Кіріспе
Дифференциалдық геометриядағы құрылым. Геометрияда параллельдік тасымалдау (немесе параллельдік аударма) – көпқырлылықтағы тегіс қисықтар бойымен геометриялық деректерді тасымалдау тәсілі. Егер көпқырлылық аффиндік байланыспен жабдықталған болса (ковариантты туынды немесе жанама шоғырғыштағы байланыс), онда бұл байланыс көпқырлылықтың векторларын қисықтар бойымен тасымалдауға мүмкіндік береді, осылайша олар байланысқа қатысты параллель болып қалады. Сондықтан, байланыс үшін параллельдік тасымалдау, белгілі бір мағынада, көпқырлылықтың жергілікті геометриясын қисық бойымен жылжытудың жолын ұсынады: яғни, жақын орналасқан нүктелердің геометриясын байланыстыру. Параллельдік тасымалдауға қатысты көптеген түсініктер болуы мүмкін, бірақ біреуін нақтылау – қисықтағы нүктелердің геометриясын байланыстырудың бір жолы – байланыс берумен тең. Шындығында, байланыс туралы қалыпты түсінік – параллельдік тасымалдаудың инфинитезимальді аналогы. Немесе керісінше, параллельдік тасымалдау – байланыстың жергілікті іске асырылуы. Параллельдік тасымалдау байланыстың жергілікті іске асырылуын қамтамасыз ететіндіктен, ол сонымен қатар қисықтық деп аталатын голономияның жергілікті іске асырылуын да қамтамасыз етеді. Амброз-Сингер теоремасы қисықтық пен голономия арасындағы байланысты нақтылайды. Басқа байланыс түсініктері де өздерінің параллельдік тасымалдау жүйелерімен жабдықталған. Мысалы, векторлық шоғырдағы Козуль байланысы векторларды ковариантты туындымен ұқсас параллельдік тасымалдауға мүмкіндік береді. Эреманн немесе Картан байланысы түтікшеден негізгі шоғырғыштың толық кеңістігіне қисықтарды көтеруді қамтамасыз етеді. Мұндай қисықтарды көтеру кейде анықтамалық жүйелерді параллельдік тасымалдау ретінде қарастырылуы мүмкін.
In geometry, parallel transport (or parallel translation) is a way of transporting geometrical data along smooth curves in a manifold. If the manifold is equipped with an affine connection (a covariant derivative or connection on the tangent bundle), then this connection allows one to transport vectors of the manifold along curves so that they stay parallel with respect to the connection. The parallel transport for a connection thus supplies a way of, in some sense, moving the local geometry of a manifold along a curve: that is, of connecting the geometries of nearby points. There may be many notions of parallel transport available, but a specification of one — one way of connecting up the geometries of points on a curve — is tantamount to providing a connection. In fact, the usual notion of connection is the infinitesimal analog of parallel transport. Or, vice versa, parallel transport is the local realization of a connection. As parallel transport supplies a local realization of the connection, it also supplies a local realization of the curvature known as holonomy. The Ambrose–Singer theorem makes explicit this relationship between the curvature and holonomy. Other notions of connection come equipped with their own parallel transportation systems as well. For instance, a Koszul connection in a vector bundle also allows for the parallel transport of vectors in much the same way as with a covariant derivative. An Ehresmann or Cartan connection supplies a lifting of curves from the manifold to the total space of a principal bundle. Such curve lifting may sometimes be thought of as the parallel transport of reference frames.
Жалпылау
Параллельді тасымалдау векторлық бундельде ғана емес, басқа да байланыс түрлері үшін де жалпырақ анықталуы мүмкін. Бір мысал – негізгі байланыстар. P → M – құрылымдық Lie тобы G және негізгі байланысы ω болатын M көптігінің негізгі бумасы болсын. Векторлық бундельдердегідей, P-дегі негізгі байланыс ω, M-дегі әр қисық γ үшін, γ(s) үстіндегі талшықтан γ(t) үстіндегі талшыққа өтетін бейнелеуді анықтайды, бұл біртекті кеңістіктердің изоморфизмі: яғни, кез келген g ∈ G үшін. Параллельді тасымалдаудың тағы да жалпылануы мүмкін. Эресманн байланыстарының контекстінде, онда байланыс тангенттік кеңістіктердің ерекше «горизонтальды көтеру» түсінігіне байланысты, параллельді тасымалдау горизонтальды көтерулер арқылы анықталуы мүмкін. Картан байланыстары – қосымша құрылымы бар Эресманн байланыстары, бұл параллельді тасымалдауды көптік бойындағы қисық бойымен белгілі бір модельдік кеңістікті «домалату» ретінде қарастыруға мүмкіндік береді. Бұл домалату даму деп аталады.
from the fibre over γ(s) to that over γ(t), which is an isomorphism of homogeneous spaces: i. e. for each g∈G. Further generalizations of parallel transport are also possible. In the context of Ehresmann connections, where the connection depends on a special notion of "horizontal lifting" of tangent spaces, one can define parallel transport via horizontal lifts. Cartan connections are Ehresmann connections with additional structure which allows the parallel transport to be thought of as a map "rolling" a certain model space along a curve in the manifold. This rolling is called development.