Кіріспе
Алгебралық емес өрістің кеңейтілуі
Математикада трансценденттік кеңейту – бұл өрісте трансценденттік элементі бар өрістің кеңейтілуі; яғни, өрістегі коэффициенттері бар кез келген бір айнымалы полиномның түбірі емес элемент. Басқаша айтқанда, трансценденттік кеңейту – алгебралық емес өрістің кеңейтілуі. Мысалы, және екеуі де трансценденттік кеңейтулер.
Өріс кеңейтімінің трансценденттік негізі (немесе үстіне трансценденттік негіз) – бұл үстіне алгебралық тәуелсіз ең үлкен жиынтық. Трансценденттік негіздер векторлық кеңістіктердің негіздерімен көптеген қасиеттерді бөліседі. Атап айтқанда, өріс кеңейтімінің барлық трансценденттік негіздерінің бірдей кардиналдылығы бар, ол кеңейтудің трансценденттік дәрежесі деп аталады. Осылайша, өріс кеңейтімі трансценденттік кеңейту болып табылады, егер және тек егер оның трансценденттік дәрежесі нөлден өзгеше болса. Трансценденттік кеңейтулер алгебралық геометрияда кеңінен қолданылады. Мысалы, алгебралық алуандықтың өлшемі – оның функциялық өрісінің трансценденттік дәрежесі. Сондай-ақ, жаһандық функциялық өрістер – бұл шекті өрістің бірінші дәрежесінің трансценденттік кеңейтулері және сандар теориясында оң сипаттағы алгебралық сан өрістерінің рөліне өте ұқсас рөл атқарады.
Трансценденттік негіз
Зорн леммасы векторлық кеңістікте максималды сызықтық тәуелсіз кіші жиынның бар екенін көрсетеді (яғни, негіздің). Зорн леммасымен ұқсас дәлелдеме L/K өрісінің кеңейтілуін қарастыра отырып, L-дің K-ға қатысты максималды алгебралық тәуелсіз кіші жиыны бар екенін көрсетеді. Ол трансценденттік негіз деп аталады. Максималдылық шарты бойынша, L-дің K-ға қатысты алгебралық тәуелсіз S кіші жиыны, егер және тек қана L, K(S) өрісінің алгебралық кеңейтілуі болса (S элементтерін K-ға қосу арқылы алынған өріс), трансценденттік негіз болып табылады. Алмасу леммасы (алгебралық тәуелсіз жиындар үшін нұсқасы) егер S және S' трансценденттік негіздер болса, онда S және S' бірдей кардиналдыққа ие екенін білдіреді. Осылайша, трансценденттік негіздердің ортақ кардиналдығы L/K өрісінің трансценденттік дәрежесі деп аталады және немесе символымен белгіленеді. Осыған орай, трансценденттік негіз және трансценденттік дәреже, бір жағынан, негіз және өлшем, екінші жағынан, ұқсас келеді. Бұл ұқсастықты формальдырақ етуге болады, векторлық кеңістіктердегі сызықтық тәуелсіздік пен өріс кеңейтілімдеріндегі алгебралық тәуелсіздік екеуі де шекті матроидтардың (прегеометрияның) мысалдары екенін байқау арқылы. Кез келген шекті матроидтың негізі болады және барлық негіздердің кардиналдығы бірдей. Егер G, L өрісінің генерациялық жиыны болса (яғни, L = K(G)), онда L үшін трансценденттік негіз G-дің кіші жиыны ретінде таңдалуы мүмкін. Атап айтқанда, L-дің K-ға қатысты генерациялық жиындарының ең төменгі кардиналдығына тең. Атап айтқанда, шекті түрде жасалған өріс кеңейтілуі шекті трансценденттік негізге ие. Егер K өрісі көрсетілмесе, L өрісінің трансценденттік дәрежесі оның белгілі бір базалық өріске қатысты дәрежесі болып табылады; мысалы, сол сипаттамасының алғашқы өрісі немесе K, егер L, K үстінде алгебралық функциялар өрісі болса.
The exchange lemma (a version for algebraically independent sets) implies that if S and S' are transcendence bases, then S and S' have the same cardinality. Then the common cardinality of transcendence bases is called the transcendence degree of L over K and is denoted as or There is thus an analogy: a transcendence basis and transcendence degree, on the one hand, and a basis and dimension on the other hand. This analogy can be made more formal, by observing that linear independence in vector spaces and algebraic independence in field extensions both form examples of finitary matroids (pregeometries). Any finitary matroid has a basis, and all bases have the same cardinality. If G is a generating set of L (i. e., L = K(G)), then a transcendence basis for L can be taken as a subset of G. In particular, the minimum cardinality of generating sets of L over K. In particular, a finitely generated field extension admits a finite transcendence basis. If no field K is specified, the transcendence degree of a field L is its degree relative to some fixed base field; for example, the prime field of the same characteristic, or K, if L is an algebraic function field over K.
