Введение

В римановой геометрии секционная кривизна является одним из способов описания кривизны римановых многообразий. Секционная кривизна K(σp) зависит от двухмерного линейного подпространства σp касательного пространства в точке p многообразия. Геометрически её можно определить как гауссову кривизну поверхности, имеющей плоскость σp в качестве касательной плоскости в точке p, полученной из геодезических, начинающихся в точке p в направлениях σp (иными словами, как образ σp под экспоненциальным отображением в точке p). Секционная кривизна является вещественнозначной функцией на 2-м грассмановом расслоении над многообразием. Секционная кривизна полностью определяет тензор кривизны.

Альтернативные определения

Кроме того, секционная кривизна может быть охарактеризована окружностью малых кругов. Пусть – двумерная плоскость в . Пусть для достаточно малого обозначает образ единичной окружности в под экспоненциальным отображением в точке , а – длину этого образа. Тогда можно доказать, что

при , для некоторого числа . Это число в точке является секционной кривизной в .

Теорема Топоногова

Теорема Топоногова даёт характеристику секционной кривизны с точки зрения того, насколько "толстыми" кажутся геодезические треугольники по сравнению с их евклидовыми аналогами. Основная интуиция заключается в том, что если пространство положительно изогнуто, то сторона треугольника, лежащая напротив заданной вершины, будет стремиться отклоняться от этой вершины, а если пространство отрицательно изогнуто, то противоположная сторона треугольника будет стремиться приближаться к вершине. Более точно, пусть M – полное риманово многообразие, а xyz – геодезический треугольник в M (треугольник, каждая сторона которого является геодезической, минимизирующей длину). Наконец, пусть m – середина геодезической xy. Если M имеет неотрицательную кривизну, то для всех достаточно малых треугольников

где d – функция расстояния на M. Случай равенства достигается тогда и только тогда, когда кривизна M равна нулю, а правая часть представляет собой расстояние от вершины до противоположной стороны геодезического треугольника в евклидовом пространстве с теми же длинами сторон, что и у треугольника xyz. Это точно определяет смысл, в котором треугольники "толще" в пространствах с положительной кривизной. В пространствах с неположительной кривизной неравенство обращается:

Если известны более точные оценки секционной кривизны, то это свойство обобщается и даёт теорему сравнения между геодезическими треугольниками в M и треугольниками в подходящей простосвязной форме пространства; см. теорему Топоногова. Простыми следствиями представленной здесь формулировки являются:

Полное риманово многообразие имеет неотрицательную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция 1-вогнута для всех точек p.
Полное простосвязное риманово многообразие имеет неположительную секционную кривизну тогда и только тогда, когда функция 1-выпукла.

Манифолы с неположительной кривизной сечения

В 1928 году Эли Картан доказал теорему Картана — Адамара: если M — полное многообразие с неотрицательной секционной кривизной, то его универсальное накрытие диффеоморфно евклидову пространству. В частности, оно асферично: группы гомотопий для i ≥ 2 тривиальны. Следовательно, топологическая структура полного многообразия с неотрицательной кривизной определяется его фундаментальной группой. Теорема Прейсмана ограничивает фундаментальную группу компактных многообразий с отрицательной кривизной. Гипотеза Картана — Адамара утверждает, что классическое изопериметрическое неравенство должно выполняться во всех односвязных пространствах с неотрицательной кривизной, которые называются многообразиями Картана — Адамара.

Манифолы с неотрицательной кривизной сечения

Чигер и Громолл доказали свою теорему о душе, которая утверждает, что любое полноe некомпактное многообразие с неотрицательной кривизной имеет полностью выпуклый компактный подмногообразие, такое что диффеоморфно нормальному расслоению этого подмногообразия. Такое подмногообразие называется душой. В частности, эта теорема подразумевает, что многообразие гомотопно своей душе, размерность которой меньше, чем размерность самого многообразия.