Дифференциалдық геометрияда экспоненциалдық бейнелеу

Кіріспе

Дифференциалдық геометриядағы экспоненциалдық карта — Риман геометриясында, Риман (немесе псевдо-Риман) сан алуандығының ТpM жанама кеңістігінің кіші жиынынан сан алуандығының өзіне дейінгі карта. (Псевдо)Риман метрикасы канондық аффиндік байланысты анықтайды, ал (псевдо)Риман сан алуандығының экспоненциалдық картасы осы байланыстың экспоненциалдық картасы арқылы беріледі.

Анықтама

M – дифференциалданатын көптік, ал p – M нүктесі болсын. M-дегі аффиндік байланыс p нүктесі арқылы өтетін түзу сызық ұғымын анықтауға мүмкіндік береді. v ∈ TpM болсын, бұл p нүктесіндегі көптікке жанама вектор. Онда бастапқы жанама векторына сәйкес келетін бірегей геодезиялық γv:[0,1] → M бар. Сәйкес экспоненциалдық бейнелеу былай анықталады. Әдетте, экспоненциалдық бейнелеу тек жергілікті түрде анықталған, яғни ол TpM нүктесінің кішкентай аймағын көптіктің p нүктесінің аймағына жібереді. Бұл оның қарапайым дифференциалдық теңдеулер үшін барлық және бірегейлік теоремасына негізделгендігіне байланысты, ал бұл теорема жергілікті сипатқа ие. Егер экспоненциалдық бейнелеу тангенс бундельдің кез келген нүктесінде жақсы анықталған болса, онда аффиндік байланыс толық деп аталады.

Қасиеттері

Интуитивті түрде айтсақ, экспоненциалдық карта берілген тангенс векторын алып, манифольдқа жібереді, сол нүктеден басталатын геодезиялық бойымен сол бағытта бірлік уақыт аралығында жүреді. v геодезияның жылдамдық векторына сәйкес келетіндіктен, жүрілген нақты (Римандық) қашықтық оған тәуелді болады. Геодезияларды бірлік жылдамдыққа қайта параметрлеуге болады, сондықтан эквивалентті түрде expp(v) = β(|v|) деп анықтауға болады, мұнда β – v бағытында өтетін бірлік жылдамдықты геодезия (доға ұзындығы бойынша параметрленген геодезия). Тангенс векторы v өзгерер кезде, expp қолданғанда, манифольдтағы p нүктесінен белгілі бір қашықтықта жатқан әртүрлі нүктелерді аламыз – бұл манифольдтың тангенс кеңістігінің манифольдтың «сызықтықтануы» екенін көрсетудің ең нақты жолдарының бірі болар. Хопф–Риноу теоремасы, манифольд метрикалық кеңістік ретінде толық болса ғана, бүкіл тангенс кеңістігінде экспоненциалдық картаны анықтау мүмкін екенін айтады (бұл осы қасиетке ие экспоненциалдық картасы бар манифольд үшін әдеттегі геодезиялық толықтық терминін негіздейді). Әсіресе, ықшам манифольдтар геодезиялық жағынан толық. Алайда, егер expp бүкіл тангенс кеңістігінде анықталған болса да, ол жалпы жағдайда жаһандық диффеоморфизм болып табылмайды. Дегенмен, оның тангенс кеңістігінің нөлдік нүктесіндегі дифференциалы – сәйкестік картасы, сондықтан кері функция теоремасы бойынша TpM нөлдік нүктесінің маңында экспоненциалдық карта кіріктірілген (яғни, экспоненциалдық карта жергілікті диффеоморфизм) болатын аймақты табуға болады. TpM-дегі нөлдік нүктеге қатысты ең үлкен шардың радиусы, оны expp арқылы диффеоморфты түрде бейнелеуге болады, M-нің p нүктесіндегі инъективтік радиусы деп аталады. Экспоненциалдық картаның кесілген локусы – экспоненциалдық картаның бірегей минимумға ие болмайтын барлық нүктелердің жиыны. Экспоненциалдық картаның маңызды қасиеті – Гаустың келесі леммасы (тағы бір Гаустың леммасы): экспп анықталу доменіндегі кез келген тангенс векторы v және v ұшында орналасқан басқа w векторы (сондықтан w екі тангенс кеңістігінде Tv(TpM) орналасқан) және v-ге ортогоналды болса, w экспоненциалдық карта арқылы жылжытылғанда v-ге ортогоналды болып қалады. Бұл, атап айтқанда, TpM-дегі нөлдік нүктеге қатысты кішкентай шардың шекаралық сферасы сол векторлармен анықталған M-дегі геодезиялық сызықтармен ортогоналды (яғни, геодезиялық сызықтар радиалды). Бұл Риман манифольдінде геодезиялық нормальдық координаттарды анықтауға себеп болады. Экспоненциалдық карта қисықтықтың абстрактілі анықтамасын бастапқыда Риманның өзі ұсынған нақтырақ көрінісімен байланыстыруға да пайдалы болады – қималық қисықтық интуитивті түрде белгілі бір беттің (яғни, манифольдты 2 өлшемді субманифольдпен кесу) Гаусс қисықтығы ретінде қарастырылады. Экспоненциалдық карта арқылы оны қазір TpM 2 өлшемді кіші кеңістігінің expp арқылы алынған бейнесі арқылы анықталатын p арқылы өтетін беттің Гаусс қисықтығы ретінде дәл анықтауға болады.

