Кіріспе
Дифференциалдық геометрияда үш өлшемді кеңістіктегі тегіс беттің Гаусс қисығы немесе Гаусс қисықтығы Κ – берілген нүктедегі негізгі қисықтар κ1 және κ2-нің көбейтіндісі болып табылады:
In differential geometry, the Gaussian curvature or Gauss curvature Κ of a smooth surface in three dimensional space at a point is the product of the principal curvatures, κ1 and κ2, at the given point:
The Gaussian radius of curvature is the reciprocal of Κ. For example, a sphere of radius r has Gaussian curvature everywhere, and a flat plane and a cylinder have Gaussian curvature zero everywhere. The Gaussian curvature can also be negative, as in the case of a hyperboloid or the inside of a torus. Gaussian curvature is an intrinsic measure of curvature, depending only on distances that are measured “within” or along the surface, not on the way it is isometrically embedded in Euclidean space. This is the content of the Theorema egregium. Gaussian curvature is named after Carl Friedrich Gauss, who published the Theorema egregium in 1827.
Гаусс радиусы қисықтықтың К-ның кері шамасы болып табылады. Мысалы, радиусы r болатын сфераның Гаусс қисықтығы барлық жерде оң, ал жазық жазықтық пен цилиндрдің Гаусс қисықтығы барлық жерде нөлге тең болады. Гаусс қисықтығы гиперболоид немесе тордың ішкі беті сияқты теріс те болуы мүмкін. Гаусс қисықтығы – қисықтықтың ішкі өлшемі, ол тек бетте немесе оның бойында өлшенетін қашықтықтарға ғана тәуелді, Евклид кеңістігінде изометриялық енгізілу жолына тәуелді емес. Бұл Theorema egregium-ның мазмұны. Гаусс қисықтығы 1827 жылы Theorema egregium еңбегін жариялаған Карл Фридрих Гаустың құрметіне аталған.
In differential geometry, the Gaussian curvature or Gauss curvature Κ of a smooth surface in three dimensional space at a point is the product of the principal curvatures, κ1 and κ2, at the given point:
The Gaussian radius of curvature is the reciprocal of Κ. For example, a sphere of radius r has Gaussian curvature everywhere, and a flat plane and a cylinder have Gaussian curvature zero everywhere. The Gaussian curvature can also be negative, as in the case of a hyperboloid or the inside of a torus. Gaussian curvature is an intrinsic measure of curvature, depending only on distances that are measured “within” or along the surface, not on the way it is isometrically embedded in Euclidean space. This is the content of the Theorema egregium. Gaussian curvature is named after Carl Friedrich Gauss, who published the Theorema egregium in 1827.
Бейресми анықтама
Кез келген беттің нүктесінде, бетке тік бұрышта орналасқан нормальдық векторды табуға болады; нормальдық векторды қамтитын жазықтықтар нормальдық жазықтықтар деп аталады. Нормальдық жазықтық пен беттің қиылысы нормальдық қима деп аталатын қисық түзеді, ал осы қисықтың қисықтығы – нормальдық қисықтық. Көптеген «тегіс» беттердегі көптеген нүктелер үшін әртүрлі нормальдық қималардың әртүрлі қисықтығы болады; олардың ең жоғары және ең төменгі мәндері негізгі қисықтықтар деп аталады, оларды κ1, κ2 деп атайық. Гаусс қисықтығы – екі негізгі қисықтықтың көбейтіндісі. Гаусс қисықтығының таңбасы бетті сипаттау үшін қолданылуы мүмкін. Егер екі негізгі қисықтық бір таңбаға ие болса: κ1κ2 > 0, онда Гаусс қисықтығы оң, ал бет эллипстік нүктеге ие деп айтылады. Мұндай нүктелерде бет дөңгелек пішіндес болады, жергілікті түрде жанама жазықтығының бір жағында орналасады. Барлық қималық қисықтықтар бірдей таңбаға ие болады. Егер негізгі қисықтықтар әртүрлі таңбаға ие болса: κ1κ2 < 0, онда Гаусс қисықтығы теріс, ал бет гиперболалық немесе ерінді нүктеге ие деп айтылады. Мұндай нүктелерде бет ат құшағы тәрізді болады. Бір негізгі қисықтық теріс, екіншісі оң болғандықтан және нормальдық қисықтық бетке перпендикуляр жазықтықты айналдырғанда екі бағытта үздіріссіз өзгереді, нормальдық қисықтықтар нөлге тең болып, осы нүкте үшін асимптотикалық қисықтарды береді. Егер негізгі қисықтықтардың бірі нөлге тең болса: , Гаусс қисықтығы нөлге тең болады және бет параболалық нүктеге ие деп айтылады. Көптеген беттерде оң Гаусс қисықтығы бар аймақтар (эллипстік нүктелер) және теріс Гаусс қисықтығы бар аймақтар нөлдік Гаусс қисықтығы бар нүктелер қисығымен бөлінеді, ол параболалық сызық деп аталады.
