Введение

Продукт главных кривизн поверхности

В дифференциальной геометрии гауссова кривизна или кривизна Гаусса Κ гладкой поверхности в трёхмерном пространстве в точке является произведением главных кривизн κ1 и κ2 в данной точке:

Гауссовый радиус кривизны является величиной, обратной К. Например, сфера радиуса r имеет гауссову кривизну повсюду, а плоская плоскость и цилиндр имеют гауссову кривизну, равную нулю, повсюду. Гауссова кривизна также может быть отрицательной, как в случае гиперболоида или внутренней поверхности тора. Гауссова кривизна является внутренней мерой кривизны, зависящей только от расстояний, измеряемых на самой поверхности или вдоль неё, а не от способа её изометрического вложения в евклидово пространство. Это суть теоремы Theorema egregium. Гауссова кривизна названа в честь Карла Фридриха Гаусса, который опубликовал теорему Theorema egregium в 1827 году.

Неофициальное определение

В любой точке поверхности можно найти нормальный вектор, перпендикулярный этой поверхности; плоскости, содержащие нормальный вектор, называются нормальными плоскостями. Пересечение нормальной плоскости и поверхности образует кривую, называемую нормальным сечением, а кривизна этой кривой называется нормальной кривизной. Для большинства точек на большинстве "гладких" поверхностей различные нормальные сечения будут иметь различную кривизну; максимальные и минимальные значения этих кривизн называются главными кривизнами и обозначаются κ1 и κ2. Гауссова кривизна – это произведение двух главных кривизн.

Знак гауссовой кривизны можно использовать для характеристики поверхности. Если обе главные кривизны имеют одинаковый знак: κ1κ2 > 0, то гауссова кривизна положительна, и поверхность называется эллиптической точкой. В таких точках поверхность будет выпуклой, локально лежащей по одну сторону от своей касательной плоскости. Все сечения кривизны будут иметь одинаковый знак. Если главные кривизны имеют разные знаки: κ1κ2 < 0, то гауссова кривизна отрицательна, и поверхность называется гиперболической или седловой точкой. В таких точках поверхность будет иметь форму седла. Поскольку одна главная кривизна отрицательна, а другая положительна, и нормальная кривизна непрерывно меняется при вращении плоскости, ортогональной поверхности, вокруг нормали к поверхности в двух направлениях, нормальные кривизны станут равны нулю, определяя асимптотические кривые для этой точки. Если одна из главных кривизн равна нулю, то гауссова кривизна равна нулю, и поверхность называется параболической точкой. Большинство поверхностей содержат области положительной гауссовой кривизны (эллиптические точки) и области отрицательной гауссовой кривизны, разделенные кривой точек с нулевой гауссовой кривизной, называемой параболической линией.

Отношение к геометрии

Когда поверхность имеет постоянную нулевую гауссову кривизну, то она является развиваемой поверхностью, и геометрия этой поверхности — евклидова геометрия. Когда поверхность имеет постоянную положительную гауссову кривизну, то геометрия поверхности — сферическая геометрия. Сферы и части сфер обладают этой геометрией, но существуют и другие примеры, например, лимон или американский футбольный мяч. Когда поверхность имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, то она является псевдосферической поверхностью, и геометрия поверхности — гиперболическая геометрия.

Отношение к основным кривизнам

Две главных кривизны в данной точке поверхности являются собственными значениями оператора формы в этой точке. Они показывают, насколько поверхность изгибается в разных направлениях от этой точки с разной степенью. Мы представляем поверхность с помощью теоремы об неявной функции как график функции f двух переменных, таким образом, чтобы точка p была критической точкой, то есть градиент f обращается в ноль (этого всегда можно достичь подходящим жестким движением). Тогда гауссова кривизна поверхности в точке p является определителем гессианской матрицы f (являясь произведением собственных значений гессиана). (Вспомним, что гессиан – это матрица 2x2 вторых производных.) Это определение позволяет сразу же понять различие между вогнутой/выпуклой формой и седловой точкой.

Общая кривизна

Поверхностный интеграл гауссовой кривизны по некоторой области поверхности называется полной кривизной. Полная кривизна геодезического треугольника равна отклонению суммы его углов от π. Сумма углов треугольника на поверхности с положительной кривизной превысит π, в то время как сумма углов треугольника на поверхности с отрицательной кривизной будет меньше π. На поверхности с нулевой кривизной, такой как евклидова плоскость, углы в сумме дадут ровно π радиан. Более общим результатом является теорема Гаусса — Бонне.

