Кіріспе
Сансыз тізбектің ұмтылатын мәні – жалпы математикалық ұғым.
the general mathematical concept
10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
As the positive integer becomes larger and larger, the value becomes arbitrarily close to We say that "the limit of the sequence equals ." In mathematics, the limit of a sequence is the value that the terms of a sequence "tend to", and is often denoted using the symbol (e. g., ). If such a limit exists, the sequence is called convergent. A sequence that does not converge is said to be divergent. The limit of a sequence is said to be the fundamental notion on which the whole of mathematical analysis ultimately rests. Pietro Mengoli anticipated the modern idea of limit of a sequence with his study of quasi proportions in Geometriae speciosae elementa (1659). He used the term quasi infinite for unbounded and quasi null for vanishing. Newton dealt with series in his works on Analysis with infinite series (written in 1669, circulated in manuscript, published in 1711), Method of fluxions and infinite series (written in 1671, published in English translation in 1736, Latin original published much later) and Tractatus de Quadratura Curvarum (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his Optiks). In the latter work, Newton considers the binomial expansion of , which he then linearizes by taking the limit as tends to
In the 18th century, mathematicians such as Euler succeeded in summing some divergent series by stopping at the right moment; they did not much care whether a limit existed, as long as it could be calculated. At the end of the century, Lagrange in his Théorie des fonctions analytiques (1797) opined that the lack of rigour precluded further development in calculus. Gauss in his etude of hypergeometric series (1813) for the first time rigorously investigated the conditions under which a series converged to a limit. The modern definition of a limit (for any there exists an index so that ) was given by Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, which was little noticed at the time), and by Karl Weierstrass in the 1870s.
10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
Оң бүтін сан *n* ұлғая берген сайын, мән *x* саны дерлік жақын болады. Біз "тізбектің шегі *L* тең" дейміз. Математикада тізбектің шегі – тізбектің мүшелері "ұмтылатын" мән, және осыны білдіру үшін 𝐥𝐢𝐦 (мысалы, lim 𝑥𝑛). Егер мұндай шек болса, тізбек конвергентті деп аталады. Конвергент болмайтын тізбек дивергентті деп аталады. Тізбектің шегі – математикалық талдаудың негізінде жатқан түйіршік ұғым. Пьетро Менголи 1659 жылы жарық көрген *Geometriae speciosae elementa* еңбегінде квази пропорцияларды зерттеу арқылы тізбектің шегі туралы қазіргі заманғы идеяны болжады. Ол шексіз үлкен үшін "квази шексіз", ал нөлге жақындау үшін "квази нөл" терминдерін қолданды. Ньютон 1669 жылы жазылған, қолжазба түрінде тараған және 1711 жылы басылған *Шексіз сериялар бойынша талдау*, 1671 жылы жазылған, 1736 жылы ағылшын тіліне аударылған (латын түпнұсқасы кейінірек жарық көрген) *Флюксиялар және шексіз сериялар әдісі* және 1693 жылы жазылған, 1704 жылы *Оптика* кітабына қосымша ретінде басылған *Квадраттарды табу туралы трактат* еңбектерінде сериялармен айналысты. Соңғы еңбекте Ньютон (1+x)n биномдық кеңеюін қарастырады, содан кейін *n* шексіздікке ұмтылғанда оны сызықтықтайды.
the general mathematical concept
10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
As the positive integer becomes larger and larger, the value becomes arbitrarily close to We say that "the limit of the sequence equals ." In mathematics, the limit of a sequence is the value that the terms of a sequence "tend to", and is often denoted using the symbol (e. g., ). If such a limit exists, the sequence is called convergent. A sequence that does not converge is said to be divergent. The limit of a sequence is said to be the fundamental notion on which the whole of mathematical analysis ultimately rests. Pietro Mengoli anticipated the modern idea of limit of a sequence with his study of quasi proportions in Geometriae speciosae elementa (1659). He used the term quasi infinite for unbounded and quasi null for vanishing. Newton dealt with series in his works on Analysis with infinite series (written in 1669, circulated in manuscript, published in 1711), Method of fluxions and infinite series (written in 1671, published in English translation in 1736, Latin original published much later) and Tractatus de Quadratura Curvarum (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his Optiks). In the latter work, Newton considers the binomial expansion of , which he then linearizes by taking the limit as tends to
In the 18th century, mathematicians such as Euler succeeded in summing some divergent series by stopping at the right moment; they did not much care whether a limit existed, as long as it could be calculated. At the end of the century, Lagrange in his Théorie des fonctions analytiques (1797) opined that the lack of rigour precluded further development in calculus. Gauss in his etude of hypergeometric series (1813) for the first time rigorously investigated the conditions under which a series converged to a limit. The modern definition of a limit (for any there exists an index so that ) was given by Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, which was little noticed at the time), and by Karl Weierstrass in the 1870s.
