Введение
Точка, к которой сходятся функции в анализе – математическая концепция в целом.
the mathematical concept in general
10.841471 0.10.998334 0.010.999983
Хотя функция \tfrac{\sin x}{x} не определена в нуле, по мере того как x приближается к нулю, \tfrac{\sin x}{x} становится сколь угодно близким к 1. Иными словами, предел функции \tfrac{\sin x}{x} при x, стремящемся к нулю, равен 1. В математике предел функции – это фундаментальное понятие в математическом анализе и исчислении, касающееся поведения функции вблизи некоторой точки, которая может как входить, так и не входить в область определения функции. Формальные определения, впервые разработанные в начале XIX века, приведены ниже. Неформально, функция f сопоставляет каждому входному значению x некоторое выходное значение f(x). Мы говорим, что функция имеет предел L в точке p, если f(x) становится сколь угодно близким к L при стремлении x к p. Более точно, выходное значение можно сделать сколь угодно близким к L, если входное значение для f выбрать достаточно близким к p. С другой стороны, если некоторые значения x, очень близкие к p, соответствуют выходным значениям, которые остаются на фиксированном расстоянии друг от друга, то мы говорим, что предела не существует. Понятие предела имеет множество применений в современном исчислении. В частности, многие определения непрерывности используют понятие предела: грубо говоря, функция непрерывна, если все её пределы совпадают со значениями самой функции. Понятие предела также используется в определении производной: в исчислении одной переменной это предельное значение наклона секущих к графику функции.
Although the function \tfrac{\sin x}{x} is not defined at zero, as x becomes closer and closer to zero, \tfrac{\sin x}{x} becomes arbitrarily close to 1. In other words, the limit of \tfrac{\sin x}{x}, as x approaches zero, equals 1. In mathematics, the limit of a function is a fundamental concept in calculus and analysis concerning the behavior of that function near a particular input which may or may not be in the domain of the function. Formal definitions, first devised in the early 19th century, are given below. Informally, a function f assigns an output f(x) to every input x. We say that the function has a limit L at an input p, if f(x) gets closer and closer to L as x moves closer and closer to p. More specifically, the output value can be made arbitrarily close to L if the input to f is taken sufficiently close to p. On the other hand, if some inputs very close to p are taken to outputs that stay a fixed distance apart, then we say the limit does not exist. The notion of a limit has many applications in modern calculus. In particular, the many definitions of continuity employ the concept of limit: roughly, a function is continuous if all of its limits agree with the values of the function. The concept of limit also appears in the definition of the derivative: in the calculus of one variable, this is the limiting value of the slope of secant lines to the graph of a function.
История
Хотя идея предела функции зародилась в развитии математического анализа в 17-м и 18-м веках, современное понимание предела восходит к Болцано, который в 1817 году ввёл основы эпсилон-дельта техники (см. (ε, δ) определение предела ниже) для определения непрерывных функций. Однако его работы не были известны при его жизни. В своей книге 1821 года «Курс анализа» Огюстен Луи Коши рассматривал переменные величины, бесконечно малые и пределы, и определил непрерывность, утверждая, что бесконечно малое изменение в x неизбежно влечёт за собой бесконечно малое изменение в y, в то время как Грабинер утверждает, что он использовал строгое эпсилон-дельта определение в доказательствах. В 1861 году Вейерштрасс впервые представил эпсилон-дельта определение предела в форме, в которой оно обычно записывается сегодня. Он также ввёл обозначения и . Современное обозначение, при котором стрелка помещается под символ предела, принадлежит Харди и было введено им в книге «Курс чистой математики» в 1908 году.
The modern notation of placing the arrow below the limit symbol is due to Hardy, which is introduced in his book A Course of Pure Mathematics in 1908.
С точки зрения последовательности
Для функций на вещественной прямой один из способов определения предела функции – через предел последовательностей. (Это определение обычно приписывается Эдуарду Хайне.) В этом случае:
предел функции f равен L в точке a, если и только если для любой последовательности (с ≠ a для всех n), сходящейся к a, последовательность f(xₙ) сходится к L. Сирпинский показал в 1916 году, что доказательство эквивалентности этого определения и вышеуказанного требует и эквивалентно слабой форме аксиомы выбора. Следует отметить, что определение сходимости последовательности к пределу требует использования метода эпсилон-дельта. Аналогично определению Вейерштрасса, более общее определение Хайне применимо к функциям, заданным на подмножествах вещественной прямой. Пусть f – функция, принимающая вещественные значения, с областью определения Dm(f). Пусть a – предел последовательности элементов из Dm(f) \ {a}. Тогда предел (в этом смысле) функции f при x, стремящемся к p, равен L, если для любой последовательности (такой, что для всех n, xₙ ≠ a), сходящейся к a, последовательность f(xₙ) сходится к L. Это то же самое, что определение последовательного предела в предыдущем разделе, полученное путем рассмотрения подмножества Dm(f) вещественных чисел R как метрического пространства с индуцированной метрикой.
if for every sequence (so that for all n, is not equal to a) that converges to a, the sequence converges to L. This is the same as the definition of a sequential limit in the preceding section obtained by regarding the subset Dm(f ) of \R as a metric space with the induced metric.
С точки зрения близости
На международном конгрессе математиков 1908 года Ф. Риес представил альтернативный способ определения пределов и непрерывности, основанный на понятии "близости". Точка x определяется как близкая к множеству A, если для каждого r > 0 существует точка a ∈ A такая, что в этой постановке L близко к f(A) тогда и только тогда, когда a близко к A. Здесь f(A) – множество {f(a) : a ∈ A}. Это определение также может быть расширено на метрические и топологические пространства.
if and only if for all L is near f(A) whenever a is near A. Here f(A) is the set This definition can also be extended to metric and topological spaces.
