Кіріспе
Математикада, көбейтуге кері элементі бар элемент.
Алгебрада, сақинаның бірлігі немесе инверттелетін элементі – сақинаның көбейту операциясы бойынша инверттелетін элемент болып табылады. Яғни, R сақинасының u элементі бірлік болып есептеледі, егер R ішінде v элементі болса, онда:
uv = vu = 1, мұнда 1 – көбейтуге қатысты бейтарап элемент; v элементі осы қасиет бойынша бірегей және u-дың көбейтуге кері элементі деп аталады. R сақинасының бірліктерінің жиыны көбейту бойынша топты құрайды, ол R сақинасының бірліктерінің тобы немесе бірлік тобы деп аталады. Бірлік тобын белгілеу үшін R^(∗), U(R) және E(R) (неміс тілінен алынған [[wikt:Einheit] терминінен) қолданылады. Кейде "бірлік" термині сақинаның 1-ші элементіне сілтеме жасау үшін де қолданылады, мысалы, "бірлігі бар сақина" немесе "бірлік сақинасы" және "бірлік матрицасы" сияқты сөз тіркестерінде. Осы екіұштылықтың салдарынан, 1-ге жиірек "бейтарап элемент" немесе сақинаның "толықтырғышы" деп аталады, ал "бейтарап элементі бар сақина" немесе "толықтырғышы бар сақина" деген тіркестер сақинаны рнг емес, сақина ретінде қарастырылып жатыр екенін нақтылау үшін қолданылуы мүмкін.
Мысалдар
1 көбейтуші сәйкестігі және оның қосуға кері шамасы −1 әрқашан бірлік болып табылады. Көбірек айтқанда, R сақинасындағы кез келген бірлік түбірі бірлік болып табылады: егер r^(n) = 1 болса, онда r^(n−1) = 1, яғни r-дің көбейтуге кері шамасы болады.
In a nonzero ring, the element 0 is not a unit, so is not closed under addition. A nonzero ring R in which every nonzero element is a unit (that is, ) is called a division ring (or a skew field). A commutative division ring is called a field. For example, the unit group of the field of real numbers 'R' is .
Нөлден өзгеше сақинада 0 саны бірлік болып табылмайды, сондықтан ол қосу бойынша жабық емес. Кез келген нөлден өзгеше элементі бірлік болатын нөлден өзгеше R сақинасы (яғни, ) бөлу сақинасы (немесе қисық өріс) деп аталады. Коммутативті бөлу сақинасы өріс деп аталады. Мысалы, нақты сандар өрісінің бірлік тобы 'R' болып табылады.
In a nonzero ring, the element 0 is not a unit, so is not closed under addition. A nonzero ring R in which every nonzero element is a unit (that is, ) is called a division ring (or a skew field). A commutative division ring is called a field. For example, the unit group of the field of real numbers 'R' is .
Бүкіл сандар сақинасы
"Z" бүтін сандар сақинасындағы жалғыз бірліктер – 1 және −1. "Z"/n'Z" сақинасындағы n-модульді бүтін сандарда бірліктер – n-мен өзара жай сандармен бейнеленген конгруэнция сыныптары (mod n). Олар n-модульді бүтін сандардың көбейту тобын құрайды.
Матрицалық сақиналар
R сақинасының n × n матрицалар сақинасы Mn(R) бірлік тобы – керілі матрицалардың жалпы сызықтық тобы. Коммутативті R сақинасы үшін, Mn(R) элементі A керілі болады, егер және тек қана A-ның детерминанты R-де керілі болса. Мұндай жағдайда, оны адъюгат матрицасы арқылы нақты түрде беруге болады.