The field extension L / K is purely transcendental if there is a subset S of L that is algebraically independent over K and such that L = K(S). A separating transcendence basis of L / K is a transcendence basis S such that L is a separable algebraic extension over K(S). A field extension L / K is said to be separably generated if it admits a separating transcendence basis. If a field extension is finitely generated and it is also separably generated, then each generating set of the field extension contains a separating transcendence basis. Over a perfect field, every finitely generated field extension is separably generated; i. e., it admits a finite separating transcendence basis.
L/K өріс кеңейтілуі таза трансценденттік болып есептеледі, егер L-де K-ға қатысты алгебралық тәуелсіз S кіші жиыны болса және L = K(S) теңдігі орындалса. L/K өрісінің бөлгіш трансценденттік негізі – L, K(S) үстінде бөлгіш алгебралық кеңейтілу болатындай S трансценденттік негізі. Егер L/K өріс кеңейтілуі бөлгіш трансценденттік негізге ие болса, онда ол бөлгіш түрде жасалған болып есептеледі. Егер өріс кеңейтілуі шекті түрде жасалған және бөлгіш түрде жасалған болса, онда өріс кеңейтілуінің кез келген генерациялық жиынында бөлгіш трансценденттік негіз болады. Кемел өріс үстінде кез келген шекті түрде жасалған өріс кеңейтілуі бөлгіш түрде жасалған болып табылады; яғни, ол шекті бөлгіш трансценденттік негізге ие.
The exchange lemma (a version for algebraically independent sets) implies that if S and S' are transcendence bases, then S and S' have the same cardinality. Then the common cardinality of transcendence bases is called the transcendence degree of L over K and is denoted as or There is thus an analogy: a transcendence basis and transcendence degree, on the one hand, and a basis and dimension on the other hand. This analogy can be made more formal, by observing that linear independence in vector spaces and algebraic independence in field extensions both form examples of finitary matroids (pregeometries). Any finitary matroid has a basis, and all bases have the same cardinality. If G is a generating set of L (i. e., L = K(G)), then a transcendence basis for L can be taken as a subset of G. In particular, the minimum cardinality of generating sets of L over K. In particular, a finitely generated field extension admits a finite transcendence basis. If no field K is specified, the transcendence degree of a field L is its degree relative to some fixed base field; for example, the prime field of the same characteristic, or K, if L is an algebraic function field over K.
The field extension L / K is purely transcendental if there is a subset S of L that is algebraically independent over K and such that L = K(S). A separating transcendence basis of L / K is a transcendence basis S such that L is a separable algebraic extension over K(S). A field extension L / K is said to be separably generated if it admits a separating transcendence basis. If a field extension is finitely generated and it is also separably generated, then each generating set of the field extension contains a separating transcendence basis. Over a perfect field, every finitely generated field extension is separably generated; i. e., it admits a finite separating transcendence basis.
Мысалдар
Кез келген кеңейту алгебралық болып табылады, егер және ғана егер оның трансценденттік дәрежесі 0 болса; бос жиын мұнда трансценденттік негіз ретінде қызмет етеді. n айнымалыдағы рационалды функциялардың өрісі K(x₁, …, xₙ) (яғни, K[x₁, …, xₙ] полиномдық сақинасының бөлшектер өрісі) – K-ға қатысты n трансценденттік дәрежесі бар таза трансценденттік кеңейту; мысалы, {x₁, …, xₙ} жиынын трансценденттік негіз ретінде алуға болады. Жалпы алғанда, K өрісіндегі n өлшемді алгебралық түрліліктің L функциялық өрісінің трансценденттік дәрежесі n-ге тең. Q(√2, e) өрісінің Q-ға қатысты трансценденттік дәрежесі 1-ге тең, себебі √2 алгебралық, ал e трансценденттік. C немесе R өрісінің Q-ға қатысты трансценденттік дәрежесі – континуумның кардиналдығы. (Q саналатындықтан, Q(S) өрісінің барлық шексіз S жиындары үшін S сияқты бірдей кардиналдығы болады, ал Q(S) өрісінің кез келген алгебралық кеңейтуі де сол кардиналдылықты сақтайды.) Q(e, π) өрісінің Q-ға қатысты трансценденттік дәрежесі 1 немесе 2-ге тең; нақты жауап белгісіз, себебі e және π алгебралық тәуелсіздігі белгілі емес. Егер S – ықшам Риман беті болса, онда S-тегі мероморфтық функциялардың C(S) өрісінің C-ға қатысты трансценденттік дәрежесі 1-ге тең.
Q(√2, e) has transcendence degree 1 over Q because √2 is algebraic while e is transcendental. The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (Since Q is countable, the field Q(S) will have the same cardinality as S for any infinite set S, and any algebraic extension of Q(S) will have the same cardinality again.) The transcendence degree of Q(e, π) over Q is either 1 or 2; the precise answer is unknown because it is not known whether e and π are algebraically independent. If S is a compact Riemann surface, the field C(S) of meromorphic functions on S has transcendence degree 1 over C.
