Кіріспе
Бөлшектік дифференциалдық теңдеу
Дифференциалдық геометрия және геометриялық талдаудың математикалық салаларында Риччи ағыны (Ricci flow, Ритчи), кейде Гамильтонның Риччи ағыны деп те аталады, — Риман метрикасы үшін белгілі бір бөлшектік дифференциалдық теңдеу. Теңдеудің математикалық құрылымындағы формальды ұқсастықтарға байланысты, ол көбінесе жылудың таралуына және жылу теңдеуіне ұқсас деп айтылады. Алайда, ол сызықтық емес және жылу теңдеуін зерттеуде кездеспейтін көптеген құбылыстарды көрсетеді. Риччи ағыны, оның анықтамасында Риччи тензорының болуымен аталған, Рихард Гамильтонмен енгізілді, ол 1980 жылдары Риман геометриясындағы елеулі жаңа нәтижелерді дәлелдеу үшін оны пайдаланды. Кейінірек, әртүрлі авторлардың Гамильтон әдістерін кеңейтуі геометрияға жаңа қолданыстарға әкелді, соның ішінде Саймон Брендл мен Ричард Шоэннің дифференциалдық сфералық гипотезаны шешуі. Шинг Тунг Яудың Риччи ағыны шешімдерінің жекеліктері Уильям Терстонның геометриялық гипотезасымен болжанған топологиялық деректерді анықтай алатыны туралы ұсынысынан кейін, Гамильтон 1990 жылдары гипотезаны шешуге бағытталған бірқатар нәтижелер жасады. 2002 және 2003 жылдары Григорий Перельман Риччи ағыны туралы бірқатар маңызды жаңа нәтижелер ұсынды, соның ішінде Гамильтон бағдарламасының кейбір техникалық аспектілерінің жаңа нұсқасы. Перельманның жұмысы қазір Терстон гипотезасы мен Пуанкаре гипотезасының дәлелін құрайтыны, ал соңғысы біріншісінің ерекше жағдайы ретінде қарастырылатыны туралы кеңінен мойындалған. Пуанкаре гипотезасының 1904 жылдан бері геометриялық топология саласындағы белгілі ашық мәселе екенін атап өткен жөн. Гамильтон мен Перельманның бұл нәтижелері геометрия және топология салаларындағы маңызды кезең болып саналады.
Математикалық анықтамасы
M тегіс көптігінде g тегіс Риман метрикасы Ricci тензорын Ric^(g) автоматты түрде анықтайды. M-нің әрбір элементі p үшін gp - бұл p-дегі жанама кеңістіктегі TpM-дегі оң нақты ішкі көбейтінді. Егер Риман метрикасының gt бір параметрлік отбасы берілген болса, онда туындыны қарастыруға болады, ол t және p-нің әрбір нақты мәні үшін TpM-дегі симметриялық билинейрлік нысанды береді. Риман метрикасының Риччи тензоры әрбір p үшін TpM-де симметриялық билинейрлік нысанды тағайындайтындықтан, келесі анықтама мағыналы. Тегіс көптік M және ашық нақты аралық берілген кезде, Риччи ағыны аралықтағы әрбір t үшін M-де gt Риман метрикасын тағайындайды, сонда Ricci тензоры көбінесе қима қисықтықтарының орташа мәні ретінде немесе Риман қисықтық тензорының алгебралық із ретінде қарастырылады. Алайда, Риччи ағындарының бар болуы және бірегейлігін талдау үшін Риччи тензорын жергілікті координаттарда метрикалық тензордың бірінші және екінші туындыларын қамтитын формула арқылы анықтау өте маңызды. Бұл Риччи ағынын геометриялық түрде анықталған дербес дифференциалдық теңдеуге айналдырады. Жергілікті координаттар формуласының эллиптикалықтығын талдау Риччи ағындарының болуына негіз