Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Сүзгіленген сигналды қайта құру
Reconstruction of a filtered signal
Математикада деконволюция – конволюцияның кері амалы. Екі амал да сигналды өңдеу және кескінді өңдеуде қолданылады. Мысалы, фильтрден (конволюциядан) кейін бастапқы сигналды белгілі бір дәрежедегі дәлдікпен деконволюция әдісі арқылы қалпына келтіруге болады. Тіркелген сигналдың немесе кескіннің өлшеу қатесіне байланысты, сигнал мен шу арақатынасы (SNR) нашарлаған сайын, фильтрді кері қайтару нашарлайтыны көрсетіледі; сондықтан фильтрді кері қайтару әрқашан жақсы шешім болмайды, өйткені қателік күшейеді. Деконволюция осы мәселенің шешімін ұсынады. Деконволюция және уақыт қатарларын талдаудың негізін негізінен Массачусетс технология институтының Норберт Винер «Стационарлық уақыт қатарларын экстраполяциялау, интерполяциялау және тегістеу» (1949) атты кітабында қалады. Кітап Винердің Екінші дүниежүзілік соғыс кезінде жасаған, бірақ сол кезде құпия саналған жұмысына негізделген. Бұл теорияларды қолданудың алғашқы әрекеттерінің кейбіреулері ауа райын болжау және экономика салаларында болды.
In mathematics, deconvolution is the inverse of convolution. Both operations are used in signal processing and image processing. For example, it may be possible to recover the original signal after a filter (convolution) by using a deconvolution method with a certain degree of accuracy. Due to the measurement error of the recorded signal or image, it can be demonstrated that the worse the signal to noise ratio (SNR), the worse the reversing of a filter will be; hence, inverting a filter is not always a good solution as the error amplifies. Deconvolution offers a solution to this problem. The foundations for deconvolution and time series analysis were largely laid by Norbert Wiener of the Massachusetts Institute of Technology in his book Extrapolation, Interpolation, and Smoothing of Stationary Time Series (1949). The book was based on work Wiener had done during World War II but that had been classified at the time. Some of the early attempts to apply these theories were in the fields of weather forecasting and economics.
Шикі деконвольсия
Өлшем қатесі өте төмен болған кезде (идеалды жағдайда) деконволюция сүзгіні керітуге дейін келеді. Мұндай деконволюция Лаплас доменінде жүзеге асырылуы мүмкін. Жазылған h сигналының және g жүйелік жауап функциясының Фурье түрлендірмесін есептеу арқылы H және G алынады, мұнда G – беру функциясы болып табылады. Конволюция теоремасын қолдану арқылы:
When the measurement error is very low (ideal case), deconvolution collapses into a filter reversing. This kind of deconvolution can be performed in the Laplace domain. By computing the Fourier transform of the recorded signal h and the system response function g, you get H and G, with G as the transfer function. Using the Convolution theorem,
F – f-тің бағаланған Фурье түрлендірмесі. Соңында, F функциясының кері Фурье түрлендірмесі бағаланған деконволюцияланған сигнал f-ті табу үшін қолданылады. G аталымда орналасқанын және қателік моделінің элементтерін күшейте алатынын ескеру қажет.
where F is the estimated Fourier transform of f. Finally, the inverse Fourier transform of the function F is taken to find the estimated deconvolved signal f. Note that G is at the denominator and could amplify elements of the error model if present.