Интегралдық доменнің трансценденттік дәрежесі
Интеграл домендер болсын. Егер A және B домендердің бөлшек өрістерін білдірсе, онда B-нің A үстіндегі трансценденттік дәрежесі, осы өріс кеңейтуінің трансценденттік дәрежесі ретінде анықталады. Нотер нормалау леммасы бойынша, егер R – к өрісі үстінде шекті түрде туындаған алгебралық интеграл домен болса, онда R-дің Крулл өлшемі, R-дің k үстіндегі трансценденттік дәрежесіне тең болады. Бұл мынадай геометриялық мағынаға ие: егер X – к өрісі үстіндегі аффиндік алгебралық сан алуандығы болса, онда оның координаттық сақинасының Крулл өлшемі, оның функциялық өрісінің трансценденттік дәрежесіне тең, және бұл X-тің өлшемін анықтайды. Осыдан, егер X аффиндік сан алуандығы болмаса, оның өлшемі (оның функциялық өрісінің трансценденттік дәрежесі ретінде анықталған), сондай-ақ, алуандықтың ашық аффиндік ішкі жиынға шектеуінің координаттық сақинасының Крулл өлшемі арқылы да жергілікті түрде анықталуы мүмкін.
The Noether normalization lemma implies that if R is an integral domain that is a finitely generated algebra over a field k, then the Krull dimension of R is the transcendence degree of R over k.
This has the following geometric interpretation: if X is an affine algebraic variety over a field k, the Krull dimension of its coordinate ring equals the transcendence degree of its function field, and this defines the dimension of X. It follows that, if X is not an affine variety, its dimension (defined as the transcendence degree of its function field) can also be defined locally as the Krull dimension of the coordinate ring of the restriction of the variety to an open affine subset.
Дифференциалдармен қатынастар
Келіңіз, - шекті түрде құрылған өріс кеңейтуі болсын. Онда
, мұндағы – Калер дифференциалдарының модулін білдіреді. Сондай-ақ, жоғарыдағы теңдік тек қана K өрісі k өрісі үстінен ажыратылатын түрде құрылғанда ғана орындалады (яғни, ажыратушы трансценденттік негізі бар).
Қолданбалар
Трансценденттік негіздер өріс гомоморфизмдері туралы әртүрлі болмыс мәлімдемелерін дәлелдеу үшін пайдалы. Мысалы: егер алгебралық жабық L өрісі, K кіші өрісі және K өрісінің f автоморфизмі берілген болса, онда f-ті кеңейтетін (яғни K-ға шектеуі f болатын) L өрісінің автоморфизмі бар. Дәлелдеу үшін L / K трансценденттік негізі S-тен басталады. K(S) элементтері – K коэффициенттері бар S элементтеріндегі көптолымдардың үлестері ғана; сондықтан f автоморфизмін S элементтерінің әрқайсысын өзіне жіберіп, K(S)-ке кеңейтуге болады. L өрісі K(S) алгебралық жабылуы болып табылады және алгебралық жабылулар изоморфизмге дейін бірегей; бұл автоморфизмді K(S)-ден L-ге дейін кеңейтуге болады дегенді білдіреді. Тағы бір қолданба ретінде, C кешенді сан өрісінің көптеген өзіндік кіші өрістері бар екенін көрсетеміз, олар (өрістер ретінде) C-ге изоморфты. Дәлелдеу үшін C / Q-ның трансценденттік S негізін алыңыз. S – шексіз (тіпті санауға келмейтін) жиын, сондықтан S → S инъективті, бірақ сюръективті емес f карталары бар. Кез келген мұндай картаны Q(S) → Q(S) өрістік гомоморфизміне дейін кеңейтуге болады, ол сюръективті емес. Мұндай өрістік гомоморфизмді өз кезегінде алгебралық жабылуға дейін кеңейтуге болады, ал нәтижедегі C → C өрістік гомоморфизмдері сюръективті емес. Трансценденттік дәреже өрістің мөлшерін интуитивті түрде түсінуге көмектеседі. Мысалы, Сигельге тиесілі теоремада егер X – n өлшемді, байланысқан күрделі көптік болса және K(X) оның (жаһандық түрде анықталған) мероморфтық функцияларының өрісін білдірсе, онда trdegC(K(X)) ≤ n.
As another application, we show that there are (many) proper subfields of the complex number field C which are (as fields) isomorphic to C. For the proof, take a transcendence basis S of C / Q. S is an infinite (even uncountable) set, so there exist (many) maps f: S → S which are injective but not surjective. Any such map can be extended to a field homomorphism Q(S) → Q(S) which is not surjective. Such a field homomorphism can in turn be extended to the algebraic closure C, and the resulting field homomorphisms C → C are not surjective. The transcendence degree can give an intuitive understanding of the size of a field. For instance, a theorem due to Siegel states that if X is a compact, connected, complex manifold of dimension n and K(X) denotes the field of (globally defined) meromorphic functions on it, then trdegC(K(X)) ≤ n.