береді; тиісті нәтиже үшін келесі бөлімді қараңыз. k нөлден өзге сан болсын. Риччи ағыны gt аралығында берілген болса, t аралығын қарастырайық және Then Осылайша, параметрлердің осы өте қарапайым өзгеруімен, Риччи ағынының анықтамасындағы -2 саны нөлден өзге кез келген санмен алмастырылуы мүмкін. Осы себепті -2 пайдалануды кездейсоқ конвенция ретінде қарастыруға болады, бірақ Риччи ағыны туралы дерлік барлық мақалалар мен түсіндірулер соған сәйкес келеді. Бір ғана маңызды айырмашылық - егер -2 оң санмен алмастырылса, онда келесі бөлімде талқыланған теорема бастапқы деректерден параметрлер мәндерінде кері (алға емес) қозғалатын Риччи ағынын тудыратын теоремаға айналады. t параметрі әдетте уақыт деп аталады, бірақ бұл тек дербес дифференциалдық теңдеулердің математикалық саласындағы стандартты бейресми терминологияның бөлігі ретінде ғана дұрыс. Бұл физикалық мағынасы жоқ терминология. Шын мәнінде, стандартты кванттық өріс теориялық тұрғыдан Риччи ағынының қайта нормалау тобы тұрғысынан қарастырылғанда, t параметрі уақыт емес, ұзындық немесе энергияға сәйкес келеді.
Нормалданған Риччи ағыны
M тығыз тегіс көптік деп есептейік, және gt интервалдағы t үшін Риччи ағыны болсын. Әрбір Риман метрикасы Ψ(t)gt көлемі 1 болатындай етіп анықтаңыз; бұл мүмкін, себебі M тығыз. (Жалпы алғанда, егер әр Риман метрикасы gt шекті көлемге ие болса, бұл да мүмкін болар еді.) Содан кейін F-ты a нүктесінде нөлге тең болатын Ψ-нің антидериваты деп анықтаңыз. Ψ оң мәнді болғандықтан, F өзінің бейнесіне биекция болып табылады. Енді s ∈ (0, S) параметрлері үшін анықталған Риман метрикалары келесіні қанағаттандырады. Мұнда R скалярлық қисықтықты білдіреді. Бұл нормаланған Риччи ағыны теңдеуі деп аталады. Осылайша, масштабтың нақты анықталған өзгеруі Ψ және параметрлік мәндердің қайта параметрленуі арқылы Риччи ағынын нормаланған Риччи ағынына түрлендіруге болады. Жоғарыдағы есептеулерді кері орындау арқылы керісінше де дұрыс. Нормалданған Риччи ағынын қарастырудың басты себебі – ол Риччи ағыны үшін маңызды жинақталу теоремаларын ыңғайлы түрде тұжырымдауға мүмкіндік береді. Дегенмен, мұны жасау міндетті емес, және көптеген жағдайларда Риччи ағынын оның стандартты түрінде қарастыру жеткілікті. Сонымен қатар, нормаланған Риччи ағыны әдетте тығыз емес көптіктерде мағынасыз.
Here R denotes scalar curvature. This is called the normalized Ricci flow equation. Thus, with an explicitly defined change of scale Ψ and a reparametrization of the parameter values, a Ricci flow can be converted into a normalized Ricci flow. The converse also holds, by reversing the above calculations. The primary reason for considering the normalized Ricci flow is that it allows a convenient statement of the major convergence theorems for Ricci flow. However, it is not essential to do so, and for virtually all purposes it suffices to consider Ricci flow in its standard form. Moreover, the normalized Ricci flow is not generally meaningful on noncompact manifolds.
