Кіріспе
Функциялардың талдаудағы жинақталу нүктесі – жалпы математикалық ұғым.
the mathematical concept in general
10.841471 0.10.998334 0.010.999983
Функция \tfrac{\sin x}{x} нөлде анықталмаса да, x нөлге қаншама жақындаса, \tfrac{\sin x}{x} 1-ге соншама жақындап келеді. Басқаша айтқанда, x нөлге жақындағанда, \tfrac{\sin x}{x} функциясының лимиті 1-ге тең. Математикада функцияның лимиті – калькулюс және талдаудағы негізгі ұғым, ол функцияның доменде болуы немесе болмауы мүмкін белгілі бір аргументке жақын қалай өзгеретінін көрсетеді. Алғаш рет 19 ғасырдың басында жасалған формалды анықтамалар төменде келтірілген. Формальды емес тұрғыдан алғанда, f функциясы әрбір x аргументіне f(x) мәнін сәйкес қояды. Егер x аргументі p-ге жақындағанда f(x) мәні L-ге жақындаса, онда функцияның p нүктесінде L лимиті бар дейміз. Нақтырақ айтқанда, егер x аргументі p-ге жеткілікті жақын болса, f(x) мәнін L-ге кез келген дәлдікпен жақындатуға болады. Егер p-ге өте жақын аргументтердің мәндері бір-бірінен белгілі бір қашықтықта болатын мәндерге сәйкес келсе, онда лимит жоқ деп айтамыз. Лимит ұғымы қазіргі заманғы калькулюсте көптеген қолданыстарға ие. Атап айтқанда, үздіксіздіктің көптеген анықтамалары лимит ұғымын қолданады: функцияның барлық лимиттері функцияның мәндерімен сәйкес келсе, онда функция үздіксіз болады. Лимит ұғымы туындының анықтамасында да қолданылады: бір айнымалының калькулісінде бұл функция графигіне жүргізілген жанама сызықтардың еңістігінің лимиттік мәні.
Although the function \tfrac{\sin x}{x} is not defined at zero, as x becomes closer and closer to zero, \tfrac{\sin x}{x} becomes arbitrarily close to 1. In other words, the limit of \tfrac{\sin x}{x}, as x approaches zero, equals 1. In mathematics, the limit of a function is a fundamental concept in calculus and analysis concerning the behavior of that function near a particular input which may or may not be in the domain of the function. Formal definitions, first devised in the early 19th century, are given below. Informally, a function f assigns an output f(x) to every input x. We say that the function has a limit L at an input p, if f(x) gets closer and closer to L as x moves closer and closer to p. More specifically, the output value can be made arbitrarily close to L if the input to f is taken sufficiently close to p. On the other hand, if some inputs very close to p are taken to outputs that stay a fixed distance apart, then we say the limit does not exist. The notion of a limit has many applications in modern calculus. In particular, the many definitions of continuity employ the concept of limit: roughly, a function is continuous if all of its limits agree with the values of the function. The concept of limit also appears in the definition of the derivative: in the calculus of one variable, this is the limiting value of the slope of secant lines to the graph of a function.
Тарих
17 және 18 ғасырлардағы есептеулердің дамуында болғанымен, функцияның лимиті туралы қазіргі заманғы түсінік Больцаноға қатысты, ол 1817 жылы үздіксіз функцияларды анықтау үшін эпсилон-дельта техникасының негіздерін енгізді (төмендегі лимит анықтамасын қараңыз). Бірақ оның еңбектері оның өмірлік кезеңінде кеңінен танылмады. 1821 жылы жарияланған "Cours d'analyse" кітабында Августин Луи Коши өзгермелі шамалар, инфинитезимальдар және лимиттер туралы талқылады, ал үздіксіздікті x-тің инфинитезимальдық өзгеруі y-тің инфинитезимальдық өзгеруін міндетті түрде тудырады деп анықтады. Ал Грабинер оның дәлелдемелерінде қатаң эпсилон-дельта анықтамасын қолданғанын айтады. 1861 жылы Вейерштрасс лимиттің эпсилон-дельта анықтамасын қазіргі кезде қолданылатын түрінде алғаш рет енгізді. Ол сондай-ақ белгілерді енгізді және. Лимит символының астына жебені қоюдың қазіргі заманғы жазу тәсілі Хардиге тиесілі, ол 1908 жылы "Таза математика курсы" кітабында оны енгізді.
