Введение
Расширение поля, которое не является алгебраическим
В математике трансцендентное расширение — это расширение поля, содержащее элемент, трансцендентный над исходным полем; то есть элемент, не являющийся корнем никакого многочлена с коэффициентами из этого поля. Иными словами, трансцендентное расширение — это расширение поля, которое не является алгебраическим. Например, и являются трансцендентными расширениями поля .
Трансцендентная база расширения поля (или трансцендентная база над ) — это максимальное алгебраически независимое подмножество над . Трансцендентные базы обладают многими свойствами, схожими со свойствами базисов векторных пространств. В частности, все трансцендентные базы расширения поля имеют одинаковую мощность, называемую степенью трансцендентности расширения. Таким образом, расширение поля является трансцендентным расширением тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности отлична от нуля. Трансцендентные расширения широко используются в алгебраической геометрии. Например, размерность алгебраического многообразия равна степени трансцендентности его поля функций. Кроме того, поля глобальных функций являются трансцендентными расширениями степени один над конечным полем и играют в теории чисел в положительной характеристике роль, очень похожую на роль алгебраических числовых полей в характеристике ноль.
Основание трансцендентности
Лемма Зорна показывает, что существует максимальное линейно независимое подмножество векторного пространства (т. е. базис). Аналогичный аргумент с использованием леммы Зорна показывает, что для расширения поля L / K существует максимальное алгебраически независимое подмножество L над K. Оно называется базисом трансцендентности. По определению максимальности, алгебраически независимое подмножество S поля L над K является базисом трансцендентности тогда и только тогда, когда L является алгебраическим расширением K(S) – поля, полученного присоединением элементов S к K. Лемма обмена (в варианте для алгебраически независимых множеств) влечет, что если S и S' – базисы трансцендентности, то S и S' имеют одинаковую мощность. Общая мощность базисов трансцендентности называется степенью трансцендентности L над K и обозначается как или . Таким образом, существует аналогия: базис трансцендентности и степень трансцендентности, с одной стороны, и базис и размерность – с другой. Эту аналогию можно сделать более формальной, заметив, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях поля являются примерами конечных матроидов (прегеометрий). Любой конечный матроид имеет базис, и все базисы имеют одинаковую мощность. Если G – генерирующее множество L (т. е. L = K(G)), то в качестве базиса трансцендентности для L можно взять подмножество G. В частности, степень трансцендентности L над K равна минимальной мощности генерирующих множеств L над K. В частности, конечно порожденное расширение поля допускает конечный базис трансцендентности. Если поле K не указано, степень трансцендентности поля L – это его степень относительно некоторого фиксированного базового поля, например, простого поля той же характеристики или K, если L – алгебраическое поле функций над K.
The exchange lemma (a version for algebraically independent sets) implies that if S and S' are transcendence bases, then S and S' have the same cardinality. Then the common cardinality of transcendence bases is called the transcendence degree of L over K and is denoted as or There is thus an analogy: a transcendence basis and transcendence degree, on the one hand, and a basis and dimension on the other hand. This analogy can be made more formal, by observing that linear independence in vector spaces and algebraic independence in field extensions both form examples of finitary matroids (pregeometries). Any finitary matroid has a basis, and all bases have the same cardinality. If G is a generating set of L (i. e., L = K(G)), then a transcendence basis for L can be taken as a subset of G. In particular, the minimum cardinality of generating sets of L over K. In particular, a finitely generated field extension admits a finite transcendence basis. If no field K is specified, the transcendence degree of a field L is its degree relative to some fixed base field; for example, the prime field of the same characteristic, or K, if L is an algebraic function field over K.
The field extension L / K is purely transcendental if there is a subset S of L that is algebraically independent over K and such that L = K(S). A separating transcendence basis of L / K is a transcendence basis S such that L is a separable algebraic extension over K(S). A field extension L / K is said to be separably generated if it admits a separating transcendence basis. If a field extension is finitely generated and it is also separably generated, then each generating set of the field extension contains a separating transcendence basis. Over a perfect field, every finitely generated field extension is separably generated; i. e., it admits a finite separating transcendence basis.