Конвергенция теоремалары
Толық конвергенция теоремаларының баяндамасы берілген, ал үш өлшемді нәтиже Гамильтонның дәлеліне байланысты, Джеймс Элс пен Джозеф Сэмпсонның 1964 жылғы «Гармониялық картаның жылу ағынының конвергенциясы» атты мақаласынан шабыттандырылып, көптеген жаңа мүмкіндіктерді қамтыды, мысалы, симметриялық 2 тензорлар үшін максимум қағидасын кеңейту. Оның еңбегі (Эллс-Сэмпсонның еңбегімен бірге) дифференциалдық геометрия саласындағы ең көп сілтеме жасалған еңбектердің қатарында. Оның нәтижесінің баяндамасы берілген. Дәлелдеу тұрғысынан, екі өлшемді жағдайды М-нің Эйлер сипаттамасы оң, нөл немесе теріс болатын жағдайлар бойынша үш түрлі нәтижелер жиынтығы ретінде қарастыру дұрыс. , көрсеткендей, теріс жағдай максимум қағидасымен, ал нөлдік жағдай интегралдық бағалаулармен шешіледі; оң жағдай күрделірек, ал Гамильтон g0 оң қисықтығы бар жағдайды Питер Ли мен Шинг Тунг Яудың градиенттік бағалауын Риччи ағынына тікелей бейімдеуді және инновациялық «энтропиялық бағалауды» біріктіру арқылы қарастырды. Толық оң жағдайды Беннетт Гамильтонның әдістерін кеңейтіп көрсетті. Екі өлшемді көптүрліліктегі кез келген Риччи ағыны бір конформальды сыныпқа шектелгендіктен, оны (M, g0) тұрақты Риманн көптүрлілігіндегі скалярлық функция үшін ішінара дифференциалдық теңдеу ретінде қайта жазуға болады. Осылайша, Риччи ағыны осы жағдайда таза талдамалық әдістермен зерттелуі мүмкін; сәйкесінше, екі өлшемді конвергенция теоремасының геометриялық емес дәлелдемелері бар. Жоғары өлшемді жағдайдың тарихы ұзағырақ. Гамильтонның маңызды нәтижесінен кейін Герхард Хуйскен өзінің әдістерін жоғары өлшемдерге кеңейтіп, g0 тұрақты оң қисықтыққа жақын болса (Риччи ыдырауының кейбір компоненттерінің кішілігі тұрғысынан), нормаланған Риччи ағыны тұрақты қисықтыққа тегіс түрде жинақталады. ол конвекс жиынтықтармен тұтқындау арқылы максимум қағидасының жаңа тұжырымын тапты, бұл оң қисықтығы бар метрикалардың Риччи ағынының конвергенциясына байланысты белгілі бір көп өлшемді қарапайым дифференциалдық теңдеу үшін «қысым жиынтықтарының» болуына байланысты жалпы критерийге әкелді. Нәтижесінде ол M төрт өлшемді және g0 оң қисықтық операторына ие болған жағдайды шеше алды. Жиырма жылдан кейін Кристоф Бём мен Буркхард Вилкинг «қысым жиынтықтарын» құрудың жаңа алгебралық әдісін тапты, осылайша Гамильтонның нәтижесінен төрт өлшемділік туралы болжамды алып тастады. Симон Брендл мен Ричард Шоен изотроптық қисықтықтың оңдығы Риччи ағынымен жабық көптүрлілікте сақталады екенін көрсетті; Бём мен Вилкингтің әдісін қолдану арқылы олар жаңа Риччи ағыны конвергенция теоремасын шығара алды. Олардың конвергенция теоремасы дифференциалданатын сфера теоремасын шешуді қамтиды, ол сол кезде ұзақ уақыт бойы болжам болған. Жоғарыда берілген конвергенция теоремасы , ол Хуйскен, Гамильтон, Бём және Вилкинг, Брендл және Шоеннің жоғары өлшемді конвергенция нәтижелерін қамтиды.