Сейсмология
Деконволюция ұғымы алғаш рефлекциялық сейсмологияда қолданылды. 1950 жылы Эндерс Робинсон МТИ-де аспирантурада оқыды. Ол MIT-те Норберт Винер, Норман Левинсон және экономист Пол Сэмюэлсон сияқты басқалармен бірге тіркелген сейсмограмманың "конволюциялық моделін" әзірлеу үшін жұмыс істеді. Бұл модельде жазылған сейсмограмма s(t) – жердің шағылысу функциясы e(t) және нүктелік көзден шыққан сейсмикалық толқынның w(t) конволюциясы болып табылады, мұнда t – жазу уақытын білдіреді. Осылайша, біздің конволюция теңдеуіміз:
The concept of deconvolution had an early application in reflection seismology. In 1950, Enders Robinson was a graduate student at MIT. He worked with others at MIT, such as Norbert Wiener, Norman Levinson, and economist Paul Samuelson, to develop the "convolutional model" of a reflection seismogram. This model assumes that the recorded seismogram s(t) is the convolution of an Earth reflectivity function e(t) and a seismic wavelet w(t) from a point source, where t represents recording time. Thus, our convolution equation is
Сейсмологты жердің құрылымы туралы ақпаратты қамтитын e қызықтырады. Конволюция теоремасы бойынша, бұл теңдеуді жиілік доменінде Фурье түрлендіруге болады:
The seismologist is interested in e, which contains information about the Earth's structure. By the convolution theorem, this equation may be Fourier transformed to
мұнда f – жиілік айнымалысы. Шағылысу қабілеті ақ екенін болжай отырып, шағылысудың қуат спектрі тұрақты деп есептеуге болады, ал сейсмограмманың қуат спектрі осы тұрақтыға көбейтілген толқынның спектрі болады. Сондықтан:
in the frequency domain, where is the frequency variable. By assuming that the reflectivity is white, we can assume that the power spectrum of the reflectivity is constant, and that the power spectrum of the seismogram is the spectrum of the wavelet multiplied by that constant. Thus,
Егер толқынның минималды фазасы бар екенін болжасақ, онда біз оны жаңадан тапқан қуат спектрінің минималды фазалық эквивалентін есептеу арқылы қалпына келтіре аламыз. Шағылысу қабілетін Дирак дельта-функциясына (яғни, импульсқа) жуықталған толқынды қалыптастыратын Винер сүзгісін жобалау және қолдану арқылы қалпына келтіруге болады. Нәтиже масштабталған, ығысқан дельта функцияларының тізбегі ретінде қарастырылуы мүмкін (бірақ бұл математикалық тұрғыдан қатаң емес):
If we assume that the wavelet is minimum phase, we can recover it by calculating the minimum phase equivalent of the power spectrum we just found. The reflectivity may be recovered by designing and applying a Wiener filter that shapes the estimated wavelet to a Dirac delta function (i. e., a spike). The result may be seen as a series of scaled, shifted delta functions (although this is not mathematically rigorous):
мұнда N – шағылысу оқиғаларының саны, – шағылысу коэффициенттері, – әр оқиғаның шағылысу уақыты, ал – Дирак дельта функциясы. Іс жүзінде, біз шулы, шекті ені бар, шекті ұзындығы бар және дискретті үлгіленген деректер жиынтықтарымен жұмыс істейтін болғандықтан, жоғарыда аталған процедура деректерді деконволюциялау үшін қажетті сүзгіге жуықтап ғана келеді. Алайда, мәселені Топлиц матрицасын шешу ретінде тұжырымдап, Левинсон рекурсиясын қолдану арқылы, біз ең кіші орташа квадраттық қатеге ие сүзгіні салыстырмалы түрде жылдам бағалай аламыз. Сондай-ақ, деконволюцияны тікелей жиілік доменінде жасауға болады және ұқсас нәтижелерге қол жеткізуге болады. Бұл техника сызықтық болжаумен тығыз байланысты.
where N is the number of reflection events, are the reflection coefficients, are the reflection times of each event, and is the Dirac delta function. In practice, since we are dealing with noisy, finite bandwidth, finite length, discretely sampled datasets, the above procedure only yields an approximation of the filter required to deconvolve the data. However, by formulating the problem as the solution of a Toeplitz matrix and using Levinson recursion, we can relatively quickly estimate a filter with the smallest mean squared error possible. We can also do deconvolution directly in the frequency domain and get similar results. The technique is closely related to linear prediction.