Отношение к преемственности
Понятие предела функции очень тесно связано с понятием непрерывности. Функция f называется непрерывной в точке c, если она определена в точке c и её значение в точке c равно пределу функции f при x, стремящемся к c:
(Мы здесь предполагаем, что c является предельной точкой области определения f.)
Свойства
Если функция f принимает вещественные значения, то предел f при p равен L тогда и только тогда, когда существуют как правый, так и левый пределы f при p и оба равны L. Функция f непрерывна в точке p, если и только если существует предел f(x) при x стремящемся к p и он равен f(p). Если f : M → N – функция между метрическими пространствами M и N, то это эквивалентно тому, что f отображает любую последовательность в M, сходящуюся к p, в последовательность в N, сходящуюся к f(p). Если N – нормированное векторное пространство, то операция взятия предела линейна в следующем смысле: если предел f(x) при x стремящемся к p равен L, а предел g(x) при x стремящемся к p равен P, то предел f(x) + g(x) при x стремящемся к p равен L + P. Если a – скаляр из базового поля, то предел af(x) при x стремящемся к p равен aL. Если f и g – функции, принимающие вещественные (или комплексные) значения, то взятие предела операции над f(x) и g(x) (например, f + g, f − g, f × g, f / g) при определенных условиях совместимо с операцией взятия пределов f(x) и g(x). Этот факт часто называют теоремой об алгебраических пределах. Основным условием для применения следующих правил является существование пределов в правой части уравнений (иными словами, эти пределы являются конечными значениями, включая 0). Кроме того, тождество для деления требует, чтобы знаменатель в правой части был отличен от нуля (деление на 0 не определено), а тождество для возведения в степень требует, чтобы основание было положительным или равным нулю, при этом показатель должен быть положительным (конечным). Эти правила также справедливы для односторонних пределов, включая случаи, когда p равно ∞ или −∞. В каждом из вышеперечисленных правил, когда один из пределов в правой части равен ∞ или −∞, предел в левой части иногда все же может быть определен с помощью этих правил (см. также расширенная числовая прямая). В других случаях предел в левой части может существовать, хотя правая часть, называемая неопределенностью, не позволяет определить результат. Это зависит от функций f и g. Эти неопределенности:
The function f is continuous at p if and only if the limit of f(x) as x approaches p exists and is equal to f(p). If f : M → N is a function between metric spaces M and N, then it is equivalent that f transforms every sequence in M which converges towards p into a sequence in N which converges towards f(p). If N is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of f(x) as x approaches p is L and the limit of g(x) as x approaches p is P, then the limit of f(x) + g(x) as x approaches p is L + P. If a is a scalar from the base field, then the limit of af(x) as x approaches p is aL. If f and g are real valued (or complex valued) functions, then taking the limit of an operation on f(x) and g(x) (e. g., f + g, f − g, f × g, f / g, ) under certain conditions is compatible with the operation of limits of f(x) and g(x). This fact is often called the algebraic limit theorem. The main condition needed to apply the following rules is that the limits on the right hand sides of the equations exist (in other words, these limits are finite values including 0). Additionally, the identity for division requires that the denominator on the right hand side is non zero (division by 0 is not defined), and the identity for exponentiation requires that the base is positive, or zero while the exponent is positive (finite). These rules are also valid for one sided limits, including when p is ∞ or −∞. In each rule above, when one of the limits on the right is ∞ or −∞, the limit on the left may sometimes still be determined by the following rules. (see also Extended real number line). In other cases the limit on the left may still exist, although the right hand side, called an indeterminate form, does not allow one to determine the result. This depends on the functions f and g. These indeterminate forms are:
See further L'Hôpital's rule below and Indeterminate form.
См. далее правило Лопиталя и неопределенность.
The function f is continuous at p if and only if the limit of f(x) as x approaches p exists and is equal to f(p). If f : M → N is a function between metric spaces M and N, then it is equivalent that f transforms every sequence in M which converges towards p into a sequence in N which converges towards f(p). If N is a normed vector space, then the limit operation is linear in the following sense: if the limit of f(x) as x approaches p is L and the limit of g(x) as x approaches p is P, then the limit of f(x) + g(x) as x approaches p is L + P. If a is a scalar from the base field, then the limit of af(x) as x approaches p is aL. If f and g are real valued (or complex valued) functions, then taking the limit of an operation on f(x) and g(x) (e. g., f + g, f − g, f × g, f / g, ) under certain conditions is compatible with the operation of limits of f(x) and g(x). This fact is often called the algebraic limit theorem. The main condition needed to apply the following rules is that the limits on the right hand sides of the equations exist (in other words, these limits are finite values including 0). Additionally, the identity for division requires that the denominator on the right hand side is non zero (division by 0 is not defined), and the identity for exponentiation requires that the base is positive, or zero while the exponent is positive (finite). These rules are also valid for one sided limits, including when p is ∞ or −∞. In each rule above, when one of the limits on the right is ∞ or −∞, the limit on the left may sometimes still be determined by the following rules. (see also Extended real number line). In other cases the limit on the left may still exist, although the right hand side, called an indeterminate form, does not allow one to determine the result. This depends on the functions f and g. These indeterminate forms are:
See further L'Hôpital's rule below and Indeterminate form.