The three dimensional result is due to Hamilton's proof, inspired by and loosely modeled upon James Eells and Joseph Sampson's epochal 1964 paper on convergence of the harmonic map heat flow, included many novel features, such as an extension of the maximum principle to the setting of symmetric 2 tensors. His paper (together with that of Eells−Sampson) is among the most widely cited in the field of differential geometry. There is an exposition of his result in
In terms of the proof, the two dimensional case is properly viewed as a collection of three different results, one for each of the cases in which the Euler characteristic of M is positive, zero, or negative. As demonstrated by , the negative case is handled by the maximum principle, while the zero case is handled by integral estimates; the positive case is more subtle, and Hamilton dealt with the subcase in which g0 has positive curvature by combining a straightforward adaptation of Peter Li and Shing Tung Yau's gradient estimate to the Ricci flow together with an innovative "entropy estimate". The full positive case was demonstrated by Bennett , in an extension of Hamilton's techniques. Since any Ricci flow on a two dimensional manifold is confined to a single conformal class, it can be recast as a partial differential equation for a scalar function on the fixed Riemannian manifold (M, g0). As such, the Ricci flow in this setting can also be studied by purely analytic methods; correspondingly, there are alternative non geometric proofs of the two dimensional convergence theorem. The higher dimensional case has a longer history. Soon after Hamilton's breakthrough result, Gerhard Huisken extended his methods to higher dimensions, showing that if g0 almost has constant positive curvature (in the sense of smallness of certain components of the Ricci decomposition), then the normalized Ricci flow converges smoothly to constant curvature. found a novel formulation of the maximum principle in terms of trapping by convex sets, which led to a general criterion relating convergence of the Ricci flow of positively curved metrics to the existence of "pinching sets" for a certain multidimensional ordinary differential equation. As a consequence, he was able to settle the case in which M is four dimensional and g0 has positive curvature operator. Twenty years later, Christoph Böhm and Burkhard Wilking found a new algebraic method of constructing "pinching sets", thereby removing the assumption of four dimensionality from Hamilton's result Simon Brendle and Richard Schoen showed that positivity of the isotropic curvature is preserved by the Ricci flow on a closed manifold; by applying Böhm and Wilking's method, they were able to derive a new Ricci flow convergence theorem Their convergence theorem included as a special case the resolution of the differentiable sphere theorem, which at the time had been a long standing conjecture. The convergence theorem given above is due to , which subsumes the earlier higher dimensional convergence results of Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking, and Brendle & Schoen.
Қорытындылар
Үш және одан жоғары өлшемдердегі нәтижелер, берілген типтегі g0 метрикасын қабылдайтын кез келген тегіс жабық коллектор M, оң қисықтығы бар кеңістіктік форма болуы керек екенін көрсетеді. Эли Картан және басқалардың жұмыстары арқасында осы кеңістіктік формалар жақсы түсінілгендіктен, мынадай қорытындылар жасауға болады: М – оң Риччи қисықтығына ие тегіс Риманн метрикасын қабылдайтын тегіс жабық үш өлшемді коллектор болсын. Егер М жай ғана байланысқан болса, онда ол үш сфераға диффеоморфты болуы керек. Егер кез келген тегіс жабық, жай байланысқан үш өлшемді коллектор оң Риччи қисықтығына ие тегіс Риманн метрикасын қабылдайтынын тікелей көрсетуге болады, онда Пуанкаре болжамы дереу туындайды. Дегенмен, қазіргі түсінік бойынша, бұл нәтиже Пуанкаре болжамының салдары ретінде ғана белгілі, керісінше емес.
Suppose that M is a smooth closed 3 dimensional manifold which admits a smooth Riemannian metric of positive Ricci curvature. If M is simply connected then it must be diffeomorphic to the 3 sphere. So if one could show directly that any smooth closed simply connected 3 dimensional manifold admits a smooth Riemannian metric of positive Ricci curvature, then the Poincaré conjecture would immediately follow. However, as matters are understood at present, this result is only known as a (trivial) corollary of the Poincaré conjecture, rather than vice versa.