The modern notation of placing the arrow below the limit symbol is due to Hardy, which is introduced in his book A Course of Pure Mathematics in 1908.
Сүрлеу реті бойынша
Нақты түзудегі функциялар үшін функцияның лимитін анықтаудың бір жолы – реттіктердің лимиті арқылы болады. (Бұл анықтама әдетте Эдуард Хайнеге жатқызылады.) Осы ретте:
егер және тек қана, барлық реттіктер үшін (барлық n үшін a-ға тең болмайтын) a-ға жақындаса, онда реттік L-ге жақындайды. 1916 жылы Sierpiński осы анықтаманың және жоғарыдағы анықтаманың эквиваленттілігін дәлелдеу үшін таңдау аксиомасының әлсіз түрі қажет екенін және оған эквивалентті екенін көрсетті. Реттік a-ға жақындауын анықтау үшін epsilon-delta әдісі қолданылады. Вейерштрасс анықтамасында болғандай, Хайне анықтамасының жалпыланған түрі нақты түзудің ішкі жиындарында анықталған функцияларға да қолданылады. f – Dm(f) домені бар нақты мәнді функция болсын. a – Dm(f) \ {a} элементтерінің реттігінің лимиті болсын. Онда f-тің лимиті (осы мағынада) L болады, егер x p-ге жақындағанда, a-ға жақындайтын әрбір реттік үшін (яғни, барлық n үшін a-ға тең болмайтын) реттік L-ге жақындайды. Бұл Dm(f) ішкі жиынын \R ретінде индукцияланған метрикамен метрикалық кеңістік ретінде қарастыру арқылы алдыңғы бөлімде алынған реттік лимитінің анықтамасымен бірдей.
if for every sequence (so that for all n, is not equal to a) that converges to a, the sequence converges to L. This is the same as the definition of a sequential limit in the preceding section obtained by regarding the subset Dm(f ) of \R as a metric space with the induced metric.
Жақындық бойынша
1908 жылы математиканың халықаралық конгресінде Ф. Риесс шектер мен сабақтастықты анықтаудың "жақындық" деп аталатын баламалы әдісін енгізді. x нүктесі жиынға жақын деп егер әр r > 0 үшін A жиынында a нүктесі болса анықталады, яғни. Бұл жағдайда, егер және тек қана барлық L үшін f(A) жиынына жақын болса, a нүктесі A жиынына жақын болады. Мұнда f(A) жиыны – {f(a) : a ∈ A} болып табылады. Бұл анықтама метрикалық және топологиялық кеңістіктерге де қолданылуы мүмкін.
if and only if for all L is near f(A) whenever a is near A. Here f(A) is the set This definition can also be extended to metric and topological spaces.
Тұрақтылықпен байланыс
Функцияның шегі туралы ұғым, үздіксіздік ұғымымен тығыз байланысты. Егер f функциясы c нүктесінде анықталған болса және оның c нүктесіндегі мәні, x-тің c-ге жақындағандағы f функциясының шегіне тең болса, онда оны c нүктесінде үздіксіз деп айтамыз: (Біз мұнда c нүктесінің f функциясының анықталу облысының шегі деп есептейміз.)
(We have here assumed that c is a limit point of the domain of f.)
