Кіріспе
Риман геометриясында қималық қисықтық — Риман көптүрлілігінің қисықтығын сипаттаудың бір жолы. Қималық қисықтық K(σp) — көптүрліліктің p нүктесіндегі жанама кеңістіктің екі өлшемді сызықтық σp подкеңістігіне тәуелді. Оны геометриялық тұрғыдан, σp жазықтығы p нүктесінде жанама жазықтық болатын, σp бағыттарында p нүктесінен басталатын геодезиялықтар арқылы алынған беттің Гаусс қисықтығы ретінде анықтауға болады (яғни, p нүктесіндегі экспоненциалдық бейнелеу арқылы σp-нің бейнесі). Қималық қисықтық — көптүрлілік үстіндегі 2-Грасман шоғырына нақты мәнді функция. Қималық қисықтық қисықтық тензорын толығымен анықтайды.
Баламалы анықтамалар
Сонымен қатар, қима қисықтығы кіші шеңберлердің ұзындығы арқылы сипатталуы мүмкін. екі өлшемді жазықтық болсын. жеткілікті кішкентай болғанда, бірлік шеңбердің экспоненциалды картасы арқылы алынған кескінін белгілейік, ал - оның ұзындығы болсын. Онда мынаны дәлелдеуге болады:
мұндағы - кейбір сан. Бұл сан нүктесіндегі қимасының қисықтығын көрсетеді.
Топоногов теоремасы
Топоногов теоремасы қима қисықтығын, еуропалық аналогтарымен салыстырғанда "толсты" геодезиялық үшбұрыштардың қалай көрінетіні тұрғысынан сипаттайды. Негізгі түсінік мынада: егер кеңістік оң қисықтыққа ие болса, онда үшбұрыштың белгілі бір төбесіне қарсы жағы сол төбеден алшақтауға бейім, ал егер кеңістік теріс қисықтыққа ие болса, онда үшбұрыштың қарсы жағы төбеге қарай иілуге бейім. Нақтырақ айтқанда, M толық Риманн манифольды болсын, ал xyz – M-дегі геодезиялық үшбұрыш (әр қабырғасы ең қысқа геодезиялық болатын үшбұрыш). Соңында, m – геодезиялық xy-дың орта нүктесі болсын. Егер M оң емес қисықтыққа ие болса, онда барлық жеткілікті кішкентай үшбұрыштар үшін, мұндағы d – M-дегі қашықтық функциясы:
where d is the distance function on M. The case of equality holds precisely when the curvature of M vanishes, and the right hand side represents the distance from a vertex to the opposite side of a geodesic triangle in Euclidean space having the same side lengths as the triangle xyz. This makes precise the sense in which triangles are "fatter" in positively curved spaces. In non positively curved spaces, the inequality goes the other way:
If tighter bounds on the sectional curvature are known, then this property generalizes to give a comparison theorem between geodesic triangles in M and those in a suitable simply connected space form; see Toponogov's theorem. Simple consequences of the version stated here are:
A complete Riemannian manifold has non negative sectional curvature if and only if the function is 1 concave for all points p.
A complete simply connected Riemannian manifold has non positive sectional curvature if and only if the function is 1 convex.
Теңдік жағдайы тек M-нің қисықтығы нөлге тең болғанда ғана орындалады, ал оң жағы xyz үшбұрышымен бірдей қабырғалары бар еуропалық кеңістіктегі геодезиялық үшбұрыштың төбесінен қарсы жағына дейінгі қашықтықты көрсетеді. Бұл оң қисықтық кеңістіктерінде үшбұрыштардың "толсты" болуын нақтылай түседі. Оң емес қисықтық кеңістіктерінде теңсіздік кері бағытта жүреді:
where d is the distance function on M. The case of equality holds precisely when the curvature of M vanishes, and the right hand side represents the distance from a vertex to the opposite side of a geodesic triangle in Euclidean space having the same side lengths as the triangle xyz. This makes precise the sense in which triangles are "fatter" in positively curved spaces. In non positively curved spaces, the inequality goes the other way:
If tighter bounds on the sectional curvature are known, then this property generalizes to give a comparison theorem between geodesic triangles in M and those in a suitable simply connected space form; see Toponogov's theorem. Simple consequences of the version stated here are:
A complete Riemannian manifold has non negative sectional curvature if and only if the function is 1 concave for all points p.
A complete simply connected Riemannian manifold has non positive sectional curvature if and only if the function is 1 convex.
Егер қима қисықтығының нақты шектері белгілі болса, онда бұл қасиет M-дегі геодезиялық үшбұрыштар мен тиісті жай байланысты кеңістіктегілер арасындағы салыстыру теоремасын жалпылауға мүмкіндік береді; Топоногов теоремасын қараңыз. Мұнда келтірілген нұсқаның қарапайым салдары: толық Риманн манифольды оң емес қима қисықтығына ие, егер және тек қана функциясы барлық нүктелерде 1-қима болса. Толық жай байланысты Риманн манифольды оң емес қима қисықтығына ие, егер және тек қана функциясы 1-дөңес болса.
where d is the distance function on M. The case of equality holds precisely when the curvature of M vanishes, and the right hand side represents the distance from a vertex to the opposite side of a geodesic triangle in Euclidean space having the same side lengths as the triangle xyz. This makes precise the sense in which triangles are "fatter" in positively curved spaces. In non positively curved spaces, the inequality goes the other way:
If tighter bounds on the sectional curvature are known, then this property generalizes to give a comparison theorem between geodesic triangles in M and those in a suitable simply connected space form; see Toponogov's theorem. Simple consequences of the version stated here are:
A complete Riemannian manifold has non negative sectional curvature if and only if the function is 1 concave for all points p.
A complete simply connected Riemannian manifold has non positive sectional curvature if and only if the function is 1 convex.
Кесінді қимасы оң емес қисықтықты құрайтын манифолдар
1928 жылы Эли Картан Картан–Хадамар теоремасын дәлелдеді: егер M – оң емес қималық қисықтығы бар толық көптік болса, онда оның әмбебап жабуы Евклид кеңістігіне диффеоморфты болады. Атап айтқанда, ол асфералық: i ≥ 2 үшін гомотопиялық топтар бәрі де тривиальды. Сондықтан толық, оң емес қисықтығы бар көпқабаттың топологиялық құрылымы оның негізгі тобымен анықталады. Прейсман теоремасы теріс қисықтығы бар ықшам көптүрліліктердің негізгі тобын шектейді. Картан–Хадамар болжамы классикалық изопериметриялық теңсіздік Картан–Хадамар көптүрліліктері деп аталатын оң емес қисықтығы бар барлық жай ғана байланысқан кеңістіктерде орындалуы керек деп тұжырымдайды.
Кесінді қимасы теріс емес қисықтықты құрайтын манифолдар
Чигер мен Громолл жан теоремасын дәлелдеді, онда кез келген теріс емес қисықтығы бар толық, шексіз емес көпқырлылықта толығымен дөңес, ықшам субкөпқырлылық болады, ол қалыпты шоғырға диффеоморфты. Мұндай субкөпқырлылықты сол көпқырлылықтың жаны деп атайды. Атап айтқанда, бұл теорема сол көпқырлылықтың жанына гомотопты екенін білдіреді, ал жанның өлшемі одан кіші.