18 ғасырда Эйлер сияқты математиктер кейбір дивергентті серияларды дұрыс уақытта тоқтату арқылы қосуға қол жеткізді; олар шек бар-жоққа көңіл бөлмеді, егер оны есептеуге болар болса. Ғасырдың соңында Лагранж өзінің 1797 жылы жарық көрген *Аналитикалық функциялар теориясы* еңбегінде қатаңдықтың жетіспеуі есептеудің одан әрі дамуына кедергі келтіретінін айтты. Гаусс 1813 жылы жарық көрген гипергеометриялық қатарлар туралы зерттеуінде серияның шекке қарай ұмтылу шартын алғаш рет қатаң түрде зерттеді. Шектің қазіргі заманғы анықтамасы (әр ε үшін, |𝑥𝑛 − 𝐿| < ε болатындай *n* индексі табылады) – Бернард Болцано (1816, Прага, *Der binomische Lehrsatz*, сол кезде көп назар аудармаған) және 1870 жылдары Карл Вейерштрасс берген.
the general mathematical concept
10.84147120.958851 100.998334 1000.999983
As the positive integer becomes larger and larger, the value becomes arbitrarily close to We say that "the limit of the sequence equals ." In mathematics, the limit of a sequence is the value that the terms of a sequence "tend to", and is often denoted using the symbol (e. g., ). If such a limit exists, the sequence is called convergent. A sequence that does not converge is said to be divergent. The limit of a sequence is said to be the fundamental notion on which the whole of mathematical analysis ultimately rests. Pietro Mengoli anticipated the modern idea of limit of a sequence with his study of quasi proportions in Geometriae speciosae elementa (1659). He used the term quasi infinite for unbounded and quasi null for vanishing. Newton dealt with series in his works on Analysis with infinite series (written in 1669, circulated in manuscript, published in 1711), Method of fluxions and infinite series (written in 1671, published in English translation in 1736, Latin original published much later) and Tractatus de Quadratura Curvarum (written in 1693, published in 1704 as an Appendix to his Optiks). In the latter work, Newton considers the binomial expansion of , which he then linearizes by taking the limit as tends to
In the 18th century, mathematicians such as Euler succeeded in summing some divergent series by stopping at the right moment; they did not much care whether a limit existed, as long as it could be calculated. At the end of the century, Lagrange in his Théorie des fonctions analytiques (1797) opined that the lack of rigour precluded further development in calculus. Gauss in his etude of hypergeometric series (1813) for the first time rigorously investigated the conditions under which a series converged to a limit. The modern definition of a limit (for any there exists an index so that ) was given by Bernard Bolzano (Der binomische Lehrsatz, Prague 1816, which was little noticed at the time), and by Karl Weierstrass in the 1870s.
Нақты сандар
Нақты сандарда, егер тізбектегі сандар -қа қарай жақындаса да, басқа ешқандай санға жақындамаса, онда -тізбектің лимиті болады.
Қасиеттері
Хаусдорф кеңістігінде, егер шектері болса, тізбектердің шектері бірегей болады. Гаусдорф емес кеңістіктерде бұл міндетті түрде осылай болуы керек емес; атап айтқанда, егер екі нүкте топологиялық тұрғыдан ажыратылмайтын болса, онда кез келген тізбек біреуіне жуысса, екіншісіне де жуысуы керек, және керісінше.
Бірден көп индекстің тізбектілігі
Кейде бірнеше индексі бар тізбекті де қарастыруға болады, мысалы, екі индекс тізбегі. Бұл тізбек, егер n және m екеуі де шексіз үлкен болғанда белгілі бір мәнге жақындаса, лимиттеледі.
Мысал
Егер тұрақты болса, онда егер болса, егер болса, шек жоқ. және арасындағы өсу жылдамдығына байланысты, бұл тізбек және арасындағы кез келген мәнге жақындауы мүмкін.
Қайталанған шекті
Екілік тізбек үшін , біз бір индексте, мысалы, лимит алып, бір тізбекке , ал екінші индексте, яғни лимит алып, санды алуға болады. Шартты түрде, Бұл лимит екілік тізбектің итерациялық шегі деп аталады. Шекті алу реті нәтижеге әсер етуі мүмкін, яғни, жалпы жағдайда . Теңдік үшін жеткілікті шарт Мур-Осгуд теоремасымен берілген, ол лимиттің -та біркелкі болуын қажет етеді.
This limit is known as iterated limit of the double sequence. The order of taking limits may affect the result, i. e.,
in general. A sufficient condition of equality is given by the Moore Osgood theorem, which requires the limit to be uniform in .