The sign of the Gaussian curvature can be used to characterise the surface. If both principal curvatures are of the same sign: κ1κ2 > 0, then the Gaussian curvature is positive and the surface is said to have an elliptic point. At such points, the surface will be dome like, locally lying on one side of its tangent plane. All sectional curvatures will have the same sign. If the principal curvatures have different signs: κ1κ2 < 0, then the Gaussian curvature is negative and the surface is said to have a hyperbolic or saddle point. At such points, the surface will be saddle shaped. Because one principal curvature is negative, one is positive, and the normal curvature varies continuously if you rotate a plane orthogonal to the surface around the normal to the surface in two directions, the normal curvatures will be zero giving the asymptotic curves for that point. If one of the principal curvatures is zero: , the Gaussian curvature is zero and the surface is said to have a parabolic point. Most surfaces will contain regions of positive Gaussian curvature (elliptical points) and regions of negative Gaussian curvature separated by a curve of points with zero Gaussian curvature called a parabolic line.
Геометриямен байланысы
Егер беттің Гаусс қисықтығы тұрақты нөлге тең болса, онда ол дами алатын бет болып табылады және беттің геометриясы Евклид геометриясы болады. Егер беттің Гаусс қисықтығы тұрақты оң болса, онда беттің геометриясы сфералық геометрия болады. Сфералар мен сфера беттері осы геометрияға ие, бірақ лимон/американдық футбол сияқты басқа мысалдар да бар. Егер беттің Гаусс қисықтығы тұрақты теріс болса, онда ол псевдосфералық бет болып табылады және беттің геометриясы гиперболалық геометрия болады.
Негізгі қисықтықтарға қатынасы
Беттің берілген нүктесіндегі екі басқы қисықтық – сол нүктедегі пішін операторының өзіндік мәндері. Олар беттің осы нүктеден әртүрлі бағыттарда әртүрлі деңгейде иілуін өлшейді. Бетті имплицитті функция теоремасы арқылы екі айнымалы функцияның графигі ретінде бейнелейміз, осындай етіп p нүктесі сындық нүкте болады, яғни f функциясының градиенті нөлге тең (мұны қолайлы қатаң қозғалыс арқылы әрқашан қол жеткізуге болады). Содан кейін p нүктесіндегі беттің Гаусс қисықтығы f функциясының Гессиан матрицасының анықтамасы болып табылады (Гессианның өзіндік мәндерінің көбейтіндісі). (Еске сала кетейік, Гессиан – екінші туындылардың 2×2 матрицасы.) Бұл анықтама шарап/шапка мен қыры бар нүкте арасындағы айырмашылықты бірден түсінуге мүмкіндік береді.
Жалпы қисықтық
Гаусс қисықтығының бетіндегі интегралы белгілі бір аймақтағы жалпы қисықтық деп аталады. Геодезиялық үшбұрыштың жалпы қисықтығы оның бұрыштарының қосындысының π-дан ауытқуына тең. Оң қисықтығы бар беттегі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы π-дан артық, ал теріс қисықтығы бар беттегі үшбұрыштың бұрыштарының қосындысы π-дан кем болады. Евклид жазықтығы сияқты нөлдік қисықтығы бар бетте бұрыштардың қосындысы дәл π радианға тең болады. Гаусс-Боннет теоремасы – одан да жалпы нәтиже.