Мүмкін болатын кеңейтулер
Екіден үлкен кез келген n үшін, тұрақты қисықтығы бар тегіс Риман метрикасы жоқ көптеген жабық n өлшемді тегіс көптүрліліктер бар. Сондықтан, жоғарыдағы конвергенция теоремаларынан қисықтық шарттарын жай ғана алып тастауға үміттенуге болмайды. Қисықтық шарттарын кейбір баламалармен алмастыру мүмкін, бірақ күрделі проективтік кеңістік сияқты ықшам көптүрліліктердің болуы, онда теріс емес қисықтық операторының метрикасы (Фубини-Зерттеу метрикасы) бар, бірақ тұрақты қисықтық метрикасы жоқ, бұл шарттарды қаншалықты жеңілдетуге болатынын анық емес етеді. Сол сияқты, теріс қисықтығы бар Риман метрикалары үшін ұқсас конвергенция нәтижелерін формулирлеу мүмкіндігі, қисықтығы тұрақтыға өте жақын болса да, тұрақты қисықтық метрикасын қабылдамайтын жабық Риман көптүрліліктерінің болуымен қиындатылады.
Лияу теңсіздіктері
Питер Ли мен Шинг Тунг Яудың Риман көптүрліліктеріндегі параболалық дифференциалдық теңдеулер үшін пионерлік техникасын пайдалана отырып, келесі «Ли–Яу теңсіздігі» дәлелденді. – тегіс көптүрлік болсын, ал – шектелген қисықтығымен толық болатын Риччи ағынының шешімі болсын. Әрі, әрқайсысының теріс емес қисықтық операторы бар деп есептейік. Онда, кез келген қисығы үшін келесі Ли–Яу теңсіздігі көрсетілді. – тегіс, жабық көптүрлік болсын, ал – Риччи ағынының шешімі болсын. формалары үшін кері жылу теңдеуін қарастырайық, яғни ; берілген және үшін, интегралдағанда ұлғайғанда Дирак дельта шарасына әлсіз түрде жинақталатын нақты шешімді қарастырайық. Онда, кез келген қисығы үшін келесі теңсіздік орындалады: . Бұл екі ерекше теңсіздік Пуанкаре болжамын және геометриялық болжамды дәлелдеу үшін маңызды. Перелманның Ли–Яу теңсіздігінің оң жағындағы мүшелер оның «қысқартылған ұзындығы» функционалын анықтауға түрткі болды, ал оның талдауы оның «құламайтын теоремасына» әкелді. Құламайтын теорема Гамильтонның тығыздық теоремасын (Гамильтон, 1995) қолдануға мүмкіндік береді, бұл жаңа үш өлшемді көптүрліліктердегі Риччи ағыны болып табылатын «сингулярлық модельдерді» құруға мүмкіндік береді. Гамильтон–Иви бағалауына сәйкес, бұл жаңа Риччи ағындары теріс емес қисықтыққа ие. Гамильтонның Ли–Яу теңсіздігін қолдану арқылы скалярлық қисықтықтың әрбір нүктеде уақыт бойынша кемімейтін (теріс емес) функция екенін көруге болады. Бұл көптеген аргументтерді жүзеге асыруға мүмкіндік беретін қуатты нәтиже. Ақырында, Перелман өзінің сингулярлық модельдерінің кез келгенінің толық градиенттік қысқару Риччи солитоны сияқты асимптотикалық екенін көрсетеді, олар толығымен жіктелген; қараңыз. Гамильтонның Ли–Яу теңсіздігі туралы толық мәліметтерді қараңыз; кітаптарда жоғарыда аталған екі теңсіздіктің де сипаттамасы бар.