Қасиеттері
Егер f функциясы нақты мәнді болса, онда f-тың p-дегі лимиті L болады, егер және тек қана егер f-тың p-дегі оң жақ лимиті және сол жақ лимиті бар болса және L-ге тең болса. f функциясы p-де үздіксіз болады, егер және тек қана егер f(x)-тың лимиті, x p-ге жақындағанда, f(p)-ге тең болса. Егер f: M → N М және N метрикалық кеңістіктер арасындағы функция болса, онда f M-дегі p-ге жақындаған кез келген тізбекті N-дегі f(p)-ге жақындаған тізбекке айналдырады. Егер N - нормаланған векторлық кеңістік болса, онда лимит операциясы келесі мағынада сызықтық болады: егер f(x)-тың лимиті, x p-ге жақындағанда, L болса және g(x)-тың лимиті, x p-ге жақындағанда, P болса, онда f(x) + g(x)-тың лимиті, x p-ге жақындағанда, L + P болады. Егер a - негізгі өрістен алынған скаляр болса, онда af(x)-тың лимиті, x p-ге жақындағанда, aL болады. Егер f және g нақты мәнді (немесе комплекс мәнді) функциялар болса, онда f(x) және g(x) операциясының лимитін алу (мысалы, f + g, f − g, f × g, f / g) белгілі бір шарттарда f(x) және g(x) лимиттерінің операциясымен сәйкес келеді. Бұл факт көбінесе алгебралық лимит теоремасы деп аталады. Келесі ережелерді қолдану үшін қажетті негізгі шарт – теңдеулердің оң жағындағы лимиттердің болуы (яғни, бұл лимиттер шекті мәндер, 0-ді қоса алғанда). Бұдан өзге, бөлу үшін атаушының оң жақта нөлге тең болмауы керек (0-ға бөлу анықталмаған), ал дәрежелеу үшін негіз оң болуы керек немесе нөл, ал дәреже оң (шекті) болуы керек. Бұл ережелер бір жақты лимиттер үшін де жарамды, соның ішінде p ∞ немесе −∞ болған кезде. Жоғарыдағы әрбір ережеде оң жақтағы лимиттердің бірі ∞ немесе −∞ болса, сол жақтағы лимит кейде келесі ережелермен анықталуы мүмкін. (Қосымша, кеңейтілген нақты сандар туралы қараңыз). Басқа жағдайларда сол жақтағы лимит әлі де болуы мүмкін, бірақ оң жақтағы белгісіз форма деп аталатын нәтиже оны анықтауға мүмкіндік бермейді. Бұл f және g функцияларына байланысты. Бұл белгісіз формалар:
The function f is continuous at p if and only if the limit of f(x) as x approaches p exists and is equal to f(p). If f : M → N is a function between metric spaces M and N, then it is equivalent that f transforms every sequence in M which converges towards p into a sequence in N which converges towards f(p). If N is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of f(x) as x approaches p is L and the limit of g(x) as x approaches p is P, then the limit of f(x) + g(x) as x approaches p is L + P. If a is a scalar from the base field, then the limit of af(x) as x approaches p is aL. If f and g are real valued (or complex valued) functions, then taking the limit of an operation on f(x) and g(x) (e. g., f + g, f − g, f × g, f / g, ) under certain conditions is compatible with the operation of limits of f(x) and g(x). This fact is often called the algebraic limit theorem. The main condition needed to apply the following rules is that the limits on the right hand sides of the equations exist (in other words, these limits are finite values including 0). Additionally, the identity for division requires that the denominator on the right hand side is non zero (division by 0 is not defined), and the identity for exponentiation requires that the base is positive, or zero while the exponent is positive (finite). These rules are also valid for one sided limits, including when p is ∞ or −∞. In each rule above, when one of the limits on the right is ∞ or −∞, the limit on the left may sometimes still be determined by the following rules. (see also Extended real number line). In other cases the limit on the left may still exist, although the right hand side, called an indeterminate form, does not allow one to determine the result. This depends on the functions f and g. These indeterminate forms are:
See further L'Hôpital's rule below and Indeterminate form.
Қосымша, төмендегі L'Hôpital ережесін және белгісіз форманы қараңыз.
The function f is continuous at p if and only if the limit of f(x) as x approaches p exists and is equal to f(p). If f : M → N is a function between metric spaces M and N, then it is equivalent that f transforms every sequence in M which converges towards p into a sequence in N which converges towards f(p). If N is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of f(x) as x approaches p is L and the limit of g(x) as x approaches p is P, then the limit of f(x) + g(x) as x approaches p is L + P. If a is a scalar from the base field, then the limit of af(x) as x approaches p is aL. If f and g are real valued (or complex valued) functions, then taking the limit of an operation on f(x) and g(x) (e. g., f + g, f − g, f × g, f / g, ) under certain conditions is compatible with the operation of limits of f(x) and g(x). This fact is often called the algebraic limit theorem. The main condition needed to apply the following rules is that the limits on the right hand sides of the equations exist (in other words, these limits are finite values including 0). Additionally, the identity for division requires that the denominator on the right hand side is non zero (division by 0 is not defined), and the identity for exponentiation requires that the base is positive, or zero while the exponent is positive (finite). These rules are also valid for one sided limits, including when p is ∞ or −∞. In each rule above, when one of the limits on the right is ∞ or −∞, the limit on the left may sometimes still be determined by the following rules. (see also Extended real number line). In other cases the limit on the left may still exist, although the right hand side, called an indeterminate form, does not allow one to determine the result. This depends on the functions f and g. These indeterminate forms are:
See further L'Hôpital's rule below and Indeterminate form.