Введение
Частичное дифференциальное уравнение
В математических областях дифференциальной геометрии и геометрического анализа, поток Риччи (Ricci flow), иногда также называемый потоком Риччи Гамильтона, является определенным частичным дифференциальным уравнением для римановой метрики. Часто утверждается, что он аналогичен диффузии тепла и уравнению теплопроводности из-за формальных сходств в математической структуре уравнения. Однако он нелинеен и демонстрирует множество явлений, отсутствующих при изучении уравнения теплопроводности. Поток Риччи, названный так из-за присутствия тензора Риччи в его определении, был введен Ричардом Гамильтоном, который использовал его в 1980-х годах для доказательства выдающихся новых результатов в римановой геометрии. Последующие расширения методов Гамильтона различными авторами привели к новым приложениям в геометрии, включая решение гипотезы о дифференцируемой сфере, предложенной Саймоном Брендлом и Ричардом Шоеном. После предложения Шин Тун Яу о том, что сингулярности решений потока Риччи могут идентифицировать топологические данные, предсказанные гипотезой геометризации Уильяма Терстона, Гамильтон в 1990-х годах получил ряд результатов, направленных на разрешение этой гипотезы. В 2002 и 2003 годах Григорий Перельман представил ряд фундаментальных новых результатов о потоке Риччи, включая новый вариант некоторых технических аспектов программы Гамильтона. Работа Перельмана сейчас широко признается как доказательство гипотезы Терстона и гипотезы Пуанкаре, рассматриваемой как частный случай первой. Следует отметить, что гипотеза Пуанкаре оставалась известной нерешенной проблемой в области геометрической топологии с 1904 года. Эти результаты, полученные Гамильтоном и Перельманом, считаются вехой в областях геометрии и топологии.
Математическое определение
На гладком многообразии M гладкая риманова метрика g автоматически определяет тензор Риччи Ric^(g). Для каждого элемента p из M, по определению, gp является положительно определенным внутренним произведением на тангентном пространстве TpM в точке p. Если задана однопараметрическая семья римановых метрик gt, можно рассмотреть производную, которая затем сопоставляет каждому конкретному значению t и p симметричную двулинейную форму на TpM. Поскольку тензор Риччи римановой метрики также сопоставляет каждому p симметричную двулинейную форму на TpM, следующее определение имеет смысл. Для гладкого многообразия M и открытого интервала вещественных чисел, поток Риччи сопоставляет каждому t из этого интервала риманову метрику gt на M, такую что тензор Риччи часто рассматривается как среднее значение сечений кривизны или как алгебраический след тензора кривизны Римана. Однако для анализа существования и единственности потоков Риччи крайне важно, что тензор Риччи может быть определен в локальных координатах формулой, включающей первые и вторые производные метрического тензора. Это делает поток Риччи геометрически определенным частным дифференциальным уравнением. Анализ эллиптичности формулы в локальных координатах обеспечивает основу для существования потоков Риччи; соответствующий результат приведен в следующем разделе. Пусть k – ненулевое число. Для потока Риччи gt на интервале, рассмотрим для t между и Тогда, с этим тривиальным изменением параметров, число −2, появляющееся в определении потока Риччи, может быть заменено любым другим ненулевым числом. По этой причине использование −2 можно рассматривать как произвольную условность, хотя и ту, которой в основном следуют все статьи и изложения, посвященные потоку Риччи. Единственное существенное различие заключается в том, что если −2 заменить положительным числом, то теорема о существовании, обсуждаемая в следующем разделе, станет теоремой, порождающей поток Риччи, движущийся назад (а не вперед) по значениям параметров от начальных данных. Параметр t обычно называют временем, хотя это лишь часть стандартной неформальной терминологии в математической области частных дифференциальных уравнений. Это не имеет физического смысла. Фактически, в стандартной квантово-полевой интерпретации потока Риччи в терминах группы перенормировки параметр t соответствует длине или энергии, а не времени.