Теорема эгрегиум

Теорема Гаусса (лат. Theorema egregium) гласит, что гауссова кривизна поверхности может быть определена на основе измерений длин на самой поверхности. Фактически, её можно найти при полном знании первой основной формы и выразить через первую основную форму и её частные производные первого и второго порядка. Эквивалентно, детерминант второй основной формы поверхности в R³ может быть выражен таким образом. «Замечательная» и удивительная особенность этой теоремы заключается в том, что, хотя определение гауссовой кривизны поверхности S в R³ безусловно зависит от способа расположения поверхности в пространстве, конечный результат, сама гауссова кривизна, определяется внутренней метрикой поверхности без каких-либо дополнительных ссылок на окружающее пространство: это внутренний инвариант. В частности, гауссова кривизна инвариантна относительно изометрических деформаций поверхности. В современной дифференциальной геометрии «поверхность», рассматриваемая абстрактно, представляет собой двумерное дифференцируемое многообразие. Чтобы связать эту точку зрения с классической теорией поверхностей, такая абстрактная поверхность вкладывается в R³ и наделяется римановой метрикой, заданной первой основной формой. Предположим, что образ вложения представляет собой поверхность S в R³. Локальная изометрия — это диффеоморфизм f: U → V между открытыми областями R³, ограничение которого на S ∩ U является изометрией на свой образ. Теорема эгрегиума формулируется следующим образом:

Например, гауссова кривизна цилиндрической трубки равна нулю, как и для «развернутой» трубки (которая плоская). С другой стороны, поскольку сфера радиуса R имеет постоянную положительную кривизну R⁻², а плоская плоскость имеет постоянную кривизну 0, эти две поверхности не являются изометрическими, даже локально. Таким образом, любое плоское представление даже небольшой части сферы должно искажать расстояния. Следовательно, ни одна картографическая проекция не является совершенной.

Теорема Гаусса Бонне

Теорема Гаусса — Бонне связывает полную гауссову кривизну поверхности с её характеристикой Эйлера и устанавливает важную связь между локальными геометрическими свойствами и глобальными топологическими свойствами.

Поверхности с постоянной кривизной

Теорема Миндинга (1839) утверждает, что все поверхности с одинаковой постоянной кривизной K локально изметричны. Следствием теоремы Миндинга является то, что любую поверхность, кривизна которой тождественно равна нулю, можно построить путем изгибания некоторой плоской области. Такие поверхности называются развиваемыми. Миндинг также задался вопросом, является ли замкнутая поверхность с постоянной положительной кривизной обязательно жесткой. Теорема Либмана (1900) ответила на вопрос Миндинга. Единственными регулярными (класса C^(2)) замкнутыми поверхностями в R^(3) с постоянной положительной гауссовой кривизной являются сферы. Если сфера деформируется, она не остается сферой, что доказывает ее жесткость. Стандартное доказательство использует лемму Гильберта о том, что не-пупочные точки экстремальной главной кривизны имеют неположительную гауссову кривизну. Теорема Гильберта (1901) утверждает, что не существует полной аналитической (класса C^(ω)) регулярной поверхности в R^(3) с постоянной отрицательной гауссовой кривизной. Фактически, это заключение также верно для поверхностей класса C^(2), погруженных в R^(3), но не выполняется для поверхностей класса C^(1). Псевдосфера имеет постоянную отрицательную гауссову кривизну, за исключением ее граничного круга, где гауссова кривизна не определена. Существуют и другие поверхности, обладающие постоянной положительной гауссовой кривизной. Манфредо до Кармо рассматривает поверхности вращения, где , и (неполный эллиптический интеграл второго рода). Все эти поверхности имеют постоянную гауссову кривизну, равную 1, но при либо имеют границу, либо сингулярную точку. До Кармо также приводит три различных примера поверхностей с постоянной отрицательной гауссовой кривизной, одним из которых является псевдосфера. Существует множество других возможных ограниченных поверхностей с постоянной гауссовой кривизной. В то время как сфера жесткая и не может быть изогнута с помощью изометрии, если удалить небольшую область или даже сделать разрез вдоль небольшого сегмента, то полученную поверхность можно согнуть. Такое изгибание сохраняет гауссову кривизну, поэтому любое такое изгибание сферы с удаленной областью также будет иметь постоянную гауссову кривизну.