Оптика және басқа да бейнелеу
Оптика және бейнелеуде "деконволюция" термині оптикалық микроскопта, электрондық микроскопта, телескопта немесе басқа бейнелеу құралдарында туындайтын оптикалық бұрмалауды кері қайтару процесін білдіреді, осылайша айқын бейнелер жасалады. Бұл әдетте цифрлық доменде бағдарламалық алгоритм арқылы жүзеге асырылады және микроскоптық бейнелерді өңдеу әдістерінің бір бөлігі болып табылады. Деконволюция жылдам қозғалыс немесе түсіру кезіндегі дірілден бұзылған бейнелерді қатайту үшін де қолданылады. Алғашқы Хаббл ғарыш телескопының бейнелері кемшіктік айнаның салдарынан бұрмаланған және деконволюция арқылы қатайтылған. Көбінесе, құрал арқылы өтетін оптикалық жолдың өте жақсы екендігін және бұрмалаудың нүктелік таралу функциясы (PSF) арқылы туындайтынын қарастырады, яғни теориялық нүктелік жарық көзінің (немесе басқа толқындардың) құрал арқылы өтетін жолы бойынша бұрмалауды сипаттайтын математикалық функция. Әдетте, мұндай нүктелік көз соңғы бейнеде шағылыстың шағын аймағын тудырады. Егер бұл функция анықталса, оның кері немесе толықтырушы функциясын есептеп, алынған бейнені оған конволюциялау қажет. Нәтижесінде бастапқы, бұрмаланбаған бейне пайда болады. Іс жүзінде нақты PSF-ті табу мүмкін емес, сондықтан көбінесе оның жуықтап есептелген мәні қолданылады, ол теориялық түрде есептелген немесе белгілі зондтарды пайдалану арқылы алынған эксперименттік бағалауға негізделген. Нақты оптика әртүрлі фокус және кеңістіктік орналасуларда әртүрлі PSF-ке ие болуы мүмкін, ал PSF сызықтық емес болуы мүмкін. PSF жуықтап есептелуінің дәлдігі соңғы нәтижеге әсер етеді. Жақсы нәтижелерге қол жеткізу үшін басқа алгоритмдер қолданылуы мүмкін, бірақ олар көбірек есептеу ресурстарын қажет етеді. Бастапқы конволюция деректерді жойғандықтан, кейбір алгоритмдер жоғалған ақпараттың бір бөлігін қалпына келтіру үшін жақын жердегі фокус нүктелерінде алынған қосымша деректерді пайдаланады. Итеративтік алгоритмдерде (мысалы, күтуді максимизациялау алгоритмдерінде) жарамсыз шешімдерден аулақ болу үшін реттеу қолданылуы мүмкін. PSF белгісіз болған жағдайда, оны әртүрлі PSF-ті жүйелі түрде сынап, бейне сапасының жақсарғанын бағалау арқылы анықтауға болады. Бұл процедура соқыр деконволюция деп аталады. Кейбір нақты бейнелеу жүйелері үшін, мысалы, лазерлік импульсті терагерц жүйелері үшін PSF математикалық түрде модельделуі мүмкін. Нәтижесінде, суретте көрсетілгендей, модельделген PSF және терагерц бейнесінің деконволюциясы терагерц бейнесінің жоғары ажыратымды бейнесін береді.