Нормализованный поток Риччи
Предположим, что M — компактное гладкое многообразие, и пусть gt — поток Риччи для t в интервале. Определим Ψ(t) так, чтобы каждая из римановых метрик Ψ(t)gt имела объем 1; это возможно, поскольку M компактна. (В более общем случае, это было бы возможно, если бы каждая риманова метрика gt имела конечный объем.) Затем определим F как антипроизводную Ψ, которая обращается в нуль при a. Поскольку Ψ положительна, F — биекция на свое изображение. Теперь римановы метрики g(s), определенные для параметров s ∈ (0, S), удовлетворяют уравнению:
Здесь R обозначает скалярную кривизну. Это называется нормализованным уравнением потока Риччи. Таким образом, с помощью явно определенного изменения масштаба Ψ и перепараметризации значений параметров, поток Риччи можно преобразовать в нормализованный поток Риччи. Обратное также верно, если выполнить вычисления в обратном порядке. Основная причина рассмотрения нормализованного потока Риччи заключается в том, что он позволяет удобно сформулировать основные теоремы сходимости для потока Риччи. Однако это не обязательно, и для большинства целей достаточно рассматривать поток Риччи в его стандартной форме. Кроме того, нормализованный поток Риччи обычно не имеет смысла на некомпактных многообразиях.
Теоремы конвергенции
Полные изложения следующих теорем сходимости приведены в и . Трехмерный результат обусловлен доказательством Гамильтона, вдохновленным и свободно смоделированным на основополагающей работе Джеймса Иллса и Джозефа Сэмпсона 1964 года о сходимости потока тепла гармонических отображений, которая включала в себя множество новых особенностей, таких как расширение принципа максимума на случай симметричных 2-тензоров. Его статья (вместе со статьей Иллса-Сэмпсона) является одной из наиболее часто цитируемых в области дифференциальной геометрии. С точки зрения доказательства, двумерный случай следует рассматривать как совокупность трех различных результатов, по одному для каждого из случаев, когда характеристика Эйлера M положительна, равна нулю или отрицательна. Как показано в , отрицательный случай обрабатывается с помощью принципа максимума, а случай, когда характеристика Эйлера равна нулю, – с помощью интегральных оценок; положительный случай более тонкий, и Гамильтон рассмотрел подслучай, в котором g0 имеет положительную кривизну, объединив прямое применение оценки градиента Питера Ли и Шин Тун Яу к потоку Риччи с инновационной «энтропийной оценкой». Полный положительный случай был продемонстрирован Беннеттом, в расширении методов Гамильтона. Поскольку любой поток Риччи на двумерном многообразии заключен в один конформный класс, его можно переформулировать как частное дифференциальное уравнение для скалярной функции на фиксированном римановом многообразии (M, g0). Таким образом, поток Риччи в этом контексте также может быть изучен чисто аналитическими методами; соответственно, существуют альтернативные негеометрические доказательства теоремы сходимости для двумерного случая. История изучения случая более высоких размерностей более продолжительна. Вскоре после прорывного результата Гамильтона Герхард Гюйсен расширил его методы на более высокие размерности, показав, что если g0 почти имеет постоянную положительную кривизну (в смысле малости определенных компонент разложения Риччи), то нормализованный поток Риччи плавно сходится к постоянной кривизне. обнаружил новую формулировку принципа максимума с точки зрения захвата выпуклыми множествами, что привело к общему критерию, связывающему сходимость потока Риччи положительно искривленных метрик с существованием «сжимающих множеств» для определенного многомерного обыкновенного дифференциального уравнения. В результате ему удалось разрешить случай, когда M является четырехмерным, а g0 имеет положительный оператор кривизны. Двадцать лет спустя Кристоф Бём и Буркхард Вилкинг нашли новый алгебраический метод построения «сжимающих множеств», тем самым устранив предположение о четырехмерности из результата Гамильтона. Саймон Брендл и Ричард Шоен показали, что положительность изотропной кривизны сохраняется потоком Риччи на замкнутом многообразии; применяя метод Бёма и Вилкинга, они смогли вывести новую теорему сходимости потока Риччи. Их теорема сходимости включала в качестве частного случая решение теоремы о дифференцируемой сфере, которая в то время была давней гипотезой. Теорема о сходимости, приведенная выше, принадлежит , и она обобщает более ранние результаты о сходимости в более высоких размерностях, полученные Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking и Brendle & Schoen.
