Введение
Синтетическая геометрия (иногда называемая аксиоматической геометрией или даже чистой геометрией) – это геометрия, не использующая координаты. Она основывается на аксиоматическом методе для доказательства всех результатов, исходя из небольшого числа основных свойств, первоначально называемых постулатами, а в настоящее время – аксиомами. Термин «синтетическая геометрия» был введен только после XVII века, с появлением метода координат, предложенного Рене Декартом, который получил название аналитической геометрии. Таким образом, термин «синтетическая геометрия» был введен для обозначения более ранних методов, которые до Декарта были единственно известными. По словам Феликса Кляйна, синтетическая геометрия изучает фигуры как таковые, без обращения к формулам, в то время как аналитическая геометрия последовательно использует формулы, которые можно записать после выбора подходящей системы координат. Первым систематическим изложением синтетической геометрии является «Начала» Евклида. Однако к концу XIX века стало очевидно, что постулатов Евклида недостаточно для однозначного определения геометрии. Первая полная система аксиом для геометрии была предложена только в конце XIX века Давидом Гильбертом. В то же время выяснилось, что как синтетические, так и аналитические методы могут быть использованы для построения геометрии. Эквивалентность этих двух подходов была доказана Эмилем Артином в его книге «Геометрическая алгебра». В силу этой эквивалентности различие между синтетической и аналитической геометрией больше не используется, за исключением элементарного уровня или для геометрий, не связанных с числами, таких как некоторые конечные геометрии и недезаргезианская геометрия.
Synthetic geometry (sometimes referred to as axiomatic geometry or even pure geometry) is geometry without the use of coordinates. It relies on the axiomatic method for proving all results from a few basic properties initially called postulate, and at present called axioms. The term "synthetic geometry" was coined only after the 17th century, and the introduction by René Descartes of the coordinate method, which was called analytic geometry. So the term "synthetic geometry" was introduced to refer to the older methods that were, before Descartes, the only known ones. According to Felix Klein
Synthetic geometry is that which studies figures as such, without recourse to formulae, whereas analytic geometry consistently makes use of such formulae as can be written down after the adoption of an appropriate system of coordinates. The first systematic approach for synthetic geometry is Euclid's Elements. However, it appeared at the end of the 19th century that Euclid's postulates were not sufficient for characterizing geometry. The first complete axiom system for geometry was given only at the end of the 19th century by David Hilbert. At the same time, it appeared that both synthetic methods and analytic methods can be used to build geometry. The fact that the two approches are equivalent has been proved by Emil Artin in his book Geometric Algebra. Because of this equivalence, the distinction between synthetic and analytic geometry is no more in use, except at elementary level, or for geometries that are not related to any sort of numbers, such as some finite geometries and non Desarguesian geometry.
Логический синтез
Процесс логического синтеза начинается с некоторой произвольной, но определенной отправной точки. Эта отправная точка – введение примитивных понятий или примитивов и аксиом об этих примитивах: примитивы – это наиболее базовые идеи. Обычно они включают в себя как объекты, так и отношения. В геометрии объектами являются такие вещи, как точки, линии и плоскости, а фундаментальным отношением является инцидентность – когда один объект встречается или соединяется с другим. Сами термины остаются неопределенными. Гильберт однажды заметил, что вместо точек, линий и плоскостей можно было бы говорить о столах, стульях и пивных кружках, поскольку примитивные термины – это просто пустые обозначения и не имеют внутренних свойств. Аксиомы – это утверждения об этих примитивах; например, любые две точки лежат на одной и только одной прямой (то есть для любых двух точек существует единственная прямая, проходящая через обе). Аксиомы принимаются за истинные и не доказываются. Они являются строительными блоками геометрических понятий, поскольку они задают свойства, которыми обладают примитивы. Из данного набора аксиом синтез развивается как тщательно выстроенный логический аргумент. Когда значимый результат доказан строго, он становится теоремой.
Primitives are the most basic ideas. Typically they include both objects and relationships. In geometry, the objects are things such as points, lines and planes, while a fundamental relationship is that of incidence – of one object meeting or joining with another. The terms themselves are undefined. Hilbert once remarked that instead of points, lines and planes one might just as well talk of tables, chairs and beer mugs, the point being that the primitive terms are just empty placeholders and have no intrinsic properties. Axioms are statements about these primitives; for example, any two points are together incident with just one line (i. e. that for any two points, there is just one line which passes through both of them). Axioms are assumed true, and not proven. They are the building blocks of geometric concepts, since they specify the properties that the primitives have. From a given set of axioms, synthesis proceeds as a carefully constructed logical argument. When a significant result is proved rigorously, it becomes a theorem.
Свойства аксиоматических множеств
Для геометрии не существует фиксированного набора аксиом, поскольку можно выбрать несколько непротиворечивых наборов. Каждый из этих наборов может привести к различной геометрии, при этом разные наборы аксиом могут порождать одну и ту же геометрию. В связи с таким разнообразием возможностей, говорить о "геометрии" в единственном числе более нецелесообразно. Исторически постулат Евклида о параллельных оказался независимым от остальных аксиом. Простое исключение этого постулата приводит к абсолютной геометрии, а его отрицание – к гиперболической геометрии. Другие непротиворечивые наборы аксиом могут порождать другие геометрии, такие как проективная, эллиптическая, сферическая или аффинная геометрия. Аксиомы непрерывности и "положения между точками" также являются необязательными; например, дискретные геометрии могут быть созданы путем их отбрасывания или модификации. В соответствии с эрлангенской программой Кляйна, сущность любой геометрии следует рассматривать как связь между симметрией и содержанием утверждений, а не как стиль построения.
Доказательства с использованием синтетической геометрии
В синтетических доказательствах геометрических теорем используются вспомогательные построения (например, вспомогательные линии) и понятия, такие как равенство сторон или углов, а также подобие и конгруэнтность треугольников. Примеры таких доказательств можно найти в статьях, посвященных теореме о бабочке, теореме об угловой биссектрисе, теореме Аполлония, теореме о британском флаге, теореме Чевы, теореме о равных вписанных окружностях, теореме о среднем геометрическом, формуле Герона, теореме об равнобедренном треугольнике, закону косинусов и другим, ссылки на которые приведены здесь.
Вычислительная синтетическая геометрия
В сочетании с вычислительной геометрией была основана вычислительная синтетическая геометрия, тесно связанная, например, с теорией матроидов. Синтетическая дифференциальная геометрия является применением теории топосов к основаниям теории дифференцируемых многообразий.