In optics and imaging, the term "deconvolution" is specifically used to refer to the process of reversing the optical distortion that takes place in an optical microscope, electron microscope, telescope, or other imaging instrument, thus creating clearer images. It is usually done in the digital domain by a software algorithm, as part of a suite of microscope image processing techniques. Deconvolution is also practical to sharpen images that suffer from fast motion or jiggles during capturing. Early Hubble Space Telescope images were distorted by a flawed mirror and were sharpened by deconvolution. The usual method is to assume that the optical path through the instrument is optically perfect, convolved with a point spread function (PSF), that is, a mathematical function that describes the distortion in terms of the pathway a theoretical point source of light (or other waves) takes through the instrument. Usually, such a point source contributes a small area of fuzziness to the final image. If this function can be determined, it is then a matter of computing its inverse or complementary function, and convolving the acquired image with that. The result is the original, undistorted image. In practice, finding the true PSF is impossible, and usually an approximation of it is used, theoretically calculated or based on some experimental estimation by using known probes. Real optics may also have different PSFs at different focal and spatial locations, and the PSF may be non linear. The accuracy of the approximation of the PSF will dictate the final result. Different algorithms can be employed to give better results, at the price of being more computationally intensive. Since the original convolution discards data, some algorithms use additional data acquired at nearby focal points to make up some of the lost information. Regularization in iterative algorithms (as in expectation maximization algorithms) can be applied to avoid unrealistic solutions. When the PSF is unknown, it may be possible to deduce it by systematically trying different possible PSFs and assessing whether the image has improved. This procedure is called blind deconvolution.]] For some specific imaging systems such as laser pulsed terahertz systems, PSF can be modeled mathematically. As a result, as shown in the figure, deconvolution of the modeled PSF and the terahertz image can give a higher resolution representation of the terahertz image.
Радиоастрономия
Радиоинтерферометрияда, радиоастрономияның бір түрінде бейне синтезі жасалғанда, бір қадамда алынған сурет "қоқыс сәулесімен" (нүктелік таралу функциясының басқаша атауы) ажыратылады. Көбінесе қолданылатын әдіс – CLEAN алгоритмі.
When performing image synthesis in radio interferometry, a specific kind of radio astronomy, one step consists of deconvolving the produced image with the "dirty beam", which is a different name for the point spread function. A commonly used method is the CLEAN algorithm.
Биология, физиология және медициналық құралдар
Деконволюцияны көбінесе іздеуші кинетикасында қолданады. Мысалы, қандағы гормон концентрациясын өлшеген кезде, оның секрециялану жылдамдығы деконволюция арқылы есептелуі мүмкін. Тағы бір мысал – нақты қандағы глюкозаның уақыт және амплитуда бойынша бұрмаланған түрі болып табылатын, өлшенген интерстициалдық глюкозадан қандағы глюкоза концентрациясын анықтау.
Typical use of deconvolution is in tracer kinetics. For example, when measuring a hormone concentration in the blood, its secretion rate can be estimated by deconvolution. Another example is the estimation of the blood glucose concentration from the measured interstitial glucose, which is a distorted version in time and amplitude of the real blood glucose.
Абсорбция спектрлері
Деконволюция сіңіру спектрлеріне кеңінен қолданылған. Ван Циттерт алгоритмі (неміс тіліндегі мақала) пайдаланылуы мүмкін.
Deconvolution has been applied extensively to absorption spectra. The Van Cittert algorithm (article in German) may be used.
Фурье трансформациясының аспектілері
Деконволюция Фурье кодоменындағы бөлуге сәйкес келеді. Бұл Фурье түрлендіріліміне түсетін эксперименталдық деректерде деконволюцияны оңай қолдануға мүмкіндік береді. Мысалы, ЯМР спектроскопиясында деректер уақыт доменында тіркеледі, бірақ жиілік доменында талданады. Уақыт доменындағы деректерді экспоненциалды функцияға бөлу жиілік доменындағы Лоренц сызықтарының енін тарылтады.
Deconvolution maps to division in the Fourier co domain. This allows deconvolution to be easily applied with experimental data that are subject to a Fourier transform. An example is NMR spectroscopy where the data are recorded in the time domain, but analyzed in the frequency domain. Division of the time domain data by an exponential function has the effect of reducing the width of Lorentzian lines in the frequency domain.