The three dimensional result is due to Hamilton's proof, inspired by and loosely modeled upon James Eells and Joseph Sampson's epochal 1964 paper on convergence of the harmonic map heat flow, included many novel features, such as an extension of the maximum principle to the setting of symmetric 2 tensors. His paper (together with that of Eells−Sampson) is among the most widely cited in the field of differential geometry. There is an exposition of his result in
In terms of the proof, the two dimensional case is properly viewed as a collection of three different results, one for each of the cases in which the Euler characteristic of M is positive, zero, or negative. As demonstrated by , the negative case is handled by the maximum principle, while the zero case is handled by integral estimates; the positive case is more subtle, and Hamilton dealt with the subcase in which g0 has positive curvature by combining a straightforward adaptation of Peter Li and Shing Tung Yau's gradient estimate to the Ricci flow together with an innovative "entropy estimate". The full positive case was demonstrated by Bennett , in an extension of Hamilton's techniques. Since any Ricci flow on a two dimensional manifold is confined to a single conformal class, it can be recast as a partial differential equation for a scalar function on the fixed Riemannian manifold (M, g0). As such, the Ricci flow in this setting can also be studied by purely analytic methods; correspondingly, there are alternative non geometric proofs of the two dimensional convergence theorem. The higher dimensional case has a longer history. Soon after Hamilton's breakthrough result, Gerhard Huisken extended his methods to higher dimensions, showing that if g0 almost has constant positive curvature (in the sense of smallness of certain components of the Ricci decomposition), then the normalized Ricci flow converges smoothly to constant curvature. found a novel formulation of the maximum principle in terms of trapping by convex sets, which led to a general criterion relating convergence of the Ricci flow of positively curved metrics to the existence of "pinching sets" for a certain multidimensional ordinary differential equation. As a consequence, he was able to settle the case in which M is four dimensional and g0 has positive curvature operator. Twenty years later, Christoph Böhm and Burkhard Wilking found a new algebraic method of constructing "pinching sets", thereby removing the assumption of four dimensionality from Hamilton's result Simon Brendle and Richard Schoen showed that positivity of the isotropic curvature is preserved by the Ricci flow on a closed manifold; by applying Böhm and Wilking's method, they were able to derive a new Ricci flow convergence theorem Their convergence theorem included as a special case the resolution of the differentiable sphere theorem, which at the time had been a long standing conjecture. The convergence theorem given above is due to , which subsumes the earlier higher dimensional convergence results of Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking, and Brendle & Schoen.
Королярии
Результаты в размерностях три и выше показывают, что любое гладкое замкнутое многообразие M, допускающее метрику g0 заданного типа, должно быть пространством формы положительной кривизны. Поскольку эти пространства форм хорошо изучены благодаря работам Эли Картана и других, можно вывести такие следствия:
Предположим, что M — гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи. Если M простосвязно, то оно должно быть диффеоморфно 3-сфере. Таким образом, если бы удалось непосредственно показать, что любое гладкое замкнутое простосвязное трехмерное многообразие допускает гладкую риманову метрику положительной кривизны Риччи, то гипотеза Пуанкаре немедленно следовала бы из этого. Однако, насколько известно на данный момент, этот результат известен лишь как (тривиальное) следствие гипотезы Пуанкаре, а не наоборот.
Suppose that M is a smooth closed 3 dimensional manifold which admits a smooth Riemannian metric of positive Ricci curvature. If M is simply connected then it must be diffeomorphic to the 3 sphere. So if one could show directly that any smooth closed simply connected 3 dimensional manifold admits a smooth Riemannian metric of positive Ricci curvature, then the Poincaré conjecture would immediately follow. However, as matters are understood at present, this result is only known as a (trivial) corollary of the Poincaré conjecture, rather than vice versa.
Возможные расширения
При любом n, большем двух, существует множество замкнутых n-мерных гладких многообразий, не имеющих гладких римановых метрик постоянной кривизны. Поэтому нельзя надеяться просто исключить условия на кривизну из вышеуказанных теорем о сходимости. Возможно, удастся заменить эти условия на какие-то альтернативные, но существование компактных многообразий, таких как комплексное проективное пространство, которое обладает метрикой с неотрицательным оператором кривизны (метрикой Фубини — Штуди), но не имеет метрики постоянной кривизны, делает неясным, насколько можно ослабить эти условия. Аналогично, возможность формулирования аналогичных результатов о сходимости для римановых метрик отрицательной кривизны затрудняется существованием замкнутых римановых многообразий, чья кривизна сколь угодно близка к постоянной, но при этом не допускающих метрик постоянной кривизны.