Расширение поля L / K называется чисто трансцендентным, если существует подмножество S поля L, алгебраически независимое над K, такое что L = K(S). Разделяющий базис трансцендентности L / K – это базис трансцендентности S, такой что L является сепарабельным алгебраическим расширением над K(S). Расширение поля L / K называется сепарабельно порожденным, если оно допускает разделяющий базис трансцендентности. Если расширение поля конечно порождено и также сепарабельно порождено, то каждое генерирующее множество этого расширения поля содержит разделяющий базис трансцендентности. Над совершенным полем каждое конечно порожденное расширение поля сепарабельно порождено, то есть оно допускает конечный разделяющий базис трансцендентности.
The exchange lemma (a version for algebraically independent sets) implies that if S and S' are transcendence bases, then S and S' have the same cardinality. Then the common cardinality of transcendence bases is called the transcendence degree of L over K and is denoted as or There is thus an analogy: a transcendence basis and transcendence degree, on the one hand, and a basis and dimension on the other hand. This analogy can be made more formal, by observing that linear independence in vector spaces and algebraic independence in field extensions both form examples of finitary matroids (pregeometries). Any finitary matroid has a basis, and all bases have the same cardinality. If G is a generating set of L (i. e., L = K(G)), then a transcendence basis for L can be taken as a subset of G. In particular, the minimum cardinality of generating sets of L over K. In particular, a finitely generated field extension admits a finite transcendence basis. If no field K is specified, the transcendence degree of a field L is its degree relative to some fixed base field; for example, the prime field of the same characteristic, or K, if L is an algebraic function field over K.
The field extension L / K is purely transcendental if there is a subset S of L that is algebraically independent over K and such that L = K(S). A separating transcendence basis of L / K is a transcendence basis S such that L is a separable algebraic extension over K(S). A field extension L / K is said to be separably generated if it admits a separating transcendence basis. If a field extension is finitely generated and it is also separably generated, then each generating set of the field extension contains a separating transcendence basis. Over a perfect field, every finitely generated field extension is separably generated; i. e., it admits a finite separating transcendence basis.
Примеры
Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; в этом случае пустое множество служит основой трансцендентности. Поле рациональных функций от n переменных K(x₁, …, xₙ) (то есть поле частных кольца многочленов K[x₁, …, xₙ]) является чисто трансцендентным расширением со степенью трансцендентности n над K; в качестве основы трансцендентности можно, например, взять {x₁, …, xₙ}. В более общем случае, степень трансцендентности поля функций L n-мерного алгебраического многообразия над базовым полем K равна n. Q(√2, e) имеет степень трансцендентности 1 над Q, поскольку √2 является алгебраическим, а e – трансцендентным. Степень трансцендентности C или R над Q равна мощности континуума. (Поскольку Q счетно, поле Q(S) будет иметь ту же мощность, что и S для любого бесконечного множества S, и любое алгебраическое расширение Q(S) будет иметь ту же мощность.) Степень трансцендентности Q(e, π) над Q равна 1 или 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, алгебраически независимы ли e и π. Если S – компактная поверхность Римана, то поле C(S) мероморфных функций на S имеет степень трансцендентности 1 над C.
Q(√2, e) has transcendence degree 1 over Q because √2 is algebraic while e is transcendental. The transcendence degree of C or R over Q is the cardinality of the continuum. (Since Q is countable, the field Q(S) will have the same cardinality as S for any infinite set S, and any algebraic extension of Q(S) will have the same cardinality again.) The transcendence degree of Q(e, π) over Q is either 1 or 2; the precise answer is unknown because it is not known whether e and π are algebraically independent. If S is a compact Riemann surface, the field C(S) of meromorphic functions on S has transcendence degree 1 over C.
Степень трансцендентности интегральной области
Пусть A и B — интегральные области. Если Frac(A) и Frac(B) обозначают поля частных A и B соответственно, то степень трансцендентности B над A определяется как степень трансцендентности расширения поля Frac(B) / Frac(A). Лемма нормализации Ноэтера утверждает, что если R — интегральная область, являющаяся конечно порожденной алгеброй над полем k, то размерность Крулля R равна степени трансцендентности R над k. Это имеет следующую геометрическую интерпретацию: если X — аффинное алгебраическое многообразие над полем k, то размерность Крулля его координатного кольца равна степени трансцендентности его поля функций, и это определяет размерность X. Следовательно, если X не является аффинным многообразием, его размерность (определяемая как степень трансцендентности его поля функций) также может быть определена локально как размерность Крулля координатного кольца ограничения многообразия на открытое аффинное подмножество.
The Noether normalization lemma implies that if R is an integral domain that is a finitely generated algebra over a field k, then the Krull dimension of R is the transcendence degree of R over k.
This has the following geometric interpretation: if X is an affine algebraic variety over a field k, the Krull dimension of its coordinate ring equals the transcendence degree of its function field, and this defines the dimension of X. It follows that, if X is not an affine variety, its dimension (defined as the transcendence degree of its function field) can also be defined locally as the Krull dimension of the coordinate ring of the restriction of the variety to an open affine subset.
Отношения к дифференциалам
Пусть K будет конечно порожденным расширением поля k. Тогда
где Ω обозначает модуль дифференциалов Калера. Кроме того, в вышесказанном равенство выполняется тогда и только тогда, когда K сепарабельно порождается над k (то есть, допускает сепарабельную трансцендентную базу).
Приложения
Трансцендентные основания полезны для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей. Вот пример: для алгебраически замкнутого поля L, подполя K и полевого автоморфизма f поля K существует полевой автоморфизм L, расширяющий f (то есть, чей рестрикция на K совпадает с f). Для доказательства начинают с трансцендентного базиса S поля L/K. Элементы K(S) являются просто частными от деления многочленов с коэффициентами в K, имеющими переменные из S; поэтому автоморфизм f можно расширить до автоморфизма K(S), отображая каждый элемент S в себя. Поле L является алгебраическим замыканием K(S), а алгебраические замыкания уникальны с точностью до изоморфизма; это означает, что автоморфизм можно дополнительно расширить с K(S) на L. В качестве другого приложения покажем, что существует (множество) собственных подполей поля комплексных чисел C, которые (как поля) изоморфны C. Для доказательства возьмем трансцендентный базис S поля C/Q. S – бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (множество) отображений f: S → S, которые инъективны, но не сюръективны. Любое такое отображение можно расширить до гомоморфизма поля Q(S) → Q(S), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм поля, в свою очередь, можно расширить до алгебраического замыкания C, и полученные гомоморфизмы поля C → C не будут сюръективными. Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема, доказанная Сигелем, утверждает, что если X – компактное, связное комплексное многообразие размерности n, а K(X) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdegC(K(X)) ≤ n.
As another application, we show that there are (many) proper subfields of the complex number field C which are (as fields) isomorphic to C. For the proof, take a transcendence basis S of C / Q. S is an infinite (even uncountable) set, so there exist (many) maps f: S → S which are injective but not surjective. Any such map can be extended to a field homomorphism Q(S) → Q(S) which is not surjective. Such a field homomorphism can in turn be extended to the algebraic closure C, and the resulting field homomorphisms C → C are not surjective. The transcendence degree can give an intuitive understanding of the size of a field. For instance, a theorem due to Siegel states that if X is a compact, connected, complex manifold of dimension n and K(X) denotes the field of (globally defined) meromorphic functions on it, then trdegC(K(X)) ≤ n.