showed the following alternative Li–Yau inequality. Let be a smooth closed manifold, and let be a solution of the Ricci flow. Consider the backwards heat equation for forms, i. e. ; given and , consider the particular solution which, upon integration, converges weakly to the Dirac delta measure as increases to Then, for any curve with , one has where Both of these remarkable inequalities are of profound importance for the proof of the Poincaré conjecture and geometrization conjecture. The terms on the right hand side of Perelman's Li–Yau inequality motivates the definition of his "reduced length" functional, the analysis of which leads to his "noncollapsing theorem". The noncollapsing theorem allows application of Hamilton's compactness theorem (Hamilton 1995) to construct "singularity models", which are Ricci flows on new three dimensional manifolds. Owing to the Hamilton–Ivey estimate, these new Ricci flows have nonnegative curvature. Hamilton's Li–Yau inequality can then be applied to see that the scalar curvature is, at each point, a nondecreasing (nonnegative) function of time. This is a powerful result that allows many further arguments to go through. In the end, Perelman shows that any of his singularity models is asymptotically like a complete gradient shrinking Ricci soliton, which are completely classified; see the previous section. See for details on Hamilton's Li–Yau inequality; the books and contain expositions of both inequalities above.
Тұрақты қисықтық және Эйнштейн метрикасы
Болсын, Риманн көптігі Айнштейн шартты қанағаттандырады, яғни ондағы Риччи ағыны үшін мұндай сан бар, себебі онда Егер жабық болса, онда Гамильтонның жоғарыдағы бірегейлік теоремасына сәйкес, бұл бастапқы деректерге сәйкес келетін жалғыз Риччи ағыны. Атап айтқанда, егер оң болса, онда Риччи ағыны "қысқарады", себебі масштабтық фактор оң мәндер үшін 1-ден кем; сонымен қатар, Риччи метрикасы болу үшін, тек қана -ден кем болуы мүмкін. Бұл "шекті уақытта сингулярлық" жағдайының ең қарапайым мысалы. Егер нөлге тең болса, бұл Риччи-жазық болумен синонимді, онда уақытқа тәуелді емес, сондықтан максималды өмір сүру аралығы – бүкіл нақты сызық. Егер теріс болса, онда Риччи ағыны "кеңейеді", себебі масштабтық фактор барлық оң мәндер үшін 1-ден үлкен; сонымен қатар, оны кез келген үлкен санға тең деп алуға болады. Риччи ағыны, осы бастапқы метрика үшін "өлімсіз" деп айтылады. Әр жағдайда, әртүрлі мәндерге сәйкес келетін Риманн метрикалары тек тұрақты масштабтық фактормен ғана ерекшеленеді, сондықтан нормаланған Риччи ағынының барлық уақытта бар екені және тұрақты екені көрінеді; әсіресе, ол бірқалыпты түрде (өзінің тұрақты мәніне) жақындайды, өйткені Айнштейн шарты тұрақты қисықтықтың ерекше жағдайы болып табылады; сондықтан сфера (стандартты метрикасымен) және гиперболалық кеңістік жоғарыда айтылғандардың ерекше жағдайлары ретінде қарастырылады.
If is closed, then according to Hamilton's uniqueness theorem above, this is the only Ricci flow with initial data One sees, in particular, that:
if is positive, then the Ricci flow "contracts" since the scale factor is less than 1 for positive ; furthermore, one sees that can only be less than , in order that is a Riemannian metric. This is the simplest examples of a "finite time singularity". if is zero, which is synonymous with being Ricci flat, then is independent of time, and so the maximal interval of existence is the entire real line. if is negative, then the Ricci flow "expands" since the scale factor is greater than 1 for all positive ; furthermore one sees that can be taken arbitrarily large. One says that the Ricci flow, for this initial metric, is "immortal". In each case, since the Riemannian metrics assigned to different values of differ only by a constant scale factor, one can see that the normalized Ricci flow exists for all time and is constant in ; in particular, it converges smoothly (to its constant value) as
The Einstein condition has as a special case that of constant curvature; hence the particular examples of the sphere (with its standard metric) and hyperbolic space appear as special cases of the above.