Неравенства Лио
Используя технику, разработанную Питером Ли и Шингом Тунгом Яу для параболических дифференциальных уравнений на римановых многообразиях, было доказано следующее "неравенство Ли–Яу". Пусть M – гладкое многообразие, и пусть u – решение потока Риччи с условием, что каждое M_t полно и имеет ограниченную кривизну. Более того, предположим, что для каждого M_t оператор кривизны неотрицателен. Тогда для любой кривой γ с γ̇ ≥ 0 справедливо следующее альтернативное неравенство Ли–Яу. Пусть N – гладкое замкнутое многообразие, и пусть u – решение потока Риччи. Рассмотрим обратное уравнение теплопроводности для дифференциальных форм, т.е. ∂/∂t φ = Δφ; заданы начальные условия φ(x,T) и T, рассмотрим частное решение, которое при интегрировании слабо сходится к дельта-функции Дирака при T → ∞. Тогда для любой кривой γ с γ̇ ≥ 0 справедливо следующее неравенство: где Оба этих замечательных неравенства имеют огромное значение для доказательства гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации. Слагаемые в правой части неравенства Ли–Яу Перельмана мотивируют определение его функционала "редуцированной длины", анализ которого приводит к его "теореме о не схлопывании". Теорема о не схлопывании позволяет применить теорему о компактности Гамильтона (Hamilton 1995) для построения "моделей сингулярности" – потоков Риччи на новых трехмерных многообразиях. Благодаря оценке Гамильтона–Иви эти новые потоки Риччи имеют неотрицательную кривизну. Неравенство Ли–Яу Гамильтона затем можно применить, чтобы показать, что скалярная кривизна в каждой точке является не убывающей (неотрицательной) функцией времени. Это мощный результат, позволяющий провести множество дальнейших рассуждений. В конечном итоге Перелман показывает, что любая из его моделей сингулярности асимптотически подобна полному градиентному сжимающемуся солитону Риччи, которые полностью классифицированы; см. предыдущий раздел. Подробности о неравенстве Ли–Яу Гамильтона можно найти в работах, а книги содержат изложение обоих вышеупомянутых неравенств.
showed the following alternative Li–Yau inequality. Let be a smooth closed manifold, and let be a solution of the Ricci flow. Consider the backwards heat equation for forms, i. e. ; given and , consider the particular solution which, upon integration, converges weakly to the Dirac delta measure as increases to Then, for any curve with , one has where Both of these remarkable inequalities are of profound importance for the proof of the Poincaré conjecture and geometrization conjecture. The terms on the right hand side of Perelman's Li–Yau inequality motivates the definition of his "reduced length" functional, the analysis of which leads to his "noncollapsing theorem". The noncollapsing theorem allows application of Hamilton's compactness theorem (Hamilton 1995) to construct "singularity models", which are Ricci flows on new three dimensional manifolds. Owing to the Hamilton–Ivey estimate, these new Ricci flows have nonnegative curvature. Hamilton's Li–Yau inequality can then be applied to see that the scalar curvature is, at each point, a nondecreasing (nonnegative) function of time. This is a powerful result that allows many further arguments to go through. In the end, Perelman shows that any of his singularity models is asymptotically like a complete gradient shrinking Ricci soliton, which are completely classified; see the previous section. See for details on Hamilton's Li–Yau inequality; the books and contain expositions of both inequalities above.
Постоянная кривизна и метрики Эйнштейна
Пусть будет риманово многообразие, являющееся эйнштейновым, то есть существует число , такое что является потоком Риччи с , поскольку тогда.
If is closed, then according to Hamilton's uniqueness theorem above, this is the only Ricci flow with initial data One sees, in particular, that:
if is positive, then the Ricci flow "contracts" since the scale factor is less than 1 for positive ; furthermore, one sees that can only be less than , in order that is a Riemannian metric. This is the simplest examples of a "finite time singularity". if is zero, which is synonymous with being Ricci flat, then is independent of time, and so the maximal interval of existence is the entire real line. if is negative, then the Ricci flow "expands" since the scale factor is greater than 1 for all positive ; furthermore one sees that can be taken arbitrarily large. One says that the Ricci flow, for this initial metric, is "immortal". In each case, since the Riemannian metrics assigned to different values of differ only by a constant scale factor, one can see that the normalized Ricci flow exists for all time and is constant in ; in particular, it converges smoothly (to its constant value) as
The Einstein condition has as a special case that of constant curvature; hence the particular examples of the sphere (with its standard metric) and hyperbolic space appear as special cases of the above.
