Введение

Конструкция в дифференциальной геометрии

В геометрии параллельный транспорт (или параллельное перенесение) — это способ перенесения геометрических данных вдоль гладких кривых в многообразии. Если многообразие снабжено аффинным соединением (ковариантной производной или соединением на касательном расслоении), то это соединение позволяет переносить векторы многообразия вдоль кривых таким образом, чтобы они оставались параллельными относительно этого соединения. Таким образом, параллельный транспорт для соединения предоставляет способ, в некотором смысле, перемещения локальной геометрии многообразия вдоль кривой: то есть, установления связи между геометриями близлежащих точек. Может существовать множество представлений параллельного транспорта, но указание одного — одного способа установления связи между геометриями точек на кривой — эквивалентно заданию соединения. Фактически, обычное понятие соединения является бесконечно малым аналогом параллельного транспорта. Или, наоборот, параллельный транспорт — это локальная реализация соединения. Поскольку параллельный транспорт обеспечивает локальную реализацию соединения, он также обеспечивает локальную реализацию кривизны, известной как голономия. Теорема Амброза — Сингера явно выражает эту связь между кривизной и голономией. Другие понятия соединения также снабжены своими собственными системами параллельного перенесения. Например, соединение Козула в векторном расслоении также позволяет параллельно переносить векторы почти так же, как и ковариантная производная. Соединение Эресмана или Картана обеспечивает поднятие кривых из многообразия в полное пространство главного расслоения. Такое поднятие кривых иногда можно рассматривать как параллельное перенесение систем отсчета.

Обобщения

Параллельный перенос может быть определен в более общем виде для других типов связностей, а не только для тех, которые определены в векторном расслоении. Одно из обобщений относится к главным связностям. Пусть P → M – главное расслоение над многообразием M со структурой группой Ли G и главной связностью ω. Как и в случае векторных расслоений, главная связность ω на P определяет, для каждой кривой γ в M, отображение из волокна над γ(s) в волокно над γ(t), которое является изоморфизмом однородных пространств, то есть для каждого g ∈ G. Возможны и дальнейшие обобщения параллельного переноса. В контексте связностей Эресманна, где связность зависит от специального понятия "горизонтального подъема" касательных пространств, параллельный перенос можно определить через горизонтальные подъемы. Связности Картана – это связности Эресманна с дополнительной структурой, которая позволяет рассматривать параллельный перенос как отображение, "перекатывающее" некоторое модельное пространство вдоль кривой на многообразии. Это перекатывание называется развитием.