Біркелкілік пен геометриялық байланысы
Гамильтонның Риччи ағыны туралы алғашқы жұмысы Уильям Турстонның геометриялық гипотезасымен бір уақытта жарияланды, ол үш өлшемді тегіс көптүрліліктердің топологиялық жіктелуіне қатысты. Гамильтонның идеясы метрикадағы бұзылыстарды тегістеуге бағытталған сызықтық емес диффузиялық теңдеуді анықтау болды. Тиісті канондық формалар Турстонмен анықталған; Турстонның модельдік геометриялары деп аталатын мүмкіндіктерге үш сфера S3, үш өлшемді Эвклид кеңістігі E3, үш өлшемді гиперболалық кеңістік H3, біртекті және изотропты, сондай-ақ бес сәл экзотикалық Риман көптүрлілігі кіреді, олар біртекті, бірақ изотропты емес. (Бұл тізім үш өлшемді нақты Ли алгебраларының Бианкидің тоғыз классына жіктелуімен тығыз байланысты, бірақ толықтай сәйкес емес.) Гамильтон оң Риччи қисықтығына ие метриканы қабылдайтын кез келген тегіс жабық үш көптүрлілікке бірегей Турстон геометриясы, атап айтқанда сфералық метрика бар екенін дәлездеді, ол көлемді сақтау үшін нормаланған Риччи ағыны астында тартымды тұрақты нүкте ретінде әрекет етеді. (Нормаланбаған Риччи ағыны бойынша көптүрлілік шекті уақыт ішінде бір нүктеге дейін құлдырайды.) Дегенмен, бұл қисықтыққа қатысты шектеулердің салдарынан толық геометриялық гипотезаны дәлелдей алмайды. Шындығында, тоғызыншы ғасыр геометриясының үлкен жетістігі біртектілік теоремасын дәлелдеу болды, бұл тегіс екі көптүрліліктің ұқсас топологиялық жіктелуі, онда Гамильтон Риччи ағынының теріс қисықтығы бар екі өлшемді көптүрлілікті гиперболалық жазықтыққа жергілікті изометриялық болатын екі өлшемді көп тесікті торға айналдыратынын көрсетті. Бұл тақырып талдау, сандар теориясы, динамикалық жүйелер, математикалық физика және тіпті космология сияқты маңызды мәселелермен тығыз байланысты. "Біртектілендіру" термині геометриядағы бұзылыстарды тегістеуді білдіретінін, ал "геометриялықтандыру" термині тегіс көптүрлілікке геометрияны қоюды білдіретінін ескеріңіз. Бұл жерде геометрия Клайннің геометрия тұжырымына ұқсас нақты мағынада қолданылады (қосымша мәліметтер үшін Геометриялық гипотезаға қараңыз). Атап айтқанда, геометриялықтандыру нәтижесі изотропты емес геометрия болуы мүмкін. Көптеген жағдайларда, тұрақты қисықтық жағдайларын қоса алғанда, геометрия бірегей болады. Бұл саланың маңызды тақырыбы – нақты және кешенді формулалар арасындағы өзара әрекеттесу. Әсіресе, біртектілендіру туралы көптеген талқылаулар екі нақты көптүрлілік емес, кешенді қисықтар туралы айтады.
Ерекшеліктер
Гамильтон компактты Риман көптүрлілігінің әрқашан қысқа мерзімді Риччи ағыны шешіміне ие екенін көрсетті. Кейін Ши бұл нәтижені шектелген қисықтығы бар толық көптүрліліктерге жалпылады. Дегенмен, Риччи ағыны теңдеуінің жоғары дәрежеде сызықтық емес сипатына байланысты, сингулярлықтар шекті уақытта пайда болады. Бұл сингулярлықтар қисықтық сингулярлықтары болып табылады, яғни сингулярлық уақытына жақындағанда қисықтық тензорының нормасы сингулярлық аймағында шексіздікке дейін өседі. Риччи ағынындағы маңызды мәселе – сингулярлықтардың барлық мүмкін геометриясын түсіну. Егер осы мәселе шешілсе, көптүрліліктердің топологиясын түсінуге жаңа көзқарас туындайды. Мысалы, 3D Риччи ағынында пайда болатын сингулярлық аймақтардың геометриясын талдау, Перелманның Пуанкаре және Геометриялық болжамдарды дәлелдеудегі маңызды бөлігі болып табылады.