Если замкнуто, то согласно теореме о единственности Гамильтона, приведенной выше, это единственный поток Риччи с начальными данными. В частности, можно увидеть, что: если положительно, то поток Риччи "сжимает" , поскольку масштабный фактор меньше 1 для положительных ; кроме того, можно увидеть, что может быть меньше , чтобы оставалась римановой метрикой. Это простейший пример "сингулярности за конечное время". Если равно нулю, что эквивалентно тому, что плоская по Риччи, то не зависит от времени, и, следовательно, максимальный интервал существования – это вся вещественная прямая. Если отрицательно, то поток Риччи "расширяет" , поскольку масштабный фактор больше 1 для всех положительных ; кроме того, можно увидеть, что может быть сделано произвольно большим. Говорят, что поток Риччи для данной начальной метрики "бессмертен". В каждом случае, поскольку римановы метрики, соответствующие различным значениям , отличаются только постоянным масштабным фактором, можно увидеть, что нормализованный поток Риччи существует для всех времен и постоянен по ; в частности, он плавно сходится (к своему постоянному значению) при .
If is closed, then according to Hamilton's uniqueness theorem above, this is the only Ricci flow with initial data One sees, in particular, that:
if is positive, then the Ricci flow "contracts" since the scale factor is less than 1 for positive ; furthermore, one sees that can only be less than , in order that is a Riemannian metric. This is the simplest examples of a "finite time singularity". if is zero, which is synonymous with being Ricci flat, then is independent of time, and so the maximal interval of existence is the entire real line. if is negative, then the Ricci flow "expands" since the scale factor is greater than 1 for all positive ; furthermore one sees that can be taken arbitrarily large. One says that the Ricci flow, for this initial metric, is "immortal". In each case, since the Riemannian metrics assigned to different values of differ only by a constant scale factor, one can see that the normalized Ricci flow exists for all time and is constant in ; in particular, it converges smoothly (to its constant value) as
The Einstein condition has as a special case that of constant curvature; hence the particular examples of the sphere (with its standard metric) and hyperbolic space appear as special cases of the above.
Условие Эйнштейна имеет в качестве частного случая постоянную кривизну; следовательно, частные примеры сферы (с ее стандартной метрикой) и гиперболического пространства являются частными случаями вышеописанного.
If is closed, then according to Hamilton's uniqueness theorem above, this is the only Ricci flow with initial data One sees, in particular, that:
if is positive, then the Ricci flow "contracts" since the scale factor is less than 1 for positive ; furthermore, one sees that can only be less than , in order that is a Riemannian metric. This is the simplest examples of a "finite time singularity". if is zero, which is synonymous with being Ricci flat, then is independent of time, and so the maximal interval of existence is the entire real line. if is negative, then the Ricci flow "expands" since the scale factor is greater than 1 for all positive ; furthermore one sees that can be taken arbitrarily large. One says that the Ricci flow, for this initial metric, is "immortal". In each case, since the Riemannian metrics assigned to different values of differ only by a constant scale factor, one can see that the normalized Ricci flow exists for all time and is constant in ; in particular, it converges smoothly (to its constant value) as
The Einstein condition has as a special case that of constant curvature; hence the particular examples of the sphere (with its standard metric) and hyperbolic space appear as special cases of the above.
Отношение к унифицированию и геометризации
Первая работа Гамильтона по потоку Риччи была опубликована одновременно с гипотезой геометризации Уильяма Турстона, которая касается топологической классификации трехмерных гладких многообразий. Идея Гамильтона заключалась в определении нелинейного диффузионного уравнения, которое стремилось бы сгладить неровности в метрике. Подходящие канонические формы уже были определены Турстоном; возможности, называемые модельными геометриями Турстона, включают в себя трехмерную сферу S3, трехмерное евклидово пространство E3, трехмерное гиперболическое пространство H3, которые являются однородными и изотропными, и пять несколько более экзотических римановых многообразий, которые являются однородными, но не изотропными. (Этот список тесно связан с, но не идентичен, классификации Бьянки трехмерных вещественных алгебр Ли на девять классов.) Гамильтону удалось доказать, что любое гладкое замкнутое трехмерное многообразие, допускающее метрику положительной кривизны Риччи, также допускает единственную геометрию Турстона, а именно сферическую метрику, которая действительно действует как притягивающая фиксированная точка под потоком Риччи, ренормализованным для сохранения объема. (При неренормализованном потоке Риччи многообразие схлопывается в точку за конечное время.) Однако это не доказывает полную гипотезу геометризации из-за ограничительного предположения о кривизне. Действительно, триумфом геометрии девятнадцатого века стало доказательство теоремы об униформизации, аналогичной топологической классификации гладких двумерных многообразий, где Гамильтон показал, что поток Риччи действительно развивает двумерное многообразие с отрицательной кривизной в двумерный многодырный тор, локально изометричный гиперболической плоскости. Эта тема тесно связана с важными вопросами в анализе, теории чисел, динамических системах, математической физике и даже космологии. Обратите внимание, что термин "униформизация" предполагает своего рода сглаживание неровностей в геометрии, в то время как термин "геометризация" предполагает наделение гладкого многообразия геометрией. Здесь геометрия используется в точном смысле, близком к понятию геометрии Клейна (см. Гипотезу геометризации для получения дополнительной информации). В частности, результатом геометризации может быть геометрия, которая не является изотропной. В большинстве случаев, включая случаи постоянной кривизны, геометрия единственна. Важной темой в этой области является взаимодействие между вещественными и комплексными формулировками. В частности, многие обсуждения униформизации говорят о комплексных кривых, а не о вещественных двумерных многообразиях.
