption of an appropriate system of coordinates. The first systematic approach for synthetic geometry is Euclid's Elements. However, it appeared at the end of the 19th century that Euclid's postulates were not sufficient for characterizing geometry. The first complete axiom system for geometry was given only at the end of the 19th century by David Hilbert. At the same time, it appeared that both synthetic methods and analytic methods can be used to build geometry. The fact that the two approches are equivalent has been proved by Emil Artin in his book Geometric Algebra. Because of this equivalence, the distinction between synthetic and analytic geometry is no more in use, except at elementary level, or for geometries that are not related to any sort of numbers, such as some finite geometries and non Desarguesian geometry.
Логикалық синтез
Логикалық синтез процесі кездейсоқ болғанымен, нақты бастапқы нүктеден басталады. Осы бастапқы нүкте – примитивтер және олар туралы аксиомалардың енгізілуі, яғни примитивтік ұғымдардың қосылуы: Примитивтер – ең қарапайым идеялар. Көбінесе олар объектілер мен қатынастарды қамтиды. Геометрияда объектілерге нүктелер, түзулер және жазықтықтар жатады, ал негізгі қатынас – бір объектінің екіншісімен тоғысуы немесе қосылуы. Мұндай терминдердің өздері анықталмайды. Хилберт бір кезде нүктелер, түзулер және жазықтықтардың орнына үстелдер, орындықтар және сыра кружкалары туралы сөйлеуге болатынын айтқан, себебі примитивтік терминдер – мәнсіз орынбасарлар ғана, олардың ішкі қасиеттері жоқ. Аксиомалар – бұл примитивтер туралы тұжырымдар; мысалы, кез келген екі нүкте бір түзудің бойында жатады (яғни, кез келген екі нүкте арқылы өтетін бір ғана түзу бар). Аксиомалар рас деп қабылданады, бірақ дәлелденбейді. Олар геометриялық ұғымдардың құрылыс бөліктері болып табылады, өйткені примитивтердің қасиеттерін нақтылайды. Аксиомалардың белгілі бір жиынтығынан синтез – мұқият құрылған логикалық аргумент ретінде жүзеге асырылады. Егер маңызды нәтиже қатаң түрде дәлелденсе, ол теоремаға айналады.
Primitives are the most basic ideas. Typically they include both objects and relationships. In geometry, the objects are things such as points, lines and planes, while a fundamental relationship is that of incidence – of one object meeting or joining with another. The terms themselves are undefined. Hilbert once remarked that instead of points, lines and planes one might just as well talk of tables, chairs and beer mugs, the point being that the primitive terms are just empty placeholders and have no intrinsic properties. Axioms are statements about these primitives; for example, any two points are together incident with just one line (i. e. that for any two points, there is just one line which passes through both of them). Axioms are assumed true, and not proven. They are the building blocks of geometric concepts, since they specify the properties that the primitives have. From a given set of axioms, synthesis proceeds as a carefully constructed logical argument. When a significant result is proved rigorously, it becomes a theorem.
Аксиомалар жиынтығының қасиеттері
Геометрия үшін қатаң аксиомалар жиынтығы жоқ, себебі бірнеше дұрыс жиынтықты таңдауға болады. Әрбір жиынтық әртүрлі геометрияға алып келуі мүмкін, сонымен қатар әртүрлі жиынтықтардың бірдей геометрияны тудыру мысалдары да бар. Мүмкіндіктердің осы көптігінен "геометрия" туралы жекеше сөйлеу қате болады. Тарихи тұрғыдан алғанда, Евклидтің параллельдік постулаты басқа аксиомалардан тәуелсіз екені анықталды. Оны жай ғана жою абсолютті геометрияны береді, ал оны жоққа шығару гиперболалық геометрияны тудырады. Басқа да дұрыс аксиомалар жиынтығы проективтік, эллипстік, сфералық немесе аффиндік геометрия сияқты басқа геометрияларды да бере алады. Ұдайылық және "орналасу" аксиомалары да міндетті емес, мысалы, дискретті геометрияларды оларды жою немесе өзгерту арқылы жасауға болады. Клейннің Эрланген бағдарламасына сәйкес, кез келген геометрияның мәнін даму стиліне қарағанда, симметрия мен теоремалардың мазмұны арасындағы байланыс ретінде қарастыру керек.
Синтетикалық геометрияны қолдану арқылы дәлелдеу
Геометриялық теоремалардың синтетикалық дәлелдемелері көмекші құрылымдарды (мысалы, көмекші сызықтар) және қабырғалардың немесе бұрыштардың теңдігі, үшбұрыштардың ұқсастығы мен сәйкестігі сияқты түсініктерді қолданады. Мұндай дәлелдемелердің мысалдарын "Көбелек теоремасы", "Бұрыш бисектрисасы теоремасы", "Аполлоний теоремасы", "Британдық ту теоремасы", "Чева теоремасы", "Тең іштей шеңбер теоремасы", "Геометриялық орташа теоремасы", "Герон формуласы", "Тікбұрышты үшбұрыш теоремасы", "Косинустар заңы" және басқа да осы жерде сілтеме берілген мақалалардан табуға болады.
Есептеулік синтетикалық геометрия
Есептеу геометриясымен қатар, есептеу синтетикалық геометриясы негізделді, ол, мысалы, матроидтар теориясымен тығыз байланысты. Синтетикалық дифференциалдық геометрия – дифференциалданатын көптеулер теориясының негіздеріне топос теориясын қолдану.