Intuitively speaking, the exponential map takes a given tangent vector to the manifold, runs along the geodesic starting at that point and goes in that direction, for one unit of time. Since v corresponds to the velocity vector of the geodesic, the actual (Riemannian) distance traveled will be dependent on that. We can also reparametrize geodesics to be unit speed, so equivalently we can define expp(v) = β(|v|) where β is the unit speed geodesic (geodesic parameterized by arc length) going in the direction of v. As we vary the tangent vector v we will get, when applying expp, different points on M which are within some distance from the base point p—this is perhaps one of the most concrete ways of demonstrating that the tangent space to a manifold is a kind of "linearization" of the manifold. The Hopf–Rinow theorem asserts that it is possible to define the exponential map on the whole tangent space if and only if the manifold is complete as a metric space (which justifies the usual term geodesically complete for a manifold having an exponential map with this property). In particular, compact manifolds are geodesically complete. However even if expp is defined on the whole tangent space, it will in general not be a global diffeomorphism. However, its differential at the origin of the tangent space is the identity map and so, by the inverse function theorem we can find a neighborhood of the origin of TpM on which the exponential map is an embedding (i. e., the exponential map is a local diffeomorphism). The radius of the largest ball about the origin in TpM that can be mapped diffeomorphically via expp is called the injectivity radius of M at p. The cut locus of the exponential map is, roughly speaking, the set of all points where the exponential map fails to have a unique minimum. An important property of the exponential map is the following lemma of Gauss (yet another Gauss's lemma): given any tangent vector v in the domain of definition of expp, and another vector w based at the tip of v (hence w is actually in the double tangent space Tv(TpM)) and orthogonal to v, w remains orthogonal to v when pushed forward via the exponential map. This means, in particular, that the boundary sphere of a small ball about the origin in TpM is orthogonal to the geodesics in M determined by those vectors (i. e., the geodesics are radial). This motivates the definition of geodesic normal coordinates on a Riemannian manifold. The exponential map is also useful in relating the abstract definition of curvature to the more concrete realization of it originally conceived by Riemann himself—the sectional curvature is intuitively defined as the Gaussian curvature of some surface (i. e., a slicing of the manifold by a 2 dimensional submanifold) through the point p in consideration. Via the exponential map, it now can be precisely defined as the Gaussian curvature of a surface through p determined by the image under expp of a 2 dimensional subspace of TpM.