Особенности
Гамильтон показал, что компактное риманово многообразие всегда допускает решение потока Риччи за короткое время. Позже Ши обобщил результат о существовании решения за короткое время на полные многообразия с ограниченной кривизной. Однако, в общем случае, из-за сильно нелинейного характера уравнения потока Риччи, сингулярности формируются за конечное время. Эти сингулярности являются сингулярностями кривизны, то есть, при приближении к сингулярному времени норма тензора кривизны неограниченно возрастает в окрестности сингулярности. Фундаментальной проблемой в теории потока Риччи является понимание всех возможных геометрий сингулярностей. В случае успеха, это может привести к пониманию топологии многообразий. Например, анализ геометрии сингулярных областей, которые могут возникать в 3-мерном потоке Риччи, является ключевым элементом в доказательстве Перельманом гипотез Пуанкаре и геометризации.
Пределы взрыва сингулярности
Для изучения образования сингулярностей полезно, как и при изучении других нелинейных дифференциальных уравнений, рассмотреть пределы взрывного сжатия. Интуитивно, происходит приближение к сингулярной области потока Риччи путем перемасштабирования времени и пространства. При определенных предположениях, сжатый поток стремится к предельному потоку Риччи, называемому моделью сингулярности. Модели сингулярности являются древними потоками Риччи, то есть их можно бесконечно продолжать в прошлое. Понимание возможных моделей сингулярности в потоке Риччи является активной областью исследований. Ниже мы более подробно опишем процедуру взрывного сжатия: Пусть — поток Риччи, развивающий сингулярность в момент времени . Пусть — последовательность точек в пространстве-времени, такая что
при . Тогда рассматривается параболически перемасштабированная метрика
Благодаря симметрии уравнения потока Риччи относительно параболических растяжений, метрики также являются решениями уравнения потока Риччи. В случае, когда
то есть до момента времени максимум кривизны достигается в точке , то последовательность потоков Риччи последовательно сходится гладко к предельному древнему потоку Риччи. Следует отметить, что в общем случае не диффеоморфна .
Сингулярности типа I и типа II
Гамильтон различает сингулярности I и II типа в потоке Риччи. В частности, говорят, что поток Риччи, встречающий сингулярность в момент времени *t*, является сингулярностью типа I, если . В противном случае сингулярность является сингулярностью типа II. Известно, что пределы вырождения сингулярностей типа I — градиентно-сокращающиеся солитоны Риччи. В случае типа II остаётся открытым вопрос о том, должна ли модель сингулярности быть стационарным солитоном Риччи — на данный момент все известные примеры таковыми являются.
Последние события
Поток Риччи интенсивно изучается с 1981 года. Некоторые недавние работы были посвящены вопросу о том, как именно высокомерные римановы многообразия эволюционируют под действием потока Риччи, и в частности, какие типы параметрических сингулярностей могут возникать. Например, определенный класс решений потока Риччи показывает, что сингулярности типа "защемление шеи" будут формироваться на развивающемся римановом многообразии с метрикой в n-мерном пространстве, обладающем определенным топологическим свойством (положительной характеристикой Эйлера), по мере приближения потока к некоторому характерному времени. В некоторых случаях такие защемления шеи приводят к образованию многообразий, называемых солитонами Риччи. Для трехмерного многообразия Перельман показал, как продолжить эволюцию после сингулярностей, используя хирургические операции на многообразии. Метрики Кэлера сохраняют свойство быть кэлеровыми под действием потока Риччи, поэтому поток Риччи также изучается в этом контексте, где он называется потоком Кэлера — Риччи.