Бірліктер тобы
Коммутативті сақина, егер ол максималды идеал болса, жергілікті сақина болып табылады. Егер - идеал болса, онда ол міндетті түрде максималды идеал болып табылады және R жергілікті сақина, себебі максималды идеал -дан бөлек. Егер R - шекті өріс болса, онда -сы ретті циклдік топ болып табылады. Кез келген сақина гомоморфизмі f : R → S топ гомоморфизмін тудырады, өйткені f бірліктерді бірліктерге бейнелейді. Шындығында, бірлік топты құру сақиналар санатынан топтар санатына дейінгі функторды анықтайды. Бұл функтордың сол жақ қосымшасы интегралдық топтық сақина құрылымы болып табылады. Топтық схемасы кез келген негіздегі көбейтуші топтық схемасына изоморфты, сондықтан кез келген коммутативті сақина R үшін топтар және U(R)-ға каноникалық түрде изоморфты. Функтор (яғни, R ↦ U(R)) мына мағынада бейнеленеді: коммутативті сақиналар үшін R (мысалы, бұл жоғарыда аталған топтық сақина құрылысымен қосымша қатынастан туындайды). Бұл нақты түрде сақина гомоморфизмдері жиыны мен R-дің бірлік элементтері жиыны арасында табиғи биекция бар дегенді білдіреді (керісінше, қосымша топты білдіреді, коммутативті сақиналар санатынан абельдік топтар санатына дейінгі ұмытылған функтор).
If R is a finite field, then is a cyclic group of order
Every ring homomorphism f : R → S induces a group homomorphism , since f maps units to units. In fact, the formation of the unit group defines a functor from the category of rings to the category of groups. This functor has a left adjoint which is the integral group ring construction. The group scheme is isomorphic to the multiplicative group scheme over any base, so for any commutative ring R, the groups and are canonically isomorphic to U(R). Note that the functor (that is, R ↦ U(R)) is representable in the sense: for commutative rings R (this for instance follows from the aforementioned adjoint relation with the group ring construction). Explicitly this means that there is a natural bijection between the set of the ring homomorphisms and the set of unit elements of R (in contrast, represents the additive group , the forgetful functor from the category of commutative rings to the category of abelian groups).
Қатысу
R коммутативті деп есептейік. R элементтері r және s, R-де 1 = ru = sv болатын u бірлігі бар болса, олар байланысқан деп аталады; содан кейін r ~ s деп жазылады. Кез келген сақинада x және −x қосымша кері элементтерінің жұптары байланысқан болады. Мысалы, 6 және −6 'Z' сақинасында байланысқан. Жалпы, ~ R-де эквиваленттік қатынас болып табылады.
Associatedness can also be described in terms of the action of on R via multiplication: Two elements of R are associate if they are in the same orbit. In an integral domain, the set of associates of a given nonzero element has the same cardinality as
The equivalence relation ~ can be viewed as any one of Green's semigroup relations specialized to the multiplicative semigroup of a commutative ring R.
Байланысқандықты R-ге көбейту арқылы әсер ету тұрғысынан да сипаттауға болады: R-дің екі элементі бір орбитада болса, олар байланысқан. Бүтін доменде берілген нөлден өзге элементтің байланысқан элементтерінің жиынтығының кардиналдығы сол элементтің өзіне тең болады.
Associatedness can also be described in terms of the action of on R via multiplication: Two elements of R are associate if they are in the same orbit. In an integral domain, the set of associates of a given nonzero element has the same cardinality as
The equivalence relation ~ can be viewed as any one of Green's semigroup relations specialized to the multiplicative semigroup of a commutative ring R.
Эквиваленттік қатынас ~ коммутативті сақинаның R көбейтуші жартылай тобына бейімделген Гриннің жартылай топтық қатынастарының кез келгені ретінде қарастырылуы мүмкін.
Associatedness can also be described in terms of the action of on R via multiplication: Two elements of R are associate if they are in the same orbit. In an integral domain, the set of associates of a given nonzero element has the same cardinality as
The equivalence relation ~ can be viewed as any one of Green's semigroup relations specialized to the multiplicative semigroup of a commutative ring R.