Теорема эгрегиум
Гаустың Theorema egregium (лат. "көрнекті теорема") беттің гаусс қисықтығын беттегі ұзындық өлшемдері арқылы анықтауға болатынын айтады. Шын мәнінде, оны бірінші негізгі форманы толық білген кезде табуға болады және бірінші негізгі форма мен оның бірінші және екінші реттік ішінара туындылары арқылы өрнектеуге болады. Балама ретінде, R^(3)-тегі беттің екінші негізгі формасының детерминантын да осылай өрнектеуге болады. Бұл теореманың "көрнекті" және таңқаларлық ерекшелігі – R^(3) кеңістігіндегі S бетінің гаусс қисықтығының анықтамасы, әрине, беттің кеңістікте орналасуына байланысты болғанымен, соңғы нәтиже, яғни гаусс қисықтығы, қоршаған кеңістікке сілтеме жасамай, беттің ішкі метрикасымен анықталады: ол ішкі инвариант болып табылады. Атап айтқанда, гаусс қисықтығы беттің изометриялық деформацияларында өзгермейді. Қазіргі дифференциалдық геометрияда "бет" абстрактілі түрде қарастырылғанда екі өлшемді дифференциалданатын көптүрлілік болып табылады. Бұл көзқарасты классикалық бет теориясымен байланыстыру үшін мұндай абстрактілі бет R^(3)-ке енгізіліп, бірінші негізгі формамен берілген риман метрикасымен жабдықталады. Енді ендірудің бейнесін R^(3)-тегі S бет деп алайық. Жергілікті изометрия – бұл f : U → V диффеоморфизмі, U және V – R^(3)-тің ашық аймақтары, және оның S ∩ U-ға шектелуі оның бейнесіне изометрия болып табылады. Theorema egregium содан кейін былай тұжырымдалады:
Мысалы, цилиндрлік түтіктің гаусс қисықтығы нөлге тең, "жазылған" түтік (жазық) сияқты. Екінші жағынан, радиусы R сфераның тұрақты оң қисықтығы R^(-2) және жазық жазықтықтың тұрақты қисықтығы 0 болғандықтан, бұл екі бет тіпті жергілікті түрде де изометриялық емес. Сондықтан, шардың тіпті кішкентай бөлігінің де жазықтық проекциясы қашықтықтарды бұрмалауы керек. Сондықтан, ешқандай картографиялық проекция мүлтіксіз болмайды.
Гаусс-Бонне теоремасы
Гаусс-Бонне теоремасы беттің толық қисықтығын оның Эйлер сипаттамасымен байланыстырады және жергілікті геометриялық қасиеттер мен глобалдық топологиялық қасиеттер арасындағы маңызды байланысты ұсынады.
Тұрақты қисықтықты беттері
Миндинг теоремасы (1839) бірдей тұрақты қисықтығы K болатын барлық беттердің жергілікті изометриялық екенін көрсетеді. Миндинг теоремасының салдары ретінде, қисықтығы нөлге тең болатын кез келген бетті жазық аймақты иіп құрастыруға болады. Мұндай беттер дамытылатын беттер деп аталады. Миндинг сондай-ақ тұрақты оң қисықтығы бар жабық беттің міндетті түрде қатаң болатыны туралы сұрақ қойды. Либманның теоремасы (1900) Миндингтің сұрағына жауап берді. R³ кеңістігіндегі тұрақты оң Гаусс қисықтығы бар жалғыз реттелген (C² классындағы) жабық беттер сфералар болып табылады. Егер сфера деформацияланса, ол сфера болып қала бермейді, бұл сфераның қатаң екенін дәлелдейді. Стандартты дәлелдеу Гильберттің леммасын қолданады, онда ең жоғары басты қисықтығы бар түйінсіз нүктелердің Гаусс қисықтығы оң емес болады. Гильберт теоремасы (1901) R³ кеңістігінде тұрақты теріс Гаусс қисықтығы бар толықталған талдамалық (Cω классындағы) реттелген бет жоқ екенін көрсетеді. Шындығында, бұл қорытынды R³ кеңістігіне енгізілген C² классындағы беттер үшін де жарамды, бірақ C¹ классындағы беттер үшін бұзылады. Псевдосфера шекаралық шеңберінен басқа тұрақты теріс Гаусс қисықтығына ие, онда Гаусс қисықтығы анықталмайды. Тұрақты оң Гаусс қисықтығы бар басқа да беттер бар. Манфредо до Кармо айналу беттерін қарастырады, онда және (екінші түріндегі толық емес эллиптік интеграл). Бұл беттердің барлығы 1 тұрақты Гаусс қисықтығына ие, бірақ олардың шекарасы немесе ерекше нүктесі бар. do Carmo сондай-ақ тұрақты теріс Гаусс қисықтығы бар үш түрлі беттің мысалдарын келтіреді, олардың бірі псевдосфера. Тұрақты Гаусс қисықтығы бар көптеген басқа шектелген беттер де бар. Сфера қатаң болғандықтан изометрияны қолдана отырып иілмейді, бірақ егер кішкентай аймақ алынып тасталса немесе тіпті кішкентай сегмент бойымен кесілсе, нәтижедегі бетті иіп алуға болады. Мұндай иілу Гаусс қисықтығын сақтайды, сондықтан аймағы алынған сфераның кез келген иілуі де тұрақты Гаусс қисықтығына ие болады.