Введение

Реконструкция фильтрованного сигнала

В математике деконволюция является обратной операцией к конволюции. Обе операции используются в обработке сигналов и обработке изображений. Например, можно восстановить исходный сигнал после применения фильтра (конволюции), используя метод деконволюции с определенной степенью точности. Ввиду погрешности измерения записанного сигнала или изображения, можно показать, что чем хуже отношение сигнал/шум (SNR), тем менее эффективно будет обращение фильтра; следовательно, обращение фильтра не всегда является оптимальным решением, поскольку ошибка при этом усиливается. Деконволюция предлагает решение этой проблемы. Основы деконволюции и анализа временных рядов были в значительной степени заложены Норбертом Винером из Массачусетского технологического института в его книге «Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов» (1949). Книга была основана на работах, выполненных Винером во время Второй мировой войны, но засекреченных в то время. Первые попытки применения этих теорий были предприняты в области прогнозирования погоды и экономики.

Необработанная деконволяция

Когда погрешность измерения очень мала (идеальный случай), деконволюция сводится к операции обратного фильтрации. Этот вид деконволюции может быть выполнен в частотной области (в области Лапласа). Вычисляя преобразование Фурье записанного сигнала h и импульсной характеристики системы g, мы получаем H и G, где G является передаточной функцией. Используя теорему свёртки,

где F – оценка преобразования Фурье исходного сигнала f. Наконец, для получения оценки деконволюционированного сигнала f применяется обратное преобразование Фурье функции F. Следует отметить, что G находится в знаменателе и может усиливать компоненты модели ошибок, если таковые присутствуют.

Сейсмология

Концепция деконволюции нашла раннее применение в отраженной сейсмологии. В 1950 году Эндерс Робинсон был аспирантом в МТИ. Он работал с другими сотрудниками МТИ, такими как Норберт Винер, Норман Левинсон и экономист Пол Сэмюэлсон, над разработкой "конволюционной модели" отраженной сейсмограммы. Эта модель предполагает, что записанная сейсмограмма s(t) является сверткой функции отражательной способности Земли e(t) и сейсмического волнового пакета w(t) от точечного источника, где t обозначает время записи. Таким образом, наше уравнение свертки выглядит следующим образом:

Сейсмолога интересует e, которая содержит информацию о структуре Земли. По теореме о свертке, это уравнение можно преобразовать Фурье в частотную область:

где – частотная переменная. Предполагая, что отражательная способность является "белым шумом", мы можем предположить, что спектр мощности отражательной способности постоянен, а спектр мощности сейсмограммы равен спектру волнового пакета, умноженному на эту константу. Таким образом:

Если мы предположим, что волновой пакет имеет минимальную фазу, мы можем восстановить его, вычислив минимально-фазовый эквивалент спектра мощности, который мы только что нашли. Функция отражательной способности может быть восстановлена путем разработки и применения фильтра Винера, который преобразует оцененный волновой пакет в дельта-функцию Дирака (то есть импульс). Результат можно представить как серию масштабированных и сдвинутых дельта-функций (хотя это не является математически строгим):

где N – количество событий отражения, – коэффициенты отражения, – времена отражения каждого события, а – дельта-функция Дирака. На практике, поскольку мы имеем дело с зашумленными, конечнополосными, конечнодлинными и дискретно-выборочными данными, описанная выше процедура дает лишь приближение фильтра, необходимого для деконволюции данных. Однако, сформулировав задачу как решение матрицы Топлица и используя рекурсию Левинсона, мы можем относительно быстро оценить фильтр с наименьшей среднеквадратичной ошибкой. Мы также можем выполнить деконволюцию непосредственно в частотной области и получить аналогичные результаты. Эта техника тесно связана с линейным предсказанием.

Оптическая и другая визуализация

В оптике и визуализации термин "деконволюция" используется специально для обозначения процесса обратного восстановления изображения, устраняющего оптические искажения, возникающие в оптическом микроскопе, электронном микроскопе, телескопе или другом измерительном приборе, что позволяет получить более четкие изображения. Обычно это выполняется в цифровой области с помощью программного алгоритма как часть комплекса методов обработки изображений микроскопа. Деконволюция также эффективна для повышения резкости изображений, страдающих от быстрых движений или колебаний во время захвата. Первые изображения, полученные космическим телескопом Хаббл, были искажены из-за дефекта зеркала и были улучшены с помощью деконволюции. Обычно предполагается, что оптический путь через прибор оптически совершенен и подвергается свертке с функцией рассеяния точки (PSF) – математической функцией, описывающей искажение с точки зрения траектории теоретического точечного источника света (или других волн) в приборе. Обычно такой точечный источник вносит небольшую область размытости в конечное изображение. Если эту функцию можно определить, то необходимо вычислить ее обратную или дополнительную функцию и свернуть полученное изображение с ней. Результатом является исходное, неискаженное изображение. На практике определение истинной PSF невозможно, поэтому обычно используется ее приближение, рассчитанное теоретически или основанное на экспериментальных оценках с использованием известных пробников. Реальная оптика может иметь различные PSF в разных фокусных и пространственных точках, а PSF может быть нелинейной. Точность приближения PSF определяет конечный результат. Для достижения лучших результатов могут использоваться различные алгоритмы, но они требуют больших вычислительных затрат. Поскольку исходная свертка приводит к потере данных, некоторые алгоритмы используют дополнительные данные, полученные в соседних фокусных точках, чтобы компенсировать часть потерянной информации. Регуляризация в итеративных алгоритмах (например, в алгоритмах максимизации ожиданий) может применяться для предотвращения получения нереалистичных решений. Если PSF неизвестна, ее можно оценить, систематически перебирая различные возможные PSF и оценивая, улучшилось ли качество изображения. Эта процедура называется слепой деконволюцией. Для некоторых специфических систем визуализации, таких как лазерные импульсные терагерцовые системы, PSF можно математически моделировать. В результате, как показано на рисунке, деконволюция смоделированной PSF и терагерцового изображения позволяет получить изображение терагерцового диапазона с более высоким разрешением.

Радиоастрономия

При выполнении синтеза изображений в радиоинтерферометрии, особом разделе радиоастрономии, один из этапов заключается в деконволюции полученного изображения с "грязным лучом", который является другим названием функции распределения точки. Распространенным методом является алгоритм CLEAN.

Биология, физиология и медицинские изделия

Типичное применение деконволюции – кинетика трассеров. Например, при измерении концентрации гормона в крови, скорость его секреции можно оценить с помощью деконволюции. Другой пример – оценка концентрации глюкозы в крови на основе измеренной интерстициальной глюкозы, которая является искажённым по времени и амплитуде отражением реальной концентрации глюкозы в крови.

Спектры поглощения

Деконволюция широко применяется к спектрам поглощения. Может быть использован алгоритм Ван Циттерта (статья на немецком языке).

Аспекты преобразования Фурье

Деконволюция соответствует делению в частотной области Фурье. Это позволяет легко применять деконволюцию к экспериментальным данным, которые подвергаются преобразованию Фурье. Примером является ЯМР-спектроскопия, где данные записываются во временной области, но анализируются в частотной области. Деление данных временной области на экспоненциальную функцию приводит к уменьшению ширины лоренцианских линий в частотной области.