Экспоненциальное отображение в дифференциальной геометрии

Введение

В римановой геометрии экспоненциальное отображение — это отображение из подмножества касательного пространства TpM риманова многообразия (или псевдориманова многообразия) M в само M. (Псевдо)риманова метрика определяет каноническое аффинное соединение, и экспоненциальное отображение (псевдо)риманова многообразия задается экспоненциальным отображением этого соединения.

Определение

Пусть M — дифференцируемое многообразие, а p — точка на M. Аффинное соединение на M позволяет определить понятие прямой линии, проходящей через точку p.

Пусть v ∈ TpM — касательный вектор к многообразию в точке p. Тогда существует единственная геодезическая γv: [0,1] → M, удовлетворяющая условию, что её начальный касательный вектор равен v. Соответствующее отображение экспоненты определяется как exp_p(v). В общем случае, отображение экспоненты определено лишь локально, то есть оно отображает лишь небольшую окрестность нуля в TpM в окрестность точки p в многообразии. Это связано с тем, что оно опирается на теорему о существовании и единственности решения обыкновенных дифференциальных уравнений, которая носит локальный характер. Аффинное соединение называется полным, если отображение экспоненты определено в каждой точке касательного расслоения.

Свойства

Интуитивно говоря, экспоненциальное отображение переносит данный касательный вектор в многообразие, движется вдоль геодезической, начинающейся в этой точке и идущей в этом направлении, в течение единицы времени. Поскольку v соответствует вектору скорости геодезической, фактическое (риманово) расстояние будет зависеть от этого. Мы также можем перепараметризовать геодезические так, чтобы они имели единичную скорость, поэтому эквивалентно мы можем определить expp(v) = β(|v|), где β — геодезическая единичной скорости (геодезическая, параметризованная длиной дуги), идущая в направлении v. Варьируя касательный вектор v, мы получим, при применении expp, различные точки на M, находящиеся на некотором расстоянии от базовой точки p — это, пожалуй, один из наиболее конкретных способов продемонстрировать, что касательное пространство к многообразию является своего рода «линеаризацией» многообразия. Теорема Хопфа — Риноу утверждает, что можно определить экспоненциальное отображение на всем касательном пространстве тогда и только тогда, когда многообразие полно как метрическое пространство (что оправдывает обычный термин «геодезически полное» для многообразия, имеющего экспоненциальное отображение с этим свойством). В частности, компактные многообразия геодезически полны. Однако даже если expp определено на всем касательном пространстве, оно, как правило, не будет глобальным диффеоморфизмом. Тем не менее, его дифференциал в начале касательного пространства является тождественным отображением, и, следовательно, по теореме об обратной функции мы можем найти окрестность начала TpM, на которой экспоненциальное отображение является вложением (т.е. экспоненциальное отображение является локальным диффеоморфизмом). Радиус наибольшего шара вокруг начала в TpM, который можно диффеоморфно отобразить с помощью expp, называется радиусом инъективности M в точке p. Локус разреза экспоненциального отображения, грубо говоря, представляет собой множество всех точек, в которых экспоненциальное отображение не имеет единственного минимума. Важным свойством экспоненциального отображения является следующая лемма Гаусса (еще одна лемма Гаусса): для любого касательного вектора v в области определения expp и другого вектора w, исходящего из конца v (следовательно, w фактически находится в двойном касательном пространстве Tv(TpM)) и ортогонального к v, вектор w остается ортогональным к v при его переносе посредством экспоненциального отображения. Это означает, в частности, что граничная сфера небольшого шара вокруг начала в TpM ортогональна геодезическим в M, определяемым этими векторами (т.е. геодезические являются радиальными). Это мотивирует определение геодезических нормальных координат на римановом многообразии. Экспоненциальное отображение также полезно для связи абстрактного определения кривизны с более конкретной реализацией, первоначально задуманной самим Риманом: сечная кривизна интуитивно определяется как гауссова кривизна некоторой поверхности (т.е. сечения многообразия двумерным подмногообразием) через рассматриваемую точку p. Посредством экспоненциального отображения теперь ее можно точно определить как гауссову кривизну поверхности через p, определяемую образом под expp двухмерного подпространства TpM.

Intuitively speaking, the exponential map takes a given tangent vector to the manifold, runs along the geodesic starting at that point and goes in that direction, for one unit of time. Since v corresponds to the velocity vector of the geodesic, the actual (Riemannian) distance traveled will be dependent on that. We can also reparametrize geodesics to be unit speed, so equivalently we can define expp(v) = β(|v|) where β is the unit speed geodesic (geodesic parameterized by arc length) going in the direction of v. As we vary the tangent vector v we will get, when applying expp, different points on M which are within some distance from the base point p—this is perhaps one of the most concrete ways of demonstrating that the tangent space to a manifold is a kind of "linearization" of the manifold. The Hopf–Rinow theorem asserts that it is possible to define the exponential map on the whole tangent space if and only if the manifold is complete as a metric space (which justifies the usual term geodesically complete for a manifold having an exponential map with this property). In particular, compact manifolds are geodesically complete. However even if expp is defined on the whole tangent space, it will in general not be a global diffeomorphism. However, its differential at the origin of the tangent space is the identity map and so, by the inverse function theorem we can find a neighborhood of the origin of TpM on which the exponential map is an embedding (i. e., the exponential map is a local diffeomorphism). The radius of the largest ball about the origin in TpM that can be mapped diffeomorphically via expp is called the injectivity radius of M at p. The cut locus of the exponential map is, roughly speaking, the set of all points where the exponential map fails to have a unique minimum. An important property of the exponential map is the following lemma of Gauss (yet another Gauss's lemma): given any tangent vector v in the domain of definition of expp, and another vector w based at the tip of v (hence w is actually in the double tangent space Tv(TpM)) and orthogonal to v, w remains orthogonal to v when pushed forward via the exponential map. This means, in particular, that the boundary sphere of a small ball about the origin in TpM is orthogonal to the geodesics in M determined by those vectors (i. e., the geodesics are radial). This motivates the definition of geodesic normal coordinates on a Riemannian manifold. The exponential map is also useful in relating the abstract definition of curvature to the more concrete realization of it originally conceived by Riemann himself—the sectional curvature is intuitively defined as the Gaussian curvature of some surface (i. e., a slicing of the manifold by a 2 dimensional submanifold) through the point p in consideration. Via the exponential map, it now can be precisely defined as the Gaussian curvature of a surface through p determined by the image under expp of a 2 dimensional subspace of TpM.