Ерекшеліктердің жарылу шектері
Сингулярлықтардың қалыптасуын зерттеу үшін, басқа да сызықты емес дифференциалдық теңдеулерді зерттеудегідей, жарылу шектерін қарастыру пайдалы. Интуитивті түрде айтқанда, уақыт пен кеңістікті қайта масштабтау арқылы Риччи ағынының сингулярлық аймағына жақындау жасалады. Белгілі бір шарттар бойынша, жақындатылған ағын шекті Риччи ағынына ұмтылады, ол сингулярлық модель деп аталады. Сингулярлық модельдер – бұл ежелгі Риччи ағындары, яғни оларды өткенге шексіз созуға болады. Риччи ағынындағы мүмкін сингулярлық модельдерді түсіну – белсенді зерттеу саласы. Төменде біз жарылу процедурасын толығырақ сипаттаймыз: болсын, сингулярлықты дамытатын Риччи ағыны. Егер , уақыт-кеңістіктегі нүктелердің тізбегі болса, мұндағы
, онда келесідей параболалық қайта масштабталған метрикаларды қарастырамыз:
Риччи ағыны теңдеуінің параболалық кеңеюлер бойынша симметриясына байланысты, метрикалар да Риччи ағыны теңдеуінің шешімдері болып табылады. Егер
, яғни уақытқа дейін қисықтықтың максималды мәнінде жетілсе, онда Риччи ағындарының нүктелік тізбегі тегіс түрде шекті ежелгі Риччи ағынына жинақталады. Ескеріңіз, әдетте -ке дейін диффеоморфты емес.
I және II типті ерекшеліктер
Гамильтон Риччи ағынындағы I және II типтегі сингулярлықтарды ажыратады. Атап айтқанда, Риччи ағыны, белгілі бір уақытта сингулярлыққа кездессе, егер ол I типті болса, I типті деп аталады. Әйтпесе, сингулярлық II типті болады. I типтегі сингулярлықтардың үрпілі шектері градиенттік қысқарушы Риччи солитондары екені белгілі. II типтегі жағдайда сингулярлық модельдің тұрақты Риччи солитоны болуы керек пе деген мәселе ашық күйде қалып отыр – қазірге дейін белгілі барлық мысалдар сондай.
Соңғы өзгерістер
Риччи ағыны 1981 жылдан бері қарқынды зерттелді. Жақындағы кейбір жұмыстар жоғары өлшемді Риманн көптүрліліктерінің Риччи ағыны астында қалай эволюцияға түсетіні, әсіресе қандай типтегі параметрлік сингулярлықтар пайда болуы мүмкін екені мәселесіне назар аударды. Мысалы, Риччи ағынының белгілі бір шешімдер класы, белгілі бір топологиялық қасиеті (оң Эйлер сипаттамасы) бар өлшемді метрикалық Риманн көптүрлілігінде, ағын белгілі бір сипаттамалық уақытқа жақындағанда, мойын қысылу сингулярлықтарының пайда болатынын көрсетеді. Кейбір жағдайларда мұндай мойын қысылулар Риччи солитондары деп аталатын көптүрліліктерді жасайды. 3 өлшемді көптүрлілік үшін Перелман көптүрлілікте хирургиялық араласу арқылы сингулярлықтардан қалай өтуге болатынын көрсетті. Кэхлер метрикасы Риччи ағыны кезінде Кэхлер болып қалады, сондықтан Риччи ағыны осы контексте де зерттеледі, онда ол Кэхлер-